Spiegazione della proporzionalità composita, tre regole composte, esercizi

IL Proposito o proporzionalità composito o multipla È la relazione tra più di due magnitudini, in cui si può osservare proporzionalità diretta e inversa tra i dati e l'ignoto. È una versione più avanzata della semplice proporzionalità, sebbene le tecniche utilizzate in entrambe le procedure siano simili.

Ad esempio, se sono necessari 7 persone per scaricare 10 tonnellate di merce in 3 ore, la proporzionalità composta può essere utilizzata per calcolare quante persone saranno necessarie per scaricare 15 tonnellate in 4 ore.

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Per rispondere a questa domanda, è conveniente fare una tabella di valori per studiare e mettere in relazione le magnitudini e le incognite.

Vengono analizzati i tipi di relazioni tra ogni grandezza e il presente sconosciuto, che in questo caso corrisponde al numero di persone che lavoreranno.

All'aumentare del peso della merce, aumenta anche il numero di persone che doveva scaricare. Per questo motivo, la relazione tra peso e lavoratori è diretta.

D'altra parte, aumentando il numero di lavoratori, le ore di lavoro diminuiscono. Per questo motivo, la relazione tra persone e orario di lavoro è inversa.

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Come calcolare le proporzionalità composte

Per risolvere esempi come quello precedente, il metodo della regola dei tre composti viene utilizzato principalmente. Ciò consiste nello stabilire i tipi di relazioni tra magnitudini e incognite e quindi rappresentare un prodotto tra le frazioni.

Per quanto riguarda l'esempio iniziale, le frazioni corrispondenti alla tabella dei valori sono organizzate come segue:

Ma prima di risolvere e cancellare l'ignoto, le frazioni corrispondenti alla relazione inversa devono essere invertite. Che per questo caso corrisponde alla variabile temporale. In questo modo, l'operazione da risolvere sarà:

La cui unica differenza è l'investimento della frazione corrispondente al tempo variabile 4/3. Il valore di X è gestito e chiaro.

Pertanto, sono necessari più di undici persone per scaricare 15 tonnellate di merce in 4 ore o meno.

Spiegazione

La proporzionalità è la costante relazione tra le magnitudini soggette a cambiamenti, che saranno simmetrici per ciascuna delle magnitudini coinvolte. Esistono relazioni direttamente e inversamente proporzionali, definendo così i parametri della proporzionalità semplice o composta.

Diretta tre regole

È costituito da un rapporto di proporzione tra variabili, che presentano lo stesso comportamento quando modificati. È molto frequente nel calcolo delle percentuali relative a diverse magnitudini di cento, in cui la sua struttura fondamentale è apprezzata.

Ad esempio, puoi calcolare il 15% di 63. A prima vista, detto percentuale non può essere vista in modo semplice. Ma implementando la regola dei tre puoi fare la seguente relazione: se il 100% è 63, allora il 15%, quanto sarà?

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100%-63

15%-x

E l'operazione corrispondente è:

(quindici% . 63) / 100% = 9,45

Laddove i segni percentuali sono semplificati e si ottiene la cifra di 9,45 che rappresenta il 15% di 63.

Tre regola inversa

Come suggerisce il nome, in questo caso la relazione tra le variabili è contraria. La relazione inversa deve essere stabilita prima di procedere al calcolo. La sua procedura è omologa alla regola diretta, ad eccezione degli investimenti nella frazione da calcolare.

Ad esempio, 3 pittori hanno bisogno di 5 ore per finire un muro. Quante ore finirebbero 4 pittori?

In questo caso la relazione è inversa, poiché aumentando il numero di pittori il tempo di lavoro dovrebbe diminuire. La relazione è stabilita;

3 pittori - 5 ore

4 pittori- X ore

Quando la relazione è inversa, l'ordine di funzionamento viene invertito. Questo è il modo corretto;

(3 pittori) . (5 ore) / 4 pittori = 3,75 ore

Il termine pittori è semplificato e il risultato è di 3,75 ore.

Condizione

Per essere in presenza di un composto o di una proporzionalità multipla, è necessario trovare entrambi i tipi di relazione tra magnitudini e variabili.

- Diretto: la variabile presenta lo stesso comportamento dell'ignoto. Cioè, aumentando o diminuendo l'uno, l'altro viene modificato allo stesso modo.

- Inverso: la variabile presenta un comportamento antonimo a quello dell'ignoto. La frazione che definisce questa variabile nella tabella dei valori deve essere invertita, al fine di rappresentare la relazione inversamente proporzionale tra variabile e sconosciuta.

Verifica dei risultati

È molto comune confondere l'ordine di magnitudini quando si lavora con proporzionalità composte, a differenza di ciò che accade nei soliti calcoli delle proporzioni, la cui natura è per lo più diretta e risolubile per mezzo di una semplice regola a tre.

Pertanto, è importante esaminare l'ordine logico dei risultati, verificando la coerenza delle figure lanciate dalla regola dei tre composti.

Nell'esempio iniziale, commettere questo errore implicherebbe ottenendo 20 di conseguenza. Cioè, 20 persone che scaricano 15 tonnellate di merce in 4 ore.

A prima vista non sembra un risultato folle, ma un aumento di quasi il 200% nel personale (da 7 a 20 persone) è curioso quando l'aumento della merce è del 50% e anche con un margine di tempo maggiore per eseguire il lavoro.

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In questo modo la verifica logica dei risultati rappresenta un passo importante implementando le tre regole composte.

Spazio

Sebbene di natura più fondamentale per quanto riguarda la formazione matematica, la clearance rappresenta un passo importante nei casi di proporzionalità. Una clearance errata è sufficiente per invalidare qualsiasi risultato ottenuto in ordine di tre semplici o composti.

Storia

La regola dei tre divenne nota in Occidente attraverso gli arabi, con pubblicazioni di diversi autori. Tra questi al-jwarizmi e al-biruni.

Al-Biruni, grazie alle sue conoscenze multiculturali, aveva accesso a vaste informazioni su questa pratica nei suoi viaggi in India, essendo responsabile della documentazione più ampia sulle tre regole di tre.

Si solleva nella sua indagine, che l'India è stata il primo posto in cui l'uso delle tre regole è stato reso comune. Lo scrittore assicura che è stato fatto fluentemente nelle sue versioni dirette, inverse e persino composte.

La data esatta in cui le tre regole sono diventate parte della conoscenza matematica dell'India è ancora sconosciuta. Tuttavia, il documento più antico rivolto a questa pratica, il manoscritto di Bakhshali, fu scoperto nel 1881. È attualmente a Oxford.

Molti storici della matematica assicurano che questo manoscritto risale all'inizio dell'era attuale.

Esercizi risolti

Esercizio 1

Una compagnia aerea deve spostare 1535 persone. È noto che con 3 aerei ci vorrebbero 12 giorni per portare all'ultimo passeggero a destinazione. Altre 450 persone hanno raggiunto la compagnia aerea e 2 aerei sono ordinati di collaborare con questo compito. Quanti giorni la compagnia aerea porterà all'ultimo passeggero a destinazione?

La relazione tra il numero di persone e i giorni di lavoro è diretta, perché più persone saranno necessarie più giorni per svolgere questo lavoro.

D'altra parte, la relazione tra aeroplani e giorni è inversamente proporzionale. Aumentando la quantità di aeroplani, i giorni necessari diminuiscono per il trasferimento a tutti i passeggeri.

La tabella dei valori che si riferisce a questo caso viene eseguita.

Come dettagliato nell'esempio iniziale, il numeratore e il denominatore devono essere investiti nella frazione corrispondente alla variabile inversa rispetto all'ignoto. Lasciando l'operazione come segue:

Può servirti: calcolo degli approcci usando differenziali

X = 71460/7675 = 9,31 giorni

Per trasferirsi a persone del 1985 usando 5 aerei, sono necessari più di 9 giorni.

Esercizio 2

Un raccolto di mais da 25 tonnellate viene portato ai camion di carico. È noto che l'anno precedente ha impiegato 8 ore con un libro paga di 150 lavoratori. Se per quest'anno il libro paga aumenta il 35%, quanto tempo ci vorrà per riempire i camion di carico con un raccolto di 40 at?

Prima di rappresentare la tabella dei valori, il numero di lavoratori per quest'anno deve essere definito. Ciò è aumentato del 35% della cifra iniziale di 150 lavoratori. Per questo, viene utilizzata una regola diretta.

100% - 150

35% - x

X = (35 . 100)/100 = 52,5. Questo è il numero di lavoratori aggiuntivi rispetto all'anno precedente, ottenendo un numero totale di 203 lavoratori, infelice per arrotondare l'importo ottenuto.

La tabella di dati corrispondente è definita

In questo caso, il peso rappresenta una variabile di relazione diretta con il tempo sconosciuto. D'altra parte, la variabile dei lavoratori gestisce una relazione inversa con il tempo. Un numero maggiore di lavoratori, la giornata sarà più breve.

Tenendo conto di queste considerazioni e investendo la frazione corrispondente ai lavoratori, viene calcolata.

X = 40600 /6000 = 6,76 ore

La giornata richiederà poco meno di 7 ore.

Esercizi proposti

- Definire il 73% di 2875.

- Calcola la quantità di ore che Teresa dorme, se è noto che solo il 7% del totale del sonno del giorno. Definisci quante ore dormire a settimana.

- Un giornale pubblico del 2000 ogni 5 ore, utilizzando solo 2 macchine per la stampa. Quante copie produrranno in 1 ora, se usi 7 macchine? Per quanto tempo produrrà 10.000 copie che utilizzano 4 macchine?

Riferimenti

1. Encyclopedia alvarez-Iniciacion. A. Álvarez, Antonio Álvarez Pérez. Edaf, 2001.
2. Manuale di istruzione primaria elementare e superiore completa: per l'uso dei candidati agli insegnanti e in particolare agli studenti delle normali scuole provinciali, volume 1. Joaquín Avendaño. Stampa d. Dionisio hidalgo, 1844.
3. Approssimazione di valutazione di funzioni reali. P. P. Petrushev, Vasil Atanasov Popov. Cambridge University Press, 3 marzo. 2011.
4. Aritmetica elementare per l'insegnamento nelle scuole e nelle scuole in America centrale. Darío González. Mancia. Arelas, 1926.
5. Lo studio della matematica: sullo studio e le difficoltà della matematica. Augustus de Morgan. Baldwin e Cradock, 1830.