Proprietà radicali

Elementi radicali: 1) indice; 2) simbolo radicale; 3) Quantità subredica

Quali sono le proprietà dei radicali?

IL Proprietà radicali Sono operazioni che consentono di risolvere problemi complessi di radicali e poteri. Il radicale è il modo per simboleggiare matematicamente all'eme n-eme di una quantità "a". Questa radice è un altro importo, chiamato "b", in modo tale che il suo nome sia precisamente "A", quindi è valido scrivere quanto segue:

Il valore di "n" è un numero naturale, noto come indice di radice, "a" è il Radicarsi o quantità subradicica, e "b" è il n-eme di "a" radice. Sia "A" che "B" appartengono all'insieme di numeri reali.

Se l'indice non è scritto in un radicale, si comprende immediatamente che il suo valore è uguale a 2 e legge "Square Root of A".

Poiché "n" appartiene all'insieme di numeri naturali, può essere un paio o un numero dispari. Quindi, i seguenti casi si distinguono:

Per "n" par

• Se a> 0 o uguale a 0, la radice n-alunale di "a" è positiva o 0, e viene chiamata radice principale.
• Quando a < 0, no existe raíz n-ésima en el conjunto de los números reales, pero sí en los números complejos.

Per "n" dispari

• Sì a> 0, la radice n-eme di "a" è positiva.
• Quando a< 0, la raíz n-ésima de “a” es negativa.

Alcuni esempi sono i seguenti:

Proprietà delle riprese

È possibile scrivere il nome di un importo di un importo come potenza con esponente frazionario, cioè un numero razionale.

In questo caso, l'indice di radice diventa il denominatore, mentre l'esponente dell'importo subradicico diventa il numeratore:

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Espressione valida finché n ≠ 0, poiché non sono ammesse frazioni con un denominatore.

Esempio di un'espressione radicale scritta sotto forma di un esponente frazionario. L'indice principale è il denominatore dell'esponente, mentre il potere della trasmissione è il numeratore. Fonte: Wikimedia Commons.

In questo modo, le stesse proprietà che si applicano ai poteri possono essere utilizzate in caso di radicali.

Per valori appartenenti all'insieme di numeri reali, queste proprietà sono le seguenti:

1. Prodotto radicale di uguale indice

Nel prodotto di due (o più) radicali dello stesso indice, le quantità subrediche vengono moltiplicate, mantenendo l'indice:

2. Quoziente radicale dello stesso indice

Il quoziente tra la radice n-quella di "A" e il n-eme di "b", essendo b ≠ 0, è uguale alla radice n-emeasy del quoziente tra "A" e "B"

3. Radice radice

Per trovare la radice n-emeasy del m-eme della quantità "A", l'importo subradico è scritto sotto una radice il cui indice è il prodotto tra "N" e "M":

La procedura è facilmente estesa alle radici nidificate successive. L'indice radice risultante è il prodotto di tutti gli indici, come questo:

4. Potenza radicale

A n-che, sollevato al potere m, esprime la quantità subradicle a detto potere:

Casi particolari:

1) Sì n = m, Il segno della radice scompare, lasciando la base elevata al potere 1:

Che è valido per ≥ 0. In generale, se l'indice di root è un numero pari, hai:

(Vedi esempi più tardi)

2) Sì m> n, La frazione M/N è impropria e la radice può essere semplificata, ad esempio, alla ricerca della frazione equivalente a M/N in modo tale che il numeratore e il denominatore siano cugini tra loro o riscrivono la quantità subradica e applicando parte dei Proprietà descritte qui.

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(Vedi esempi più tardi)

5. Amplificazione radicale

Un radicale può essere amplificato da un fattore Q, Se sia l'indice di radice, sia la potenza della quantità subradica, si moltiplicano per detto fattore, e questa operazione non comporta la modifica del risultato. Perciò:

A condizione che un ≥ 0 quando sia anche.

6. Introduzione di un fattore all'interno di un radicale

Se un fattore "b" positivo si moltiplica un radicale, può passare al suo interno, se sale allo stesso indice radicale. In quel caso:

7. Somma e sottrazione dei radicali

I radicali possono aggiungere e sottrarre, purché siano lo stesso indice e abbiano la stessa quantità subradica.

Quando due o più radicali sono di uguale indice e quantità subradica, si dice che lo siano Radicali simili.

Ad esempio, i seguenti radicali sono simili:

Invece, questi radicali non sono simili, perché non hanno la stessa quantità subradica:

Né questi due sono simili:

Poiché l'indice radicale non è lo stesso.

I radicali simili possono essere ridotti a uno, aggiungendo o sottraendo i coefficienti che li accompagnano.

Esempi di proprietà radicali

Esempio 1

Qual è il valore delle seguenti radici?

La radice quadrata di 32 può essere trovata direttamente con l'aiuto della calcolatrice. Il suo valore è:

I punti sospesivi indicano che ci sono un decimale infinito.

Se preferisci non lavorare con numeri decimali, la radice quadrata di 32 può anche essere calcolata decomponendo 32 nei suoi principali fattori:

32 = 2⁵

In questo modo, quando si sostituisce, si ottiene:

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Scritto come esponente frazionario:

La frazione 5/2 è impropria, quindi il radicale può essere semplificato, usando le proprietà dei poteri:

Ora applicando la proprietà 1 sopra:

Perciò:

Per la sua parte:

Da (−2)³ = −8.

Secondo la proprietà 4:

E infine, la radice quadrata di −8 non esiste nell'insieme di numeri reali, sebbene nei numeri complessi.

Esempio 2

Data la seguente operazione:

È possibile ridurre il risultato?

A condizione che i radicali siano simili, è possibile ridurli, ma per questo devono avere lo stesso indice e la stessa quantità subradica. Nell'esempio precedente è stato visto che:

Una procedura analoga può essere utilizzata per scrivere la prima aggiunta, in modo che la quantità subradica sia uguale a 2:

Questo radicale è simile al precedente. Per quanto riguarda la radice quadrata di 81, questo è 9, quindi:

Esempio 3

Quali proprietà sono necessarie per applicare per eseguire questa operazione?

Dobbiamo applicare le proprietà 3 e 5, che sono, rispettivamente, radice di una radice e introduzione di un valore radicale. Innanzitutto, la proprietà 5 si applica, per introdurre la "x" che è al di fuori della radice più interna:

E ora l'espressione è pronta ad applicare la proprietà 3 e moltiplicare i rispettivi indici di ciascun radicale:

Riferimenti

1. Gonzales, d. 2011. Algebra di base: teoria e pratica. 2 °. Edizione.
2. Haeussler, e. 2012. Precalcolazione. 1 °. Edizione. Pearson.
3. Khan Acadaem. Esponenti e radicali. Recuperato da: Khanacademy.org.
4. Larson, r. 2012. Precalcolazione. 8 °. Edizione. Apprendimento del Cengage.
5. Stewart, J. 2007. Matematica per il calcolo. 5 °. Edizione. Apprendimento del Cengage.