Proprietà distributiva

Spieghiamo cos'è la proprietà distributiva, con esempi ed esercizi risolti

Figura 1.- Proprietà distributiva di moltiplicazione per quanto riguarda l'aggiunta e la sottrazione. Fonte: f. Zapata.

Cos'è la proprietà distributiva?

IL proprietà distributiva di moltiplicazione rispetto alla somma o alla sottrazione consiste nel moltiplicare un fattore per somma o sottrazione di due o più quantità.

Sono tre importi A, B e C, che possono essere numeri reali, quantità algebriche o vettoriali, tra gli altri, e suppongono che sia proposto di risolvere con loro la seguente operazione:

A × (B + C)

In questa espressione "a" è il fattore y (b + c) è la somma indicata. Esistono due modi per trovare la risposta dell'operazione, il primo è quello di ottenere la somma (B+C) e qualunque cosa, viene moltiplicata per "A".

E l'altro modo consiste nel moltiplicare "A" per ciascuno dei termini B e C, e quindi aggiungere i risultati. Non è raro che la stessa operazione venga eseguita in diversi modi. L'esempio seguente mostra che le due procedure sono equivalenti:

5 × (7 + 3) = 5 × 10 = 50

O Bene:

5 × (7 + 3) = (5 × 7) + (5 × 3) = 35 + 15 = 50

In quest'ultima procedura, i 5 si moltiplicano a 7 e poi a 3, i rispettivi risultati vengono aggiunti per ottenere il valore finale.

La proprietà distributiva può anche essere applicata alla sottrazione, ad esempio:

8 × (12 - 5) = (8 × 12) - (8 × 5) = 96 - 40 = 56

E in entrambi i casi, indipendentemente dall'ammontare dei termini all'interno delle parentesi, poiché il fattore che si moltiplica viene distribuito a tutti, come in questa altra operazione:

5 × (3 - 7 + 10) = (5 × 3) - (5 × 7) + (5 × 10) = 15 - 35 + 50 = 30

Il fattore comune: l'inverso della proprietà distributiva

Considera la seguente operazione:

(7 × 2) + (7 × 6)

In ogni parentesi c'è un 7 che si moltiplica con un altro numero. Bene, poiché 7 viene ripetuto in entrambe le parentesi e si moltiplica, si chiama fattore comune, in modo che l'operazione possa essere scritta come:

(7 × 2) + (7 × 6) = 7 × (2 + 6)

Questa operazione è precisamente l'inverso della proprietà distributiva e può essere applicata a qualsiasi importo di termini che hanno un fattore comune, ad esempio:

Può servirti: fattore comune per il raggruppamento di termini: esempi, esercizi

(6 × 8) + (6 × 11) + (6 × 4) - (6 × 9)

Il fattore comune è 6, poiché viene ripetuto in ciascuno dei termini. Perciò:

(6 × 8) + (6 × 11) + (6 × 4) - (6 × 9) = 6 × (8 + 11+ 4− 9)

Osservazioni

Ogni volta che pensi di applicare la proprietà distributiva, è necessario osservare la notazione, in questo senso è importante evidenziare ciò:

• I simboli Cruz "×" e il punto ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 'sono usati indistinti per denotare la moltiplicazione.
• Anche se nessuno di questi simboli è presente tra il fattore e la parentesi che contiene i tossicodipendenti, sarà inteso che si tratta di una moltiplicazione. Ad esempio, nell'operazione 5 (4 - 9), i 5 si moltiplicano sia a 4 che a 9, allo stesso modo degli esempi precedenti:

5 (4− 9) = 5 ∙ 4−5 ∙ 9 = 20 - 45 = −25

In questo esempio è stato anche usato il punto a media altezza al posto della croce.

Un altro fatto importante da considerare è la presentazione delle operazioni, non è lo stesso 7 (5 + 1) che 7 + (5 × 1). Nel primo caso, la proprietà distributiva viene applicata nello stesso modo in cui è stato fatto:

7 (5+1) = 7 ∙ 5+7 ∙ 1 = 35+7 = 42

D'altra parte per l'operazione 7 + (5 × 1) procedere secondo la gerarchia delle operazioni, il che indica che le parentesi devono essere eliminate per prime, in questo modo:

7 + (5 × 1) = 7 + 5 = 12

• La moltiplicazione è commutativa, quindi è soddisfatta che:

A × (B + C) = (B + C) × A

Il fattore che moltiplica la somma può essere a sinistra oa destra di questo e in ogni caso il risultato è lo stesso.

Esempi di applicazioni

Esempio 1

La moltiplicazione di un gran numero per un altro può essere eseguita, attraverso la proprietà distributiva, se il gran numero si decompone in centinaia, decine e unità. Ad esempio, è richiesto:

Può servirti: segni di raggruppamento

5 × 852

Il numero 852 si decompone in aggiunta come:

852 = 800 + 50 + 2

E l'operazione richiesta è scritta come:

5 × 852 = 5 × (800 + 50 + 2)

Ora devi solo applicare la proprietà distributiva e ottenere la somma risultante:

5 × (800 + 50 + 2) = 4000 + 250 + 10 = 4260

Esempio 2

La proprietà distributiva facilita il calcolo di somme di somme, prodotti di differenze e prodotti di somme per differenze:

(A + b) × (c + d) = a ∙ c + a ∙ d + b ∙ c + b ∙ d

(A + b) × (c - d) = a ∙ c - a ∙ d + b ∙ c - b ∙ d

(A - b) × (c - d) = a ∙ c - a ∙ d - b ∙ c + b ∙ d

Ad esempio, le seguenti operazioni vengono risolte come mostrato:

(5 + 4) × (2 + 13) = 5 ∙ 2 + 5 ∙ 13 + 4 ∙ 2 + 4 ∙ 13 = 10 + 65 + 8 +52 = 135

[(8 + (−17)] × (6 - 21) = 8 ∙ 6 - 8 ∙ 21 + ( - 17) ∙ 6 - ( - 17) ∙ 21 = 48−168-102 + 357 = 135

(11 - 7) × (9 - 16) = 11 ∙ 9 - 11 ∙ 16 - 7 ∙ 9 + 7 ∙ 16 = 99 - 176 - 63 +112 = −28

Esempio 3

Il bancone di un fiorista ha quattro vasi con fiori e in ciascuno di essi ci sono 9 rose e 2 garofano. La proprietà distributiva può essere utilizzata per trovare il numero totale di fiori nei quattro vasi, semplicemente moltiplicando per 4 la somma (9 + 2):

Fiori totali = 4 × (9 + 2) = 36 + 8 = 44 fiori

Proprietà distributiva in algebra

Sia la proprietà distributiva che il fattore comune hanno un ampio uso in algebra e calcolo, poiché consentono di manipolare facilmente le espressioni algebriche, in base alla comodità.

A volte è meglio sviluppare un'espressione con proprietà distributiva, mentre in altri può essere più efficace avere l'espressione fattorizzata.

Ad esempio, supponiamo che l'espressione debba essere sviluppata:

2 (x+1)

A differenza dell'operazione 5 × (7 + 3) = 5 × 10 = 50, i termini all'interno della parentesi non sono simili, quindi la sua somma non è ridotta a un singolo termine (invece 7 + 3 viene immediatamente ridotto a 10). In questo caso, la proprietà distributiva viene applicata per ottenere:

Può servirti: segmento di linea e semi -river

2 (x + 1) = 2 ∙ x + 2 ∙ 1 = 2x + 2

Uso di proprietà distributive per risolvere le equazioni

Alcune equazioni algebriche vengono risolte applicando la proprietà distributiva, ad esempio:

8 (x-2) = 14

Applicazione di proprietà distributiva per sviluppare il lato sinistro dell'uguaglianza che hai:

8x - 16 = 14

8x = 14 + 16 = 30

x = 30/8 = 15/4

Prodotti notevoli

La proprietà distributiva serve a dimostrare prodotti notevoli, che vengono utilizzati molto in algebra. Ad esempio, si può dimostrare che il prodotto della somma di due importi moltiplicati per la differenza di quegli stessi importi è uguale alla differenza dei rispettivi quadrati.

Indicare quantità come "A" e "b" e l'applicazione di proprietà è:

(a + b) × (a - b) = a⋅a - a⋅b + a⋅b - b⋅b = a² - B²

Esercizi risolti

Esercizio 1

Un gruppo di 8 amici va a fare una passeggiata un pomeriggio per visitare un museo e mangiare uno spuntino. Costa di trasporto € 5, voce 2 e il ristoro di € 3 a persona. Calcola il costo della passeggiata per l'intero gruppo.

• Soluzione

Ogni partecipante deve spendere (5 + 2 + 3) € a persona e come lo sono 8, il totale è calcolato dalla seguente operazione: _

8 × (5 + 2 + 3) € = (8 × 5 + 8 × 2 + 8 × 3) € = (40 + 16 + 24) € = € 80

Esercizio 2

Lo stand di una funicolare può trasportare 30 passeggeri seduti e 12 passeggeri di allungamento. Calcola quanti passeggeri vengono trasportati dopo 9 viaggi se ognuno porta il massimo delle persone consentite.

• Soluzione

Il numero totale di persone che fanno un singolo viaggio è (30 + 12), così come 9 viaggi:

9 × (30 + 12) = 9 × 30 + 9 × 12 = 270 + 108 = 378 persone.

Riferimenti

1. Baldor, a. 1985. Aritmetica teorica-pratica. Edizioni e distribuzioni Codice, Madrid.
2. Lezioni opache. Esercizi risolti di proprietà distributiva e ottenere un fattore comune. Recuperato da: Demates Lezioni.com.
3. Matematica mammut. Proprietà distributiva o come moltiplicare in parti. Estratto da: mammmatematica.com.
4. Smartick. Esempi di proprietà distributiva. Recuperato da: smartick.È.
5. Vicen Vives. Mathematics 4, Argomento: moltiplicazione. Recuperato da: Howlew It.com