Formula di probabilità condizionale ed equazioni, proprietà, esempi

IL probabilità condizionale È la possibilità di verificarsi di un determinato evento, poiché un altro si verifica come una condizione. Queste informazioni aggiuntive possono modificare (o forse no) la percezione che qualcosa accadrà.

Ad esempio, possiamo chiederci: “Qual è la probabilità che piova oggi, dal momento che due giorni fa non piove?". L'evento di cui vogliamo sapere la probabilità è che piove oggi e le informazioni aggiuntive che condizionerebbero la risposta è che "due giorni fa non piove".

Figura 1. La probabilità che piova oggi da quando ha piovuto ieri è anche un esempio di probabilità condizionale. Fonte: Pixabay.

Essere a Spazio probabilistico Composto da ω (spazio campione), ℬ (eventi casuali) e p (la probabilità di ciascun evento), oltre agli eventi A e B che appartengono a ℬ.

La probabilità condizionata a cui si verifica, poiché B, che è indicato come p (a│b), è definita in questo modo:

P (a│b) = p (a∩b) / p (b) = p (a e b) / p (b)

Dove: p (a) è la probabilità di occorrenza di a, p (b) è la probabilità dell'evento B ed è diversa da 0 e p (a∩b) è la probabilità di intersezione tra a e b, cioè ,, la probabilità che si verifichino entrambi gli eventi (probabilità congiunta).

Questa è un'espressione per il teorema di Bayes applicato a due eventi, proposto nel 1763 dal teologo e matematico inglese Thomas Bayes.

[TOC]

Proprietà

-Tutta la probabilità condizionale è compresa tra 0 e 1:

0 ≤ p (a│b) ≤ 1

-La probabilità che l'evento si verifichi, dal momento che si verifica questo evento, è ovviamente 1:

P (a│a) = p (a∩a) / p (a) = p (a) / p (a) = 1

-Se due eventi sono esclusivi, cioè eventi che non possono accadere contemporaneamente, allora la probabilità condizionale che uno di essi accade è 0, poiché l'intersezione è nullo:

P (a│b) = p (a∩b) / p (b) = 0 / p (b) = 0

-Se B è un sottoinsieme di A, allora la probabilità condizionale è anche 1:

Può servirti: toroid o toro dona

P (b│a) = p (a∩b) / p (a) = 1

Importante

P (a│b) non è generalmente uguale a p (b│a), quindi devi fare attenzione a non scambiare eventi quando si trova la probabilità condizionale.

Regola generale di moltiplicazione

Molte volte vuoi trovare la probabilità articolare P (A∩b), anziché probabilità condizionale. Quindi, attraverso il seguente teorema che hai:

P (a∩b) = p (a e b) = p (a│b). P (B)

Il teorema può essere esteso per tre eventi A, B e C:

P (a∩b∩c) = p (a e b e c) = p (a) · p (b│a) · p (c│a∩b)

E anche per diversi eventi, come₁, A₂, A₃ E di più, può essere espresso come segue:

Papà₁∩ a₂ ∩ a₃... ∩ A_N) = P (a₁) . Papà₂│A₁). Papà₃│A₁∩ a₂) ... papà_N│A₁∩ a₂∩… a_N-1)

Quando è il caso degli eventi che si verificano in sequenza e attraverso diverse fasi, è conveniente organizzare i dati in un diagramma o in una tabella. Ciò facilita la visualizzazione delle opzioni per raggiungere la probabilità richiesta.

Esempi di questo sono il Diagramma ad albero e il tabella di contingenza. Da uno di loro puoi costruire l'altro.

Esempi di probabilità condizionale

Diamo un'occhiata ad alcune situazioni in cui le probabilità di un evento sono modificate dal verificarsi di un altro:

- Esempio 1

In un negozio dolce vengono venduti due tipi di torte: fragola e cioccolato. Quando si registrano le preferenze di 50 clienti di entrambi i sessi, sono stati determinati i seguenti valori:

-27 donne, di cui 11 preferiscono la fragola e 16 torta al cioccolato.

-23 uomini: 15 cioccolato e 8 fragole.

La probabilità che un cliente sceglie una torta al cioccolato può essere determinata applicando la regola di Laplace, in base alla quale è la probabilità di qualsiasi evento:

P = numero di eventi favorevoli/numero totale di eventi

In questo caso, di 50 clienti, un totale di 31 preferiscono il cioccolato, in modo che la probabilità sia p = 31/50 = 0.62. Cioè, il 62% dei clienti preferisce la torta al cioccolato.

Può servirti: equazioni polinomiali

Ma sarebbe diverso se il cliente è una donna? Questo è un caso di probabilità condizionale.

Tabella di contingenza

Attraverso una tabella di emergenza come questa, i totali sono facilmente visualizzati:

Quindi vengono osservati i casi favorevoli e viene applicata la regola di Laplace, ma prima di definire gli eventi:

-B è l'evento "cliente femminile".

-A è l'evento "preferisci la torta al cioccolato" che è una donna.

Andiamo alla colonna etichettata "Donne" e lì vediamo che il totale è 27.

Quindi il caso favorevole è richiesto nella riga "cioccolato". Ci sono 16 eventi di questi, quindi la probabilità ricercata è direttamente:

P (a│b) = 16/27 = 0.5924

Un 59.Il 24 % delle donne preferisce la torta al cioccolato.

Questo valore coincide quando contrastiamo con la definizione inizialmente data di probabilità condizionale:

P (a│b) = p (a∩b) / p (b)

Ci assicuriamo attraverso la regola di Laplace e i valori della tabella:

P (b) = 27/50

P (a e b) = 16/50

Dove p (a e b) è la probabilità che il cliente preferisca il cioccolato ed è una donna. Ora i valori vengono sostituiti:

P (a│b) = p (a e b)/p (b) = (16/50)/(27/50) = 16/27 = 0.5924.

Ed è dimostrato che il risultato è lo stesso.

- Esempio 2

In questo esempio si applica la regola di moltiplicazione. Supponiamo che nella mostra di un negozio ci siano pantaloni di tre dimensioni: piccoli, medi e grandi.

In molto con un totale di 24 pantaloni, di cui ci sono 8 di ogni dimensione e tutti sono miscelati. Quale sarebbe la probabilità di estrarne due e che entrambi erano piccoli?

È chiaro che la probabilità di estrarre piccoli pantaloni nel primo tentativo è 8/24 = 1/3. Ora, la seconda estrazione è condizionata al primo evento, poiché quando si toglie i pantaloni, non ce ne sono più 24, ma 23. E se vengono rimossi un piccolo pantalone, ce ne sono 7 anziché 8.

Può servirti: principio moltiplicativo: tecniche ed esempi di conteggio

L'evento A è di eliminare un piccolo pantalone, dopo aver preso un altro nel primo tentativo. Ed l'evento B è quello dei piccoli pantaloni al primo. Perciò:

P (b) = 1/3; P (a│b) = 7/24

Infine, attraverso la regola di moltiplicazione:

P (a∩b) = (7/24).(1/3) = 7/72 = 0.097

Esercizio risolto

In uno studio di puntualità sui voli aerei commerciali, sono disponibili i seguenti dati:

-P (b) = 0.83, è la probabilità che un aereo prende per prendere un tempestivo.

-P (a) = 0.81, è la probabilità di atterrare in tempo.

-P (b∩a) = 0.78 È la probabilità che il volo arrivi in ​​tempo prendendo un tempestivo.

È richiesto di calcolare:

a) Qual è la probabilità che l'aereo atterra prontamente da quando è decollato in tempo?

b) La probabilità di cui sopra è la stessa della probabilità che sia uscita in tempo se sei riuscito a atterrare prontamente?

c) e infine: qual è la probabilità che arriverà in tempo poiché non è uscito in tempo?

figura 2. La puntualità sui voli commerciali è importante, poiché i ritardi generano perdite milionari. Fonte: Pixabay.

Soluzione a

Per rispondere alla domanda, viene utilizzata la definizione di probabilità condizionale:

P (a│b) = p (a∩b) / p (b) = p (a e b) / p (b) = 0.78/0.83 = 0.9398

Soluzione b

In questo caso, gli eventi vengono scambiati nella definizione:

P (b│a) = p (a∩b) / p (a) = p (a e b) / p (a) = 0.78/0.81 = 0.9630

Si noti che questa probabilità è leggermente diversa da quella precedente, come abbiamo precedentemente indicato.

Soluzione c

La probabilità di non essere puntuale è 1 - P (B) = 1 - 0,83 = 0.17, lo chiameremo p (B^C), Perché è l'evento complementare prendere un tempestivo. La probabilità condizionale ricercata è:

P (a│b^C) = P (a∩b^C) / P (b^C) = P (a e b^C)/P (b^C)

D'altra parte:

P (a∩b^C) = P (atterraggio temporale) - p (atterraggio temporale e sbirciati) = 0.81-0.78 = 0.03

In questo caso, la probabilità richiesta è:

P (a│b^C) = 0.03/0.17 = 0.1765

Riferimenti

1. Canavos, g. 1988. Probabilità e statistiche: applicazioni e metodi. McGraw Hill.
2. Devore, j. 2012. Probabilità e statistiche per l'ingegneria e la scienza. 8 °. Edizione. Cengage.
3. Lipschutz, s. 1991. Serie Schaum: probabilità. McGraw Hill.
4. OBREGón, i. 1989.Teoria della probabilità. Limusa editoriale.
5. Walpole, r. 2007. Probabilità e statistiche per l'ingegneria e la scienza. Pearson.
6. Wikipedia. Probabilità condizionata. Recuperato da: è.Wikipedia.org.