Calcolo della probabilità classica, esempi, esercizi risolti

IL Probabilità classica È un caso particolare del calcolo della probabilità di un evento. È definito come il quoziente tra gli eventi favorevoli a questo evento e gli eventi totali possibili, con la condizione che ciascuno di questi eventi sia tutti ugualmente probabili. La probabilità classica è anche nota come probabilità priori o probabilità teorica.

Il desiderio di anticipare le cose fa sempre parte della natura umana: ci chiediamo tutti se pioverà il giorno successivo o se una certa squadra di calcio giocherà o meno nella prima divisione la prossima stagione. Ci sono prove archeologiche che le persone hanno giocato a gioco d'azzardo circa 40.000 anni.

Definizione del concetto di probabilità classica

Tuttavia, il primo libro sulle probabilità è dovuto all'astronomo olandese Christian Huygens che lo ha chiamato Ragionamento relativo al gioco dei dadi. Come vediamo, la probabilità classica ha le sue origini nei giochi di possibilità.

I dadi hanno una lunga storia, è un pezzo cubico i cui volti sono numerati con punti da uno a sei. Lanciando solo un dado onesto: qual è la probabilità di uscire, diciamo, un cinque?

È molto semplice: c'è solo una faccia tra 6 marcata con cinque punti, quindi la probabilità P è:

P = 1/6

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Calcolo in probabilità classica

Questo modo di calcolare la probabilità di un evento è un'applicazione della regola di Laplace, inizialmente dichiarata nel 1812 dal matematico francese Pierre de Laplace (1749-1827).

La regola di Laplace viene utilizzata nella probabilità classica per calcolare la probabilità di un evento. Fonte: f. Zapata.

Essere un evento di cui vogliamo conoscere la sua probabilità di occorrenza p (a), quindi:

P (a) = numero di casi favorevoli all'evento A / Numero di casi possibili

Il risultato di questa operazione è sempre un numero positivo tra 0 e 1. Se un evento ha la probabilità di verificarsi, significa che non accadrà.

D'altra parte, se la probabilità di verifica :

Qui abbiamo indicato la probabilità che l'evento A non si verifichi attraverso una barra sulle lettere.

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Ovviamente, in un dado legale, una qualsiasi delle 6 facce ha la stessa probabilità di andarsene, quindi la probabilità di ottenere una faccia con 5 deve essere 1/6.

Un dettaglio importante è il seguente: per applicare la regola di Laplace, il numero di possibili casi deve essere finito, ovvero dobbiamo essere in grado di dirgli e ottenere un numero naturale.

Nell'esempio dei dadi ci sono 6 casi possibili e un singolo evento favorevole. L'insieme di casi possibili è chiamato Spazio campione.

Quando si applica la regola di Laplace, è conveniente analizzare attentamente lo spazio del campione, compresi tutti gli eventi possibili, ovvero deve essere completo e ordinato, in modo che nessun evento fugga.

Lo spazio campione e gli eventi

Lo spazio campione è generalmente indicato dalla lettera S o dalla lettera greca ω (capitale Omega) ed era un concetto introdotto da Galileo.

Un giocatore di dadi ha chiesto il saggio perché è più difficile ottenere un 9 lancio di tre dadi rispetto a un 10, quindi Galileo ha calcolato i possibili modi per ottenere un 9. Alla fine ha calcolato le rispettive probabilità, scoprendo che, in effetti, P (9) < P (10).

Spazio di esempio con pochi elementi

Se lo spazio campione è costituito da pochi elementi, questi sono elencati come un set. Ad esempio, supponiamo che tu voglia trovare la probabilità che in una famiglia con due bambini, entrambi siano dello stesso sesso.

Possiamo applicare la probabilità classica che determina correttamente lo spazio del campione. Se m = donna e h = uomo, lo spazio campione dei bambini è:

S = (m, m), (h, h), (m, h), (h, m)

Ogni elemento dello spazio campione è un evento, ad esempio l'evento (m, m) significa che i due figli di questa famiglia sono donne.

Avere lo spazio del campione, calcolare la probabilità richiesta è molto semplice, poiché ci sono solo 2 casi favorevoli tra 4, in modo che entrambi i bambini siano dello stesso sesso: (m, m) e (h, h), quindi:

P (entrambi i bambini dello stesso sesso) = 2/4 = 0.5

Spazio di esempio con molti elementi

Quando lo spazio campione è costituito da molti elementi, è meglio dare una regola generale per trovarlo. Ad esempio, se T è la vita utile di una squadra, lo spazio campione è:

S = T∕T ≥ 0

Che si legge in questo modo: "Tutti i valori di T tale che t è maggiore o uguale a 0". Un evento di questo spazio potrebbe essere che il dispositivo ha una vita utile di 2 anni.

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Esempi di probabilità classica

La probabilità classica viene applicata a condizione che i due locali sopra indicati siano soddisfatti, cioè:

-Tutti gli eventi sono ugualmente probabili.

-Lo spazio del campione è finito.

Pertanto, ci sono situazioni in cui la probabilità classica non può essere applicata, ad esempio quando si desidera anticipare se il nuovo trattamento curerà una certa malattia o la probabilità che una macchina produca oggetti difettosi.

D'altra parte, può essere applicato correttamente nei seguenti casi:

Lancio

La probabilità classica deriva dall'interesse delle persone al gioco d'azzardo. Fonte: Pixabay.

Come abbiamo visto, la probabilità che uscirà una certa faccia è uguale a 1/6.

Prendi una lettera da un mazzo

Abbiamo un mazzo da 52 carte di un mazzo francese, composto da quattro bastoncini: cuori, trifogli, diamanti e pica. Quindi la probabilità di estrarre un cuore, sapendo che ci sono 13 carte da ogni bastone è:

P (cuore) = 13/52

Lancio

È un tipico esempio di probabilità classica, poiché durante il lancio di una valuta c'è sempre una probabilità pari a ½ di ottenere faccia o timbro.

Estrai marmi a colori da una borsa 

All'interno di una borsa ci possono essere marmi colorati, ad esempio ci sono marmi rossi, un marmi blu e V verdi marmi. La probabilità di estrarre un rosso è:

P (r) = r / n

Esercizi risolti

- Esercizio 1

Una volta lanciati un dado onesto. Calcola le seguenti probabilità:

a) Disegna un numero dispari.

b) Lascia che venga fuori un 2 o 5.

c) raggiungere un valore inferiore a 4.

d) ottenere un valore inferiore o uguale a 4.

e) raggiungere un valore diverso di 3

Soluzione a

Lo spazio campione è s = 1, 2, 3, 4, 5, 6, i valori dispari sono 1, 3 e 5, pertanto di 6 possibili casi, ci sono tre casi favorevoli:

P (dispari) = 3/6 = 1/2 = 0.5

Soluzione b

Vogliamo estrarre un 2 o 5, cioè uno di questi casi è favorevole, quindi:

P (2 o 5) = 2/6 = 1/3 = 0.33

Soluzione c

In questo caso ci sono 3 eventi favorevoli: Ottieni 1, 2 o 3:

P (meno di 4) = 3/6 = ½ = 0.5

Soluzione d

Ecco un ulteriore evento favorevole, perché ci chiedono i valori più bassi o uguali che 4, quindi:

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P (valore inferiore o uguale a 4) = 4/6 = 2/3 = 0.67

Soluzione E

Un lancio diverso di 3 significa che uno qualsiasi degli altri valori è uscito:

- Esercizio 2

In una scatola c'è un blu, una palla verde, un rosso, un giallo e un nero. Qual è la probabilità che, quando si chiude una palla con gli occhi, è giallo?

Soluzione

L'evento "E" è quello di togliere una palla fuori dalla scatola con gli occhi chiusi (se è fatto con gli occhi aperti la probabilità è 1) e che questo è giallo.

C'è solo un caso favorevole, dal momento che c'è solo una palla gialla. I casi possibili sono 5, poiché ci sono 5 palline nella scatola.

Pertanto, la probabilità dell'evento "E" è uguale a p (e) = 1/5.

Come si può vedere, se l'evento è quello di eliminare una palla blu, verde, rossa o nera, la probabilità sarà pari a 1/5. Pertanto, questo è un esempio di probabilità classica.

Osservazione

Se ci fossero stati 2 palline gialle nella scatola, allora p (e) = 2/6 = 1/3, mentre la probabilità di eliminare una palla blu, verde, rossa o nera sarebbe stata uguale a 1/6.

Poiché non tutti gli eventi hanno la stessa probabilità, quindi questo non è un esempio di probabilità classica.

- Esercizio 3

Qual è la probabilità che, lanciando un dado, il risultato ottenuto sia uguale a 5?

Soluzione

Un dado ha 6 volti, ciascuno con un numero diverso (1,2,3,4,5,6). Pertanto, ci sono 6 casi possibili e solo un caso è favorevole.

Quindi, la probabilità che al lancio dei dadi si ottenga 5 è pari a 1/6.

Ancora una volta, la probabilità di ottenere qualsiasi altro risultato di dadi è uguale a 1/6.

- Esercizio 4

In una classe ci sono 8 ragazzi e 8 ragazze. Se l'insegnante sceglie casualmente uno studente nel suo salotto, qual è la probabilità che lo studente prescelto sia una ragazza?

Soluzione

L'evento "E" è scegliere uno studente a caso. In totale ci sono 16 studenti, ma come vuoi scegliere una ragazza, allora ci sono 8 casi favorevoli. Pertanto p (e) = 8/16 = 1/2.

Anche in questo esempio, la probabilità di scegliere un bambino è 8/16 = 1/2.

Cioè, è così probabile che lo studente prescelto sia una ragazza come un ragazzo.

Riferimenti

1. Agosto, a. Probabilità. Università di Puerto Rico. Recuperato da: documenti.UPRB.Edu.
2. Galindo, e. 2011. Statistiche: metodi e applicazioni. Redattori Procio.
3. Jiménez, r. 2010. Matematica ii. 2 °. Edizione. Prentice Hall.
4. TRIOLA, m. 2012. Statistiche elementari. 11 °. Edizione. Addison Wesley.
5. Sangaku maths. Regola di Laplace. Recuperato da: Sangakoo.com.