Principi moltiplicativi Tecniche ed esempi di conteggio

Qual è il principio moltiplicativo?

Lui Principio moltiplicativo È una tecnica che viene utilizzata per risolvere i problemi di conteggio per trovare la soluzione senza che sia necessaria per elencare i suoi elementi. È anche noto come principio fondamentale dell'analisi combinatoria; Si basa sulla moltiplicazione successiva per determinare il modo in cui può verificarsi un evento.

Questo principio stabilisce che, se una decisione (D₁) Può essere preso in n modi e un'altra decisione (D₂) Può essere preso mneras, il numero totale di modi in cui le decisioni possono essere prese₁ e d₂ Sarà lo stesso di Multiply of N _* M. Secondo il principio, ogni decisione viene presa dopo l'altro: numero di modi = n_{1 *} N₂.. _* N_X modi.

Esempi

Esempio 1

Paula ha in programma di andare al cinema con i suoi amici e di scegliere i vestiti che indosserà, separa 3 camicette e 2 gonne. Quanti modi può vestirsi Paula?

• Soluzione

In questo caso, Paula deve prendere due decisioni:

D₁ = Scegli tra 3 camicette = n

D₂ = Scegli tra 2 gonne = m

In questo modo Paula ha n _* m decisioni da prendere o diversi modi di vestirsi.

N _* M = 3_* 2 = 6 decisioni.

Il principio moltiplicativo nasce dalla tecnica del diagramma degli alberi, che è un diagramma che mette in relazione tutti i risultati possibili, in modo che ognuno possa verificarsi un numero finito di volte.

Esempio 2

Mario aveva molto sete, quindi andò al forno per comprare un succo. Luis lo serve e gli dice che ha in due dimensioni: grande e piccolo; e quattro gusti: mela, arancione, limone e uva. Quanti modi può Mario scegliere il succo?

• Soluzione

Nel diagramma si può vedere che Mario ha 8 modi diversi per scegliere il succo e che, come nel principio moltiplicativo, questo risultato è ottenuto dalla moltiplicazione di N_*M. L'unica differenza è che attraverso questo diagramma puoi sapere quali sono i modi in cui Mario sceglie il succo.

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D'altra parte, quando il numero di possibili risultati è molto grande, è più pratico utilizzare il principio moltiplicativo.

Tecniche di conteggio

Le tecniche di conteggio sono metodi utilizzati per fare un conteggio diretto e quindi conoscere il numero di possibili accordi che gli elementi di un set specifico possono avere. Queste tecniche si basano su diversi principi:

Principio di aggiunta

Questo principio stabilisce che, se due eventi M e N non possono verificarsi contemporaneamente, il numero di modi in cui il primo o il secondo evento sarà la somma di M + N:

Numero di forme = m + n ... + x forme diverse.

Esempio

Antonio vuole fare un viaggio ma non decide quale destinazione; Nel South Tourism Agency offrono una promozione per viaggiare a New York o Las Vegas, mentre l'Agenzia del Turismo orientale raccomanda di recarsi in Francia, Italia o Spagna. Quante diverse alternative di viaggio offrono Antonio?

Soluzione

Con l'agenzia turistica meridionale Antonio ha 2 alternative (New York o Las Vegas), mentre con l'agenzia del turismo orientale ha 3 opzioni (Francia, Italia o Spagna). Il numero di diverse alternative è:

Numero di alternative = m + n = 2 + 3 = 5 alternative.

Principio di permutazione

Si tratta di ordinare specificamente tutti o alcuni degli elementi che formano un set, per facilitare il conteggio di tutte le possibili accordi che possono essere prese con gli elementi.

Il numero di permutazioni di n diversi elementi, presi tutti in una volta, è rappresentato come:

_NP_N = n!

Esempio

Quattro amici vogliono scattare una foto e vogliono sapere quanti modi diversi possono essere ordinati.

Soluzione

Vuoi conoscere il set di tutti i possibili modi in cui le 4 persone possono essere posizionate per scattare la fotografia. Quindi, devi:

₄P₄ = 4! = 4_*3_*2_*1 = 24 modi diversi.

Se il numero di permutazioni di N elementi disponibili è preso da parti di un set che è formato da elementi R, è rappresentato come:

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_NP_{R =} N! ÷ (n - r)!

Esempio

In una classe hai 10 posizioni. Se 4 studenti frequentano la lezione, quanti modi diversi possono occupare le posizioni?

Soluzione

Il numero totale di sedie set è 10 e queste verranno utilizzate solo 4. La formula data viene applicata per determinare il numero di permutazioni:

_NP_R = n! ÷ (n - r)!

₁₀P₄ = 10! ÷ (10 - 4)!

₁₀P₄ = 10! ÷ 6!

₁₀P₄= 10_* 9_*8_*7_*6_*5_*4_*3_*2_*1 ÷ 6_*5_*4_*3_*2_*1 = 5040 modi per occupare le posizioni.

Ci sono casi in cui alcuni degli elementi disponibili di un set vengono ripetuti (sono uguali). Per calcolare il numero di accordi che prendono tutti gli elementi contemporaneamente viene utilizzata la seguente formula:

_NP_R = n! ÷ n₁!_* N₂!… N_R!

Esempio

Quante diverse parole di quattro lettere possono essere formate dalla parola "lupo"?

Soluzione

In questo caso ci sono 4 elementi (lettere) di cui due sono esattamente gli stessi. Applicando la formula data, è noto quante parole diverse sono:

_NP_R = n! ÷ n₁!_* N₂!… N_R!

₄P_{2, 1.1} = 4! ÷ 2!_*1!_*1!

₄P_{2, 1, 1} = (4_*3_*2_*1) ÷ (2_*1)_*1_*1

₄P_{2, 1, 1} = 24 ÷ 2 = 12 parole diverse.

Principio di combinazione

Si tratta di correggere tutti o alcuni degli elementi che formano un set senza un ordine specifico. Ad esempio, se si dispone di una disposizione XYZ, questo sarà identico agli arrangiamenti ZXY, YZX, ZYX, tra gli altri; Questo perché, nonostante non sia nello stesso ordine, gli elementi di ogni accordo sono gli stessi.

Quando vengono presi alcuni elementi (R) dell'insieme (N), il principio di combinazione è dato dalla seguente formula:

_NC_{R =} N! ÷ (n - r)!R!

Esempio

In un negozio vendono 5 diversi tipi di cioccolato. Quanti modi diversi possono essere scelti 4 cioccolatini?

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Soluzione

In questo caso devi scegliere 4 cioccolatini dei 5 tipi che vendono nel negozio. L'ordine in cui vengono scelti non importa e, inoltre, un tipo di cioccolato può essere scelto più di due volte. Applicando la formula, devi:

_NC_R = n! ÷ (n - r)!R!

₅C₄ = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

₅C₄ = 5! ÷ (1)!4!

₅C₄ = 5_*4_*3_*2_*1 ÷ 4_*3_*2_*1

₅C₄ = 120 ÷ 24 = 5 diversi modi di scegliere 4 cioccolatini.

Quando vengono presi tutti gli elementi (R) dell'insieme (N), il principio di combinazione è dato dalla seguente formula:

_NC_{n =} N!

Esercizi risolti

Esercizio 1

Hai una squadra di baseball con 14 membri. Quanti modi possono essere assegnati 5 posizioni per un gioco?

• Soluzione

Il set è costituito da 14 elementi e si desidera assegnare 5 posizioni specifiche; cioè l'ordine conta. La formula di permutazione viene applicata in cui N Elements disponibili sono presi da parti di un set che è formato da R.

_NP_{R =} N! ÷ (n - r)!

Dove n = 14 e r = 5. È sostituito nella formula:

₁₄P₅ = 14! ÷ (14 - 5)!

₁₄P₅ = 14! ÷ (9)!

₁₄P₅ = 240 240 modi per assegnare le 9 posizioni di gioco.

Esercizio 2

Se una famiglia di 9 membri fa un viaggio e acquista i loro biglietti con posizioni consecutive, quanti modi diversi possono sedersi?

• Soluzione

Questi sono 9 elementi che occuperanno 9 posti consecutivamente.

P₉ = 9!

P₉ = 9_*8_*7_*6_*5_*4_*3_*2_*1 = 362 880 diversi modi di sedersi.

Riferimenti

1. Hopkins, b. (2009). Risorse per l'insegnamento della matematica discreta: progetti in classe, moduli di storia e articoli.
2. Johnsonbaugh, r. (2005). Matematica discreta. Pearson Education,.
3. Lutfiyya, l. A. (2012). Risolvo di problemi di matematica finita e discreta. Redattori dell'associazione per la ricerca e l'educazione.
4. Padró, f. C. (2001). Matematica discreta. Politèc. della Catalogna.
5. Steiner, e. (2005). Matematica per scienze applicate. Reverte.