Formula di principio di Archimedes, dimostrazione, applicazioni

Lui Principio di Archimede Dice che un corpo totalmente o parzialmente sommerso riceve una forza verticale chiamata spingere, che è equivalente al peso del volume di liquido spostato dal corpo. 

Alcuni oggetti galleggiano nell'acqua, altri affondano e alcuni si immergono parzialmente. Per affondare una palla da spiaggia è necessario fare uno sforzo, perché quella forza viene immediatamente percepita che cerca di restituirla in superficie. Invece una sfera di metallo affonda rapidamente. 

D'altra parte, gli oggetti sommersi sembrano più leggeri, quindi c'è una forza esercitata dal fluido che si oppone al peso. Ma non puoi sempre compensare affatto la gravità. E, sebbene sia più evidente con l'acqua, i gas sono anche in grado di produrre questa forza sugli oggetti immersi in essi.

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Storia

Archimedes di Siracusa (287-212 A. C.) È stato quello che deve aver scoperto questo principio, essendo uno dei più grandi scienziati della storia. Dicono che il re Hierón II di Syracuse ha inviato un orafo per produrre una nuova corona, per la quale gli ha consegnato una certa quantità d'oro.

Archimedes

Quando il re ricevette la nuova corona, aveva il peso giusto, ma sospettava che il Goldsmith lo avesse ingannato aggiungendo argento anziché oro. Come potrei controllarlo senza distruggere la corona?

Hierón chiamato Archimede, la cui fama di studioso era ben nota, per aiutarlo a risolvere il problema. La leggenda afferma che Archimede era immerso nella vasca da bagno quando trovò la risposta e, tale era la sua emozione, che correva nudo per le strade di Siracusa per cercare il re che urlava "Eureka", il che significa "L'ho trovata".

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Cosa ha trovato Archimede? Bene, quando si prende un bagno il livello dell'acqua nella vasca da bagno, quando è entrato, il che significa che un corpo sommerso sposta un certo volume di liquido.

E se immettessi la corona in acqua, doveva anche spostare un certo volume d'acqua se la corona fosse fatta di oro e una diversa se fosse fatta in lega con argento.

Formula di principio di Archimede

La forza promozionale di cui al principio Archimedes è nota come spingere idrostatico O forza di flottazione E, come abbiamo detto, è equivalente al peso del volume di liquido spostato dal corpo quando immerso.

Il volume spostato è equivalente al volume dell'oggetto che viene immerso, totalmente o parzialmente. Poiché il peso di qualsiasi cosa è mg, E la massa del fluido è Volume X densità, Negando come B all'entità della spinta, matematicamente deve:

B = m_fluente x g = densità del fluido x Volume immerso x gravità

B = ρ_fluente x v_immerso x g

Dove la lettera greca ρ ("rho") indica la densità.

Il peso apparente

Il peso degli oggetti è calcolato dall'espressione ben nota mg, Tuttavia, le cose sembrano più leggere quando sono immerse in acqua. 

Lui Peso apparente di un oggetto è ciò che ha quando è immerso in acqua o altro liquido e conoscendolo, è possibile ottenere il volume di un oggetto irregolare come la corona del re Hierón, come si vedrà di seguito.

Può servirti: 13 esempi della prima legge di Newton nella vita reale

Per fare ciò, è completamente immerso in acqua e soggetto a una corda attaccata a a dinamometro -Uno strumento fornito con una molla che serve a misurare le forze-. Maggiore è il peso dell'oggetto, maggiore è l'allungamento della molla, che viene misurata su una scala fornita nel dispositivo.

Peso apparente di un oggetto sommerso. Fonte: preparato da F. Zapata.

Applicare la seconda legge di Newton sapendo che l'oggetto è a riposo:

Σf_E = B + T - W = 0

Il peso apparente W_A È equivalente alla tensione sulla corda T:

T = w_A

W_A = mg - ρ_fluente . V. G

Se è richiesto il volume Vsaminato V, viene cancellato come:

V = (w - w_A ) / ρ_fluente  . G

Dimostrazione

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Quando un corpo si immerge, la spinta è la forza risultante da tutte le forze che vengono esercitate sul corpo attraverso la pressione causata dal fluido circostante:

Diagramma del corpo libero di un oggetto sommerso. Fonte: preparato da F. Zapata.

Pressione e profondità

Poiché la pressione aumenta con la profondità, il risultato di queste forze è sempre diretto verticalmente verso l'alto. Pertanto, il principio di Archimede è una conseguenza del teorema fondamentale dell'idrostatico, che mette in relazione la pressione P esercitata da un fluido con la profondità z COME:

P = ρ.G.z

Forze su un fluido di equilibrio statico

Per dimostrare il principio di Archimede, viene presa una piccola porzione cilindrica a riposo per analizzare le forze esercitate su di esso, come mostrato nella figura seguente. Le forze sulla superficie curva del cilindro vengono annullate tra loro. 

Una porzione di fluido in equilibrio. Fonte: preparato da F. Zapata.

Le magnitudini delle forze verticali sono F₁ = P₁.A e F₂ = P2.A, c'è il peso W. Poiché il fluido è in equilibrio, la somma delle forze deve essere annullata:

∑f_E = P₂.A- p₁.A- w = 0

P₂.A- p₁.A = w

Poiché la spinta compensa il peso, poiché la parte del fluido è a riposo, quindi:

B = p₂.A- p₁.A = w

Da questa espressione segue che la spinta è dovuta alla differenza nelle pressioni tra la faccia superiore del cilindro e la parte inferiore. COME W = mg = ρfluente. V. G, Si deve:

B = ρ_fluente. V_immerso. G

Che è proprio l'espressione per la spinta menzionata nella sezione precedente.

ARCHIMEDE Principle applicazioni

Palloncini che galleggiano: principio di Archimede in azione

Il principio di Archimede appare in molte applicazioni pratiche, tra cui possiamo nominare:

- Il palloncino aerostatico. Che avendo una densità media inferiore a quella dell'aria circostante, galleggia dentro a causa della forza di spinta.

- Le navi. Il casco della nave è più pesante dell'acqua. Ma se lo scafo è considerato più l'aria all'interno, il quoziente tra la massa totale e il volume è inferiore a quello dell'acqua e questo è il motivo per cui le navi galleggiano.

- I giubbotti di salvataggio. Se costruiti in luce e materiali porosi, sono in grado di galleggiare perché il rapporto di massa-volume è inferiore a quello dell'acqua.

- Il galleggiante per chiudere il rubinetto di un serbatoio d'acqua. È una sfera piena di aria di grande volume che galleggia sull'acqua, che provoca la forza di spinta - moltiplicata per l'effetto della leva - chiude il tappo del rubinetto di riempimento di un serbatoio dell'acqua quando ha raggiunto il livello totale del livello.

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Esempi

Esempio 1

La leggenda dice che il re Hierón diede al Goldsmith una certa quantità di oro per fare una corona, ma il monarca diffidente pensava che il Goldsmith avrebbe potuto imbrogliare quando si posizionava un metallo meno prezioso all'interno della corona. Ma come potrei saperlo senza distruggere la corona? 

Il re commissionò ad Archimede e questo, alla ricerca della soluzione, scoprì il suo famoso principio.

Supponiamo che la corona pesa 2,10 kg-F in aria e 1,95 kg-F quando completamente immersa in acqua. In questo caso, non c'è inganno?

Diagramma del corpo senza corona di King Heron. Fonte: preparato da F. Zapata

Il diagramma delle forze è mostrato nella figura precedente. Queste forze sono: il peso P della corona, la spinta E e la tensione T della corda che pende dalla scala.

P = 2,10 kg-f e t = 1,95 kg-f è noto, è necessario determinare l'entità della spinta E:

T + e = p ⇒ e = p - t = (2,10 - 1,95) kg -f = 0,15 kg -f

D'altra parte, secondo il principio di Archimede, la spinta è equivalente al peso dell'acqua sfrattata dello spazio occupato dalla corona, cioè la densità dell'acqua dal volume della corona a causa dell'accelerazione della gravità :

E = ρ_acquaΦ

Dove è possibile calcolare il volume della corona:

V = 0,15 kg / 1000 kg / m^3 = 0.00015 m^3

La densità della corona è il quoziente tra la massa della corona fuori dall'acqua e il suo volume:

Densità della corona = 2,10 kg / 0,00015 m^3 = 14000 kg / m^3

La densità dell'oro puro può essere determinata con una procedura simile e il risultato è 19300 kg/m^3.

Confrontando le due densità è evidente che la corona non è oro puro! 

Esempio 2 

Sulla base dei dati e del risultato dell'esempio 1, è possibile determinare la quantità di oro rubata dal orafo nel caso in cui parte dell'oro sia stata sostituita dall'argento, che ha una densità di 10500 kg/m^3 3.

Chiameremo ρc alla densità della corona, ρo alla densità dell'oro e ρ_P alla densità dell'argento.

La massa totale della corona è:

M = ρc⋅v = ρo⋅vo + ρ_P⋅vp

Il volume totale della corona è il volume d'argento più il volume d'oro:

V = vo + vp ⇒ vp = v - vo

Sostituire nell'equazione di massa:

ρc⋅v = ρo⋅vo + ρ_P⋅ (v - vo) ⇒ (ρo - ρ_P) Vo = (ρc - ρ_P) V

Vale a dire che il volume d'oro che contiene la corona del volume totale V è:

Vo = v⋅ (ρc - ρ_P)/(ρo - ρ_P) = ..

… = 0,00015 m^3 (14000 - 10500)/(19300 - 10500) = 0,0000596 m^3

Per conoscere il peso in oro che contiene la corona, moltiplichiamo Vo per la densità dell'oro:

Può servirti: regola destra

MO = 19300 *0.00005966 = 1.1514 kg

Poiché la massa della corona è di 2,10 kg, sappiamo che 0,94858 kg di oro sono stati rubati dal doratura e sostituiti dall'argento.

Esercizi risolti

Esercizio 1

Un enorme palloncino di elio è in grado di sostenere in equilibrio (senza salire o scendere) a una persona.

Supponiamo che il peso della persona, più il cestino, le corde e il pallone siano 70 kg. Qual è il volume di elio necessario affinché ciò accada? Che dimensione avrà il palloncino?

Soluzione

Supponiamo che la spinta sia prodotta principalmente dal volume di elio e che la spinta del resto dei componenti sia molto piccola rispetto a quella dell'elio che occupa molto più volume.

In questo caso, sarà richiesto un volume di elio in grado di fornire una spinta di peso di 70 kg +.

Fdiaogramma del corpo libero pieno di elio. Fonte: preparato da F. Zapata.

La spinta è il prodotto del volume dell'elio a causa della densità dell'elio a causa dell'accelerazione della gravità. Tale spinta deve compensare il peso dell'elio più il peso del resto.

Da⋅v⋅g = da⋅v⋅g + m⋅g

dove conclude che v = m / (da - dh)

V = 70 kg / (1.25 - 0,18) kg/m^3 = 65.4 m^3

Cioè sono necessari 65.4 m^3 di elio a pressione atmosferica per il supporto.

Se assumiamo un palloncino sferico, possiamo trovare il raggio dello stesso dalla relazione tra il volume e il raggio di una sfera:

V = (4/3) ⋅π⋅r^3

Dove r = 2,49 m. In altre parole, sarà richiesto un diametro di 5 m pieno di elio.

Esercizio 2

Materiali di densità inferiore che galleggiano nello stesso. Supponiamo di avere cubi di polistirene (sughero bianco), legno e ghiaccio. Le sue densità in kg per metro cubo sono rispettivamente: 20, 450 e 915.

Trova quale frazione del volume totale è fuori dall'acqua e quale altezza spicca rispetto alla superficie dell'acqua che assume come densità di quest'ultimo 1000 chilogrammi per metro cubo.

Soluzione 

La galleggiamento si verifica quando il peso corporeo è uguale alla spinta dovuta all'acqua:

E = m⋅g

Diagramma del corpo libero di un oggetto parzialmente sommerso. Fonte: preparato da F. Zapata.

Il peso è la densità del corpo DC moltiplicato per il suo volume V e per l'accelerazione della gravità G.

La spinta è il peso del fluido spostato secondo il principio di Archimedes e viene calcolata moltiplicando la densità D dell'acqua dal volume V 'sommerso e dall'accelerazione della gravità.

Questo è:

D⋅v'⋅g = dc⋅v⋅g

Ciò significa che la frazione di volume sommersa è uguale al quoziente tra densità del corpo e densità dell'acqua.

(V '/v) = (dc/d) 

Vale a dire che la frazione di volume eccezionale (v "/v) è

(V "/v) = 1 - (dc/d)

Sì H È l'altezza eccezionale e L Il lato del cubo la frazione di volume può essere scritta come

(H⋅l^2)/(l^3) = H/l, In altre parole, la frazione di altezza eccezionale è anche

(H/L) = 1 - (DC/D)

Quindi i risultati per i materiali richiesti sono:

Polistirolo (sughero bianco):

(H/l) = (v "/v) = 1 - (dc/d) = 1- (20/1000) = 98% fuori dall'acqua

Legna:

(h/l) = (v "/v) = 1 - (dc/d) = 1- (450/1000) = 55% fuori dall'acqua

Ghiaccio:

(h/l) = (v "/v) = 1 - (dc/d) = 1- (915/1000) = 8.5% fuori dall'acqua

Riferimenti

1. Bauer, w. 2011. Fisica per ingegneria e scienze. Volume 1. Mc Graw Hill. 417-455.
2. Cengel Y, Cimbala J. 2011.Meccanica dei fluidi. Fondamenti e applicazioni. Prima edizione. McGraw Hill.
3. Figueroa, d. (2005). Serie: Physics for Science and Engineering. Volume 4. Fluidi e termodinamica. A cura di Douglas Figueroa (USB). 1 - 42.
4. Giles, r. 2010. Meccanica fluida e idraulica. McGraw Hill. 
5. Rex, a. 2011. Fondamenti di fisica. Pearson. 239-263.
6. Tippens, p. 2011. Fisica: concetti e applicazioni. 7a edizione. McGraw Hill.