Principio additivo

Lui Principio additivo È una tecnica di conteggio in probabilità che consente di misurare quanti modi si può svolgere un'attività che, a sua volta, ha da eseguire diverse alternative, di cui è possibile scegliere solo una. Un classico esempio di questo è quando vuoi scegliere una linea di trasporto per passare da un posto a un altro.

In questo esempio, le alternative corrisponderanno a tutte le possibili linee di trasporto che coprono la rotta desiderata, sia aerea, mare o terra. Non possiamo andare in un posto usando due mezzi di trasporto contemporaneamente; Dobbiamo sceglierne solo uno.

Il principio additivo ci dice che la quantità di modi in cui dobbiamo rendere questo viaggio corrisponderà alla somma di ogni alternativa (mezzi di trasporto) possibile che ci sia di andare nel luogo desiderato, questo includerà anche i mezzi di trasporto che rendono scala da qualche parte (o luoghi) intermedio.

Ovviamente, nell'esempio precedente sceglieremo sempre l'alternativa più comoda e questo si adatta meglio alle nostre possibilità, ma probabilisticamente è molto importante sapere quanti modi un evento può essere tenuto.

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Probabilità

In generale, la probabilità è il campo della matematica che è responsabile dello studio di eventi e esperimenti casuali.

Un esperimento o un fenomeno casuale è un'azione che non produce sempre gli stessi risultati, anche se viene effettuato con le stesse condizioni iniziali, senza alterare nulla nella procedura iniziale.

Un esempio classico e semplice per capire in cosa consiste un esperimento casuale è l'azione di lanciare una valuta o un dado. L'azione sarà sempre la stessa, ma non otterremo sempre "faccia" o "sei", per esempio.

La probabilità è responsabile della fornitura di tecniche per determinare la frequenza con cui può verificarsi un evento casuale specifico; Tra le altre intenzioni, il principale è prevedere possibili eventi futuri incerti.

Probabilità di un evento

Più in particolare, la probabilità che si verifichi un evento è un numero reale tra zero e uno; Cioè, un numero appartenente all'intervallo [0,1]. È indicato da p (a).

Se p (a) = 1, allora la probabilità che si verifichi l'evento è del 100%e se è zero non c'è possibilità di accadere. Lo spazio del campione è l'insieme di tutti i possibili risultati che possono essere ottenuti conducendo un esperimento casuale.

Esistono almeno quattro tipi o concetti di probabilità, a seconda del caso: probabilità classica, probabilità frequentista, probabilità soggettiva e probabilità assiomatica. Ognuno focalizza diversi casi.

La probabilità classica copre il caso in cui lo spazio campione ha un numero finito di elementi.

In questo caso, la probabilità di un evento A sarà la quantità di alternative che devono ottenere il risultato desiderato (ovvero il numero di elementi di set a), diviso per il numero di elementi dello spazio del campione.

Qui si dovrebbe prendere in considerazione che tutti gli elementi dello spazio del campione debbano essere ugualmente probabili (ad esempio, come un dato che non è modificato, in cui la probabilità di ottenere uno dei sei numeri è la stessa).

Ad esempio, qual è la probabilità che durante il lancio di un dado verrà ottenuto un numero dispari? In questo caso il set deve essere formato da tutti i numeri dispari tra 1 e 6 e lo spazio del campione sarebbe composto da tutti i numeri da 1 a 6. Quindi, ha 3 elementi e lo spazio campione ne ha 6. Pertanto, p (a) = 3/6 = 1/2.

Ciò che è additivo in linea di principio?

Come indicato sopra, la probabilità misura la frequenza con cui si verifica un determinato evento. Come parte della possibilità di determinare questa frequenza, è importante sapere quanti modi può essere eseguito l'evento. Il principio additivo ci consente di effettuare questo calcolo in un caso particolare.

Il principio additivo stabilisce quanto segue: se a è un evento che ha "A" stesso tempo, allora i modi di essere eseguiti a o b (a∪b) sono A+B.

In generale, questo è stabilito per l'Unione di un numero finito di insiemi (maggiore o uguale a 2).

Esempi del principio additivo

Primo esempio

Se una libreria vende libri di letteratura, biologia, medicina, architettura e chimica, di cui ha 15 diversi tipi di libri di letteratura, 25 di biologia, 12 di medicina, 8 di architettura e 10 chimica, quante opzioni una persona fa scegliere Un libro di architettura o un libro di biologia?

Il principio additivo ci dice che il numero di opzioni o modi per fare questa scelta è 8+25 = 33.

Questo principio può anche essere applicato nel caso in cui sia un singolo evento coinvolto, che a sua volta ha diverse alternative da eseguire.

Supponiamo di voler svolgere un po 'di attività o evento A e che ci siano diverse alternative per questo, diciamo n.

A sua volta, la prima alternativa ha₁ modi per essere eseguiti, la seconda alternativa ha₂ modi di essere eseguiti e così via, il numero alternativo n può essere fatto da a_N modi.

Il principio additivo stabilisce che l'evento A può essere tenuto₁+ A₂+… + A_N modi.

Secondo esempio

Supponiamo che una persona voglia comprare un paio di scarpe. Quando arriva al negozio di scarpe, trova solo due diversi modelli delle sue dimensioni di calzature.

Ci sono due colori disponibili e gli altri cinque colori disponibili. In quanti modi questa persona deve effettuare questo acquisto? Con il principio additivo la risposta è 2+5 = 7.

Il principio additivo dovrebbe essere usato quando si desidera calcolare il modo per eseguire un evento o un altro, non entrambi contemporaneamente.

Per calcolare i diversi modi di eseguire un evento insieme ("Y") con un altro - cioè che entrambi gli eventi devono verificarsi contemporaneamente - viene utilizzato il principio moltiplicativo.

Il principio additivo può anche essere interpretato in termini di probabilità come segue: la probabilità di un evento A o di un evento B, che è indicato da P (A∪b), sapendo che non può verificarsi contemporaneamente a B, è dato da P (A∪b) = p (a)+ p (b).

Terzo esempio

Qual è la probabilità di ottenere un 5 quando si lancia un dado o un viso durante il lancio di una valuta?

Come visto sopra, in generale la probabilità di ottenere qualsiasi numero durante il lancio di un dado è 1/6.

In particolare, la probabilità di ottenere un 5 è anche 1/6. Allo stesso modo, la probabilità di ottenere una faccia durante il lancio di una valuta è 1/2. Pertanto, la risposta alla domanda precedente è p (a∪b) = 1/6+1/2 = 2/3.

Riferimenti

1. Bellhouse, d. R. (2011). Abraham de Moivre: Impostazione delle basi per la probabilità classica e le sue applicazioni. CRC Press.
2. Cifuentes, j. F. (2002). Introduzione alla teoria della probabilità. Nazionale della Colombia.
3. Daston, l. (1995). Probabilità classica nell'illuminazione. Princeton University Press.
4. Johnsonbaugh, r. (2005). Matematica discreta. Pearson Education.
5. Larson, h. J. (1978). Introduzione alla teoria delle probabilità e inferenza statistica. Limusa editoriale.
6. Lutfiyya, l. A. (2012). Risolvo di problemi di matematica finita e discreta. Redattori dell'associazione per la ricerca e l'educazione.
7. Padró, f. C. (2001). Matematica discreta. Politèc. della Catalogna.
8. Steiner, e. (2005). Matematica per scienze applicate. Reverte.