Definizione del poligono convesso, elementi, proprietà, esempi

UN poligono convesso È una figura geometrica contenuta in un piano che è caratterizzato perché ha tutte le sue diagonali all'interno e i suoi angoli misurano meno di 180º. Tra le sue proprietà ci sono le seguenti:

1) È costituito da n segmenti consecutivi in ​​cui l'ultimo dei segmenti si unisce al primo. 2) Nessuno dei segmenti viene attraversato in modo tale che delimita il piano in un interno e un altro esterno. 3) Ognuno degli angoli della regione interna è rigorosamente inferiore a un angolo piatto.

Figura 1. I poligoni 1, 2 e 6 sono convessi. (Preparato da Ricardo Pérez).

Un modo semplice per determinare se un poligono è convesso o non deve considerare la linea che passa attraverso uno dei suoi lati, il che determina due semiplanici. Se su ogni riga che passa da un lato, gli altri lati del poligono si trovano nello stesso semiplano, è allora un poligono convesso.

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Elementi di un poligono

Ogni poligono è costituito dai seguenti elementi:

- Lati

- Vertici

I lati sono ciascuno dei segmenti consecutivi che compongono il poligono. In un poligono nessuno dei segmenti che lo compongono può avere un'estremità aperta, in quel caso ci sarebbe una linea poligonale ma non un poligono.

I vertici sono i punti sindacali di due segmenti consecutivi. In un poligono, il numero di vertici è sempre uguale al numero di lati.

Se due lati o segmenti di una croce di poligono, allora hai un poligono incrociato. Il punto di attraversamento non è considerato un vertice. Un poligono incrociato è un poligono non convesso. I poligoni schiantati sono poligoni incrociati e quindi non sono convessi.

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Quando un poligono ha tutti i suoi lati della stessa lunghezza, c'è quindi un poligono normale. Tutti i poligoni regolari sono convessi. 

Poligoni convessi e non convessi

La Figura 1 mostra diversi poligoni, alcuni di essi sono convessi e altri non lo sono. Analizziamoli:

Il numero 1 è un poligono a tre lettere (triangolo) e tutti gli angoli interni sono inferiori a 180º, quindi è un poligono convesso. Tutti i triangoli sono poligoni convessi.

Il numero 2 è un poligono a quattro laterali (quadrilaterali) in cui nessuno dei lati è intercettato e anche ognuno degli angoli interni è inferiore a 180º. È quindi un poligono convesso a quattro laterali (quadrilatero convesso).

D'altra parte, il numero 3 è un poligono a quattro laterali ma uno dei suoi angoli interni è maggiore di 180º, quindi non soddisfa la condizione di convessità. Cioè, è un poligono non con il lato non convario che si chiama quadrilatero concavo.

Il numero 4 è un poligono a quattro segmenti (lati), due dei quali sono intercettati. I quattro angoli interni sono inferiori a 180º, ma come due lati si incrociano sono un poligono incrociato non convesso (quadrilatero a croce).

Un altro caso è il numero 5. Questo è un poligono a cinque lettere, ma poiché uno dei suoi angoli interni è maggiore di 180º, c'è quindi un poligono concavo.

Infine, il numero 6, che ha anche cinque lati, ha tutti i suoi angoli interni inferiori a 180º, quindi è un poligono convesso a cinque lettere (Pentagono convesso).

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Proprietà in poligono convesse

1- Un poligono non cricked o un semplice poligono divide il piano che lo contiene in due regioni. La regione interna e la regione esterna, essendo il poligono il bordo tra le due regioni.

Ma se inoltre il poligono è convesso, allora esiste una regione interna che è semplicemente correlata, il che significa che prendendo due punti della regione interna, può sempre essere unito da un segmento che appartiene alla sua interezza nella regione interna.

figura 2. Un poligono convesso è semplicemente correlato, mentre un concavo non lo è. (Preparato da Ricardo Pérez).

2- Tutto l'angolo interno di un poligono convesso è inferiore a un angolo piatto (180º).

3- Tutti i punti interni di un poligono convesso appartengono sempre a uno dei semi-definiti dalla linea che passa attraverso due vertici consecutivi.

4- In un poligono convesso tutte le diagonali sono completamente contenute nella regione del poligono interno.

5- I punti interni di un poligono convesso appartengono alla sua interezza al settore angolare convesso definito da ciascun angolo interno.

6- Ogni poligono in cui tutti i suoi vertici sono su una circonferenza è un poligono convesso che si chiama poligono ciclico.

7- Ogni poligono ciclico è convesso, ma non tutti i poligoni convessi sono ciclici.

8- Ogni poligono non crollato (poligono semplice) che ha tutti i lati di uguale lunghezza è convesso ed è noto come poligono normale.

Diagonali e angoli in poligoni convessi

9- Il numero totale di diagonali di un poligono convesso di n lati è dato dalla seguente formula:

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N = ½ N (n - 3)

Dimostrazione: in un poligono convesso di n lati di ciascun vertice, vengono disegnate le diagonali N - 3, poiché il vertice stesso e i due adiacenti sono esclusi. Poiché ci sono n vertici, sono disegnati in diagonali N - 2) totali, ma ogni diagonale è stata disegnata due volte, quindi il numero di diagonali (senza ripetizione) è N (n -2)/2.

10- La somma degli angoli interni di un poligono convesso di N lati è data dalla seguente relazione:

S = (n - 2) 180º

Dimostrazione: le diagonali N-3 sono tratte da un vertice che definisce i triangoli N-2. La somma degli angoli interni di ciascun triangolo è di 180º. La somma totale degli angoli dei triangoli N-2 è (n-2)*180º, che coincide con la somma degli angoli interni del poligono.

Esempi

Esempio 1

Esagono ciclico, è un poligono a sei lettere e sei vertici, ma tutti i vertici si trovano sulla stessa circonferenza. Tutto il poligono ciclico è convesso.

Esagono ciclico.

Esempio 2

Determina il valore degli angoli interni di un enegon normale.

Soluzione: Enegon è un poligono a 9 sul lato, ma sta anche regolando tutti i suoi lati e gli angoli sono gli stessi.

La somma di tutti gli angoli interni di un poligono a 9 sul lato è:

S = (9 - 2) 180º = 7 * 180º = 1260º 

Ma ci sono 9 angoli interni di uguale misura α, quindi la seguente uguaglianza deve essere soddisfatta:

S = 9 α = 1260º

Da dove segue che la misura α di ciascun angolo interno dell'energia regolare è:

α = 1260º/9 = 140º