Parallelepipedo

I parallelepipedi sono figure geometriche a sei leve, in cui gli opposti sono paralleli tra loro. Esempio: un mattone, una scatola per scarpe, un secchio, ecc.

Cos'è un parallelepiped?

UN parallelepipedo È un corpo geometrico formato da sei facce, la cui caratteristica principale è che tutte le sue facce sono parallelogrammi e anche le sue facce opposte sono parallele tra loro. È un poliedro comune nella nostra vita quotidiana, poiché possiamo trovarlo nelle scatole di scarpe, la forma di un mattone, la forma di un forno a microonde, ecc.

Essendo un poliedro, il parallelepiped contiene un volume finito e tutte le sue facce sono piatte. Fa parte del gruppo di prismi, che sono quei poliedri in cui tutti i suoi vertici sono contenuti in due piani paralleli.

Elementi del parallelepiped

Volti

Sono ciascuna delle regioni formate da parallelogrammi che limitano il parallelepipato. Un parallelepiped ha sei facce, in cui ogni faccia ha quattro facce adiacenti e un opposto. Inoltre, ogni faccia è parallela al suo contrario.

Prospettiva di un parallelepiped

Bordi

Sono il lato comune di due facce. In totale, un parallelepiped ha dodici bordi.

Vertice

È il punto comune di tre facce che sono adiacenti da due a due. Un parallelepiped ha otto vertici.

Vertici di un parallelepiped

Diagonale

Date due facce di un parallelepipato l'uno dell'altro, possiamo disegnare un segmento di linea che va dal vertice di una faccia al vertice opposto dell'altro.

Questo segmento è noto come diagonale parallelepiped. Ogni parallelepiped ha quattro diagonali.

Diagonali di un parallelepiped

Centro

È il punto in cui si intersecano tutte le diagonali.

Il punto nella figura indica il centro, in cui tutte le diagonali si intersecano

Caratteristiche del parallelepiped

Come abbiamo già accennato, questo corpo geometrico ha dodici bordi, sei volti e otto vertici.

In un parallelepiped, possono essere identificati tre set formati da quattro bordi, che sono paralleli tra loro. Inoltre, i bordi di questi set rispettano anche la proprietà di avere la stessa lunghezza.

Caratteristiche del parallelepiped

Un'altra proprietà posta.

Inoltre, i parallelepipedi, essendo poliedros convessi, rispettano il teorema di Eulero per Polyhedros, che ci dà una relazione tra il numero di volti, il numero di bordi e il numero di vertici. Questa relazione è data sotto forma della seguente equazione:

C + V = A + 2

Questa funzione è conosciuta come caratteristica di Euler. Dove c è il numero di volti e il numero di vertici e il numero di bordi.

Tipi di parallelo

Possiamo classificare i parallelepípedos in base ai loro volti, sui seguenti tipi:

Ortoedro

Sono i parallelepípedos in cui i loro volti sono costituiti da sei rettangoli. Ogni rettangolo è perpendicolare con quelli con cui condivide il bordo. Sono i più comuni nella nostra vita quotidiana, questa è la solita forma di scarpe e scatole di mattoni.

Orthoedro Parallelepiped

Cubo regolare o hexaedro

Questo è un caso particolare del precedente, in cui ciascuno dei volti è un quadrato.

Può servirti: EllisseCubo regolare o hexaedro

Il cubo fa anche parte dei corpi geometrici chiamati solidi platonici. Un solido platonico è un poliedro convesso, in modo che sia i suoi volti che i suoi angoli interni siano uguali tra loro.

Romboedro

È un parallelepiped che ha un rombo. Questi rombi sono tutti uguali tra loro, poiché condividono i bordi.

Un romboedro

Romboiedro

I suoi sei volti sono romboidi. Ricordiamo che un romboide è un poligono a quattro lettere e quattro angoli che sono uguali da due a due. I romboidi sono i parallelogrammi che non sono né quadrati, né rettangoli, né rombi.

Romboiedro

D'altra parte, i parallelepipedi oblique sono quelli in cui almeno un'altezza non corrisponde al suo bordo. In questa classificazione possiamo includere rhomboedros e romboiedros.

Parallelepiped obliquo

Calcolo diagonale

Per calcolare la diagonale di un ortoedro possiamo usare il teorema di Pitagora per R³.

Ricordiamo che un ortoedro ha la caratteristica che ogni lato è perpendicolare con i lati che condivide il bordo. Da questo fatto possiamo dedurre che ogni bordo è perpendicolare con quelli che condivide il vertice.

Per calcolare la lunghezza di una diagonale di un ortoedro procediamo come segue:

1. Calcoliamo la diagonale di una delle facce, che metteremo per base. Per questo usiamo il teorema di Pitagora. Nominiamo quella diagonale d_B.

2. Quindi con d_B Possiamo formare un nuovo triangolo rettangolo, in modo tale che l'ipotenusa di questo triangolo sia la diagonale D cercata.

3. Usiamo di nuovo il teorema di Pitagora e abbiamo che la lunghezza di quella diagonale è:

Un altro modo per calcolare la diagonale in modo più grafico è con la somma dei vettori liberi.

Ricordiamo che due vettori liberi A e B vengono aggiunti posizionando la coda del vettore B con la punta del vettore A.

Il vettore (A + B) è quello che inizia nella coda di A e termina sulla punta di B.

Considera un parallelepiped a cui vogliamo calcolare una diagonale. Identifichiamo i bordi con vettori orientati comodi.

Quindi aggiungiamo questi vettori e il vettore risultante sarà la diagonale del parallelepiped.

Area di un parallelepiped

L'area di un parallelepiped è data dalla somma di ciascuna delle aree dei suoi volti.

Se determiniamo uno dei lati come base,

A_L + 2 °_B = Area totale

Dove_L È uguale alla somma delle aree di tutti i lati adiacenti alla base, chiamata area laterale e a_B È l'area di base.

A seconda del tipo di parallelepiped con cui stiamo lavorando possiamo riscrivere detta formula.

Area di un ortoedro

È dato dalla formula

A = 2 (AB + BC + CA).

Esempio 1

Dato il seguente ortoedro, con i lati A = 6 cm, B = 8 cm e C = 10 cm, calcola l'area parallelepiped e la lunghezza della sua diagonale.

Usando la formula per l'area di un ortoedro dobbiamo

A = 2 [(6) (8) + (8) (10) + (10) (6)] = 2 [48 + 80 + 60] = 2 [188] = 376 cm².

Si noti che come ortoedro è la lunghezza di una delle sue quattro diagonali è la stessa.

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Usando il teorema di Pitagora per lo spazio dobbiamo

D = (6² + 8² + 10²)^1/2 = (36 + 64 + 100)^1/2 = (200)^1/2

Area cubo

Poiché ogni bordo ha la stessa lunghezza, abbiamo quella a = B e A = C. Sostituire nella formula precedente che abbiamo

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a²) = 6a²

A = 6a²

Esempio 2

La scatola di una console di gioco ha la forma di un cubo. Se vogliamo avvolgere questa scatola con carta regalo, quanta carta spenderemmo sapendo che la lunghezza dei bordi del cubo è di 45 cm?

Usando la formula dell'area del cubo lo otteniamo

A = 6 (45 cm)² = 6 (2025 cm²) = 12150 cm²

Area di un romboedro

Poiché tutti i suoi volti sono uguali, è sufficiente calcolare l'area di uno di essi e moltiplicarla per sei.

Abbiamo che l'area di un rombo può essere calcolata dalle sue diagonali con la seguente formula

A_R = (DD)/2

Usando questa formula segue che l'area totale di rhomboedro è

A_T = 6 (DD)/2 = 3DD.

Esempio 3

Le facce del prossimo rhomboedro sono formate da un rombo i cui diagonali sono d = 7 cm e d = 4 cm. La tua zona sarà

A = 3 (7 cm) (4 cm) = 84 cm².

Area di un rhomboiedro

Per calcolare l'area di un romboiedro dobbiamo calcolare l'area dei romboidi che la compongono. Poiché i parallelepipedi soddisfano la proprietà che i lati opposti hanno la stessa area, possiamo associare i lati in tre pari.

In questo modo abbiamo che la tua zona sarà

A_T = 2b₁H₁ + 2b₂H₂ + 2b₃H₃

Dove b_Yo sono le basi associate ai lati e H_Yo la sua altezza relativa corrispondente a dette basi.

Esempio 4

Considera il seguente parallelepiped,

dove il lato A e il lato A '(il loro lato opposto) sono basati b = 10 e per altezza h = 6. L'area marcata avrà un valore di

A₁ = 2 (10) (6) = 120

B e b 'hanno b = 4 e h = 6, quindi

A₂ = 2 (4) (6) = 48

E c e c 'hanno anche b = 10 e h = 5

A₃ = 2 (10) (5) = 100

Finalmente l'area di Rhomboiedro è

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Volume di un parallelepiped

La formula che ci dà il volume di un parallelepiped è il prodotto dell'area di una delle sue facce a causa dell'altezza corrispondente a detta faccia.

V = a_CH_C

A seconda del tipo di parallelepiped, questa formula può essere semplificata.

Così abbiamo, ad esempio, che il volume di un ortoedro sarebbe stato dato da

V = ABC.

Dove a, b e c rappresentano la lunghezza dei bordi ortoedro.

E nel caso particolare del cubo lo è

V = a³

Esempio 1

Ci sono tre diversi modelli per le scatole di cookie e vuoi.

Il primo è un cubo il cui bordo ha una lunghezza di a = 10 cm.

Il suo volume sarà v = 1000 cm³

Il secondo è b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm.

E quindi il suo volume è v = 765 cm³

E il terzo ha E = 9 cm, F = 9 cm e G = 13 cm.

E il suo volume è v = 1053 cm³

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Pertanto, la scatola con il più grande volume è la terza.

Un altro metodo per ottenere il volume di un parallelepiped è ricorrere all'algebra vettoriale. In particolare, il triplo prodotto scalare.

Una delle interpretazioni geometriche del triplo prodotto scalare è quella del volume del parallelepiped, i cui bordi sono tre vettori che condividono lo stesso vertice di un punto di partenza.

In questo modo, se abbiamo un parallelepiped e vogliamo sapere qual è il suo volume, è sufficiente rappresentarlo in un sistema di coordinate in R³ coincidendo uno dei suoi vertici con l'origine.

Quindi rappresentiamo i bordi che concordano all'origine con i vettori, come mostrato nella figura.

E in questo modo abbiamo che il volume di detto parallelepiped è dato da

V = | Axb ∙ c |

O equivalente, il volume è il fattore determinante della matrice 3 × 3, formata dai componenti dei vettori del bordo.

Esempio 2

Rappresentando il seguente parallelepiped in r³ Possiamo vedere che i vettori che lo determinano sono i seguenti

u = (-1, -3.0), v = (5, 0, 0) e w = (-0.25, -4, 4)

Usando il triplo prodotto scalare che abbiamo

V = | (UXV) ∙ W |

Uxv = (-1, -3.0) x (5, 0, 0) = (0.0, -15)

(UXV) ∙ W = (0,0,- 15) ∙ (-0.25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 ( - 15) = - 60

Questo conclude che V = 60

Considera ora il seguente parallelepiped in r³ i cui bordi sono determinati dai vettori

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) e C = (3, 4, 4)

L'uso dei determinanti ci dà questo

Quindi abbiamo che il volume di detto parallelepiped è 112.

Entrambi sono modi equivalenti per calcolare il volume.

Perfetto parallelepiped

È noto come Brick Euler (o blocco Eulero) a un ortoedro che soddisfa la proprietà che sia la lunghezza dei suoi bordi che la lunghezza delle diagonali di ciascuna delle sue facce sono numeri interi.

Mentre Euler non è stato il primo scienziato a studiare gli ortoeder che incontrano quella proprietà, ha trovato risultati interessanti su di loro.

Il mattone Eulero più piccolo è stato scoperto da Paul Halcke (1662-1731) e le lunghezze dei suoi bordi sono A = 44, B = 117 e C = 240.

Un problema aperto nella teoria dei numeri è il seguente:

Ci sono ortoeder perfetti?

Al momento, questa domanda non ha ancora risposta, dal momento che non è stato possibile dimostrare che non ci sono corpi, ma nessuno è stato trovato.

Ciò che è stato dimostrato finora è che il perfetto parallelepiped fa. Il primo da scoprire ha come lunghezza dei suoi bordi i valori 103, 106 e 271.

Riferimenti

1. Guy, r. (1981). Problemi irrisolti nella teoria dei numeri. Springer.
2. Landaverde, f. D. (1997). Geometria. Progresso.
3. Leithold, l. (1992). Il calcolo con la geometria analitica. Harla, s.A.
4. Rendon, a. (2004). Disegno tecnico: Notebook di attività 3 2 ° Baccalaureato. Tebar.
5. Resnick, r., Halliday, d., & Krane, K. (2001). Vol Physics. 1. Messico: Continental.