Cronologia dei numeri reali, esempi, proprietà, operazioni

IL numeri reali Costituiscono l'insieme numerico che comprende numeri naturali, numeri interi, razionali e irrazionali. Sono indicati con il simbolo ℝ o semplicemente R E la portata che hanno nella scienza, ingegneria ed economia è tale che quando si parla di "numero", si presume quasi che si tratti di un numero reale.

I numeri reali sono stati usati fin dai tempi antichi, sebbene non gli sia stato dato quel nome. Dal momento in cui Pitagora ha sviluppato il suo famoso teorema, sono sorti numeri che non potevano essere ottenuti come numeri piuttosto naturali o numeri interi.

Figura 1. Venn Diagram che mostra come l'insieme di numeri reali contiene gli altri set numerici. Fonte> Wikimedia Commons.

Esempi di numeri sono √2, √3 e π. Questi numeri sono chiamati irrazionale, Contrariamente ai numeri razionali, che provengono da quozienti tra numeri interi. Era quindi necessario un set numerico che copre entrambi i tipi di numeri.

Il termine "numero reale" è stato creato dal grande matematico René Descartes (1596-1650), per distinguere tra i due tipi di radici che possono derivare dalla risoluzione di un'equazione polinomiale.

Alcune di queste radici possono essere coppie di numeri negativi, queste Cartesie li chiamavano "numeri immaginari" e quelli che non lo erano, erano numeri reali.

La denominazione è persistita nel tempo, dando origine a due grandi set numerici: numeri reali e numeri complessi, un set più ampio che include numeri reali, immaginari e quelli che sono reali e parzialmente immaginari.

L'evoluzione dei numeri reali continuò il suo corso fino al 1872, il matematico Richard Dedekind (1831-1936) definito con tutta la formalità l'insieme di numeri reali attraverso le chiamate Corture Dedekind. La sintesi del suo lavoro è stata pubblicata in un articolo che ha visto la luce nello stesso anno.

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Esempi di numeri reali

La tabella seguente mostra esempi di numeri reali. Questo set ha come sottoinsieme a numeri naturali, numeri interi, razionali e irrazionali. Qualsiasi numero di questi set è, in sé, un numero reale.

Pertanto lo 0, gli aspetti negativi, le frazioni positive, le frazioni e i decimali sono numeri reali.

figura 2. Esempi di numeri reali sono gli indigeni, gli interi, i razionali, l'irrazionale e i trascendenti. Fonte: f. Zapata.

Rappresentazione di numeri reali sulla linea reale 

I numeri reali possono essere rappresentati sulla linea reale R, Come mostra l'immagine. Non è necessario che lo 0 sia sempre presente, tuttavia è conveniente sapere che i reais negativi sono alla loro sinistra e a destra il positivo. Ecco perché è un eccellente punto di riferimento.

Sulla linea reale viene presa una scala, in cui si trovano gli interi: ... 3, -2, -1, 1, 2, 3 .. . La freccia indica che la linea si estende all'infinito. Ma non è tutto, in nessun intervallo considerato, troveremo sempre numeri reali infiniti.

I numeri reali sono rappresentati in ordine. Per cominciare, c'è l'ordine di numeri interi, in cui positivo.

Questo ordine rimane all'interno dei numeri reali. Le seguenti disuguaglianze sono mostrate come esempio:

a) -1/2 < √2

Essere < π

c) π> -1/2

Figura 3.- La vera linea. Fonte: Wikimedia Commons.

Proprietà dei numeri reali

-I numeri reali includono numeri naturali, numeri interi, razionali e irrazionali.

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-La proprietà commutativa della somma è soddisfatta: l'ordine degli aggiunti non altera la somma. Se A e B sono due numeri reali, è sempre vero che:

A + b = b + a

-0 è l'elemento neutro della somma: a + 0 = a

-La proprietà associativa viene soddisfatta per la somma. Se A, B e C sono numeri reali: (A + B) + C = A + (B + C).

-L'opposto di un numero reale a è -a.

-La sottrazione è definita come la somma dell'opposto: a - b = a + (-b).

-La proprietà commutativa del prodotto è soddisfatta: l'ordine dei fattori non altera il prodotto: a.B = b.A

-La proprietà associativa viene anche applicata al prodotto: (a.B).C = a.(B.C)

-L'1 è l'elemento neutro della moltiplicazione: a.1 = a

-La proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'aggiunta è valida: a. (b+c) = a.B + A.C

-La divisione di 0 non è definita.

-Qualsiasi numero reale A, tranne 0, ha inverso moltiplicativo a^-1 tale che a.A^-1 = 1.

-Se A è un numero reale: a⁰ = 1 e A¹ = a.

-Il valore o il modulo assoluto di un numero reale è la distanza tra detto numero e 0.

Operazioni con numeri reali

Con i numeri reali puoi fare le operazioni realizzate con gli altri set numerici, tra cui somma, sottrazione, moltiplicazione, divisione, miglioramento, radiazioni, logaritmi e altro ancora.

Come sempre, la divisione di 0 non è definita, non ci sono anche logaritmi di numeri negativi o 0, sebbene sia vero che il log 1 = 0 e che i logaritmi di numeri sono negativi.

Applicazioni

Le applicazioni di numeri reali a tutti i tipi di situazioni sono estremamente variate. I numeri reali appaiono in risposta a molti problemi in scienze esatte, computer, ingegneria, economia e scienze sociali.

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Tutti i tipi di magnitudini e importi come distanze, tempi, forze, intensità del suono, denaro e molti altri hanno la loro espressione in numero reale.

La trasmissione dei segnali telefonici, l'immagine e il suono di un video, la temperatura di un aria condizionata, un riscaldatore o un frigorifero possono essere controllati digitalmente, il che significa trasformare le magnitudini fisiche in sequenze numeriche.

Lo stesso accade quando viene effettuata una transazione bancaria online o viene consultata la messaggistica istantanea. I numeri reali sono ovunque.

Esercizio risolto

Vediamo con gli esercizi come funzionano questi numeri in situazioni comuni con cui siamo quotidianamente.

Esercizio 1

L'ufficio postale accetta solo pacchetti per i quali la lunghezza, più la misurazione del contorno, non supera i 108 pollici. Pertanto, per il pacchetto mostrato per essere accettato, deve essere soddisfatto che:

L + 2 (x + y) ≤ 108

a) Passerai un pacchetto che misura 6 pollici di larghezza, 8 pollici di altezza e 5 piedi di lunghezza?

b) Che ne dici di uno che misura 2 x 2 x 4 piedi³?

c) Qual è il più alto accettabile per un pacchetto la cui base è quadrata e misura 9 x 9 pollici²?

Rispondi a

L = 5 piedi = 60 pollici

x = 6 pollici

y = 8 pollici

L'operazione da risolvere è:

L + 2 (x + y) = 60 + 2 (6 + 8) pollici = 60 + 2 x 14 pollici = 60 + 28 pollici = 88 pollici

Il pacchetto è accettato.

Risposta b

Le dimensioni di questo pacchetto sono inferiori a quelle del pacchetto A), quindi sono entrambe di passare.

Risposta c

In questo pacchetto:

x = l = 9 pollici

Deve essere soddisfatto che:

9+ 2 (9+ y) ≤ 108

27 + 2y ≤ 108

2y ≤ 81

e ≤ 40.5 pollici

Riferimenti

1. Carena, m. 2019. Manuale di matematica preuniversity. Università nazionale della costa.
2. Diego, a. Numeri reali e le loro proprietà. Recuperato da: matematica.Uns.Edu.ar.
3. Figuera, j. 2000. Matematica 9 °. Grado. Edizioni co-bo.
4. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Stewart, J. 2006. Prececculment: matematica per il calcolo. 5 °. Edizione. Apprendimento del Cengage.