Numeri interi

Quali sono i numeri interi?

I numeri interi costituiscono un insieme di numeri utili per contare gli oggetti completi che vengono e quelli che non lo sono. Anche per contare quelli da un lato e l'altro di un determinato luogo di riferimento.

Anche con l'intero numero, la sottrazione o la differenza possono essere eseguite tra un numero e un altro più grande di lui, ad esempio, essendo risolto come debito. La distinzione tra profitti e debiti è fatta con segni + e - rispettivamente.

Figura 1. La linea numerica per numeri interi. Fonte: Wikimedia Commons. Leomg/CC BY-SA (https: // creativeCommons.Org/licenze/by-sa/3.0).

Ecco perché l'intero numero di numeri include quanto segue:

-Numeri interi positivi, che sono scritti preceduti da un segno +, o semplicemente senza il segno, poiché è anche inteso che sono positivi. Ad esempio: +1, +2, +3 ... e così via.

-Lo 0, in cui il segno è irrilevante, perché non lo aggiunge per sottrarlo da un certo importo. Ma lo 0 è molto importante, poiché è il riferimento per i numeri interi: da un lato si trovano quelli positivi e gli aspetti negativi, come vediamo nella figura superiore.

-Gli interi negativi, che devono sempre essere scritti dal segno -, poiché con loro gli importi come i debiti e tutti quelli che si trovano dall'altra parte del riferimento si distinguono. Esempi di numeri interi negativi sono: -1, -2, -3 ... e da allora.

Come sono interi numeri?

All'inizio rappresentiamo gli interi numeri con l'impostazione dell'insieme: z = … -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4 ..., cioè, cioè elencato e organizzato. Ma una rappresentazione molto utile è ciò che utilizza la linea numerica. Per questo, è necessario tracciare una linea, che di solito è orizzontale, su cui 0 è contrassegnato e diviso in sezioni identiche:

figura 2. Rappresentazione di numeri interi sulla linea numerica. Da 0 a destra sono i numeri interi positivi e da 0 a sinistra i negativi. Fonte: f. Zapata.

I negativi vanno a sinistra di 0 e quelli positivi vanno a destra. Le frecce sulla riga numerica simboleggiano che i numeri continuano a infinito. Dato qualsiasi numero intero, è sempre possibile trovarne uno più grande o diverso da quello inferiore.

Il valore assoluto di un numero intero

Il valore assoluto di un numero intero è la distanza tra il numero e 0. E le distanze sono sempre positive. Pertanto il valore assoluto del numero intero negativo è il numero senza il suo segno inferiore.

Ad esempio, il valore assoluto di -5 è 5. Il valore assoluto è indicato con le barre, come segue:

| -5 | = 5

Per visualizzarlo, è sufficiente avere gli spazi sulla linea numerica, da -5 a 0. Mentre il valore assoluto di un numero intero positivo è lo stesso numero, ad esempio | +3 | = 3, poiché la sua distanza su 0 è 3 spazi:

Può servirti: legge sandwich: spiegazione ed eserciziFigura 3. Il valore assoluto di un numero intero è sempre un importo positivo. Fonte: f. Zapata.

Proprietà

-L'insieme di numeri interi è indicato come z e include l'insieme di numeri naturali n, i loro elementi sono infiniti.

-Un numero intero e quello che segue (o quello che lo precede) differisce sempre nell'unità. Ad esempio, dopo 5 arriva su 6, essendo 1 la differenza tra loro.

-Ogni numero intero ha un predecessore e un successore.

-Qualsiasi intero positivo è maggiore di 0.

-Un intero negativo è sempre inferiore a 0 e che qualsiasi numero positivo. Prendiamo ad esempio il numero -100, questo è inferiore a 2, di 10 e 50. Ma è anche inferiore a -10, -20 e -99 ed è maggiore di -200.

-0 non ha considerazioni sui segni, poiché non è negativo o positivo.

-Con gli interi numeri, le stesse operazioni che vengono eseguite con i numeri naturali possono essere eseguite, vale a dire: somma, sottrazione, moltiplicazione, potenziamento e altro ancora.

-L'intero opposto a un certo numero intero x, è -x e la somma di un numero intero con il suo contrario è 0:

x + (-x) = 0.

Operazioni con interi numeri

- Aggiunta

-Se i numeri da aggiungere hanno lo stesso segno, i loro valori assoluti vengono aggiunti e il risultato viene inserito il segno che hanno i aggiunti. Ecco alcuni esempi:

A) (+8) +( +9) = 8 +9 = +17

B) (-12) + ( - 10) = - (12 + 10) = -22

-Nel caso in cui i numeri abbiano un segno diverso, i valori assoluti (il maggiore del minore) vengono sottratti e il risultato viene posizionato il segno del numero con il valore assoluto più alto, come segue:

a) (-8) + (21) = 21 - 8 = 13

B) (-9) + (+4) = -(9-4) = -5

Proprietà della somma dei numeri interi

-La somma è commutativa, pertanto l'ordine dei aggiunti non altera la somma. Lascia che A e B siano due numeri interi, è soddisfatto che A+B = B+A

-0 è l'elemento neutro della somma dei numeri interi: a + 0 = a

-Qualsiasi intero numero aggiunto con il suo contrario è 0. L'opposto di + a è -a e al contrario, l'opposto di -a es + a. Pertanto: (+ a)+ (-a) = 0.

Figura 4. I segni regolano la somma dei numeri interi. Fonte: Wikimedia Commons.

- Sottrazione

Per sottrarre numeri interi devi essere guidato da questa regola: La sottrazione è equivalente alla somma di un numero con il suo opposto. Lascia che due numeri A e B, quindi:

A - b = a + (-b)

Ad esempio, supponiamo che sia necessario eseguire la seguente operazione: (-3) - (+7), quindi:

(-3) -(+7) = (-3)+( -7) = -(3+7) = -10

- Moltiplicazione

La moltiplicazione dei numeri interi segue alcune regole per i segni:

-Il prodotto di due numeri con Lo stesso segno È sempre positivo.

-Quando due numeri si moltiplicano segni diversi, Il risultato è sempre negativo.

Può servirti: quali sono le parti della frazione? (Esempi)

-Il valore del prodotto è uguale a moltiplicare i rispettivi valori assoluti.

Immediatamente alcuni esempi che chiariscono quanto sopra:

(-5) x (+8) = -5 x 8 = -40

(-10) x (-12) = 10 x 12 = 120

(+4) x (+32) = 4 x 32 = 128

Proprietà della moltiplicazione dei numeri interi

-La moltiplicazione è commutativa. Essere due numeri interi a e b, è vero che: a.B = b.A, che può anche essere espresso come:

L'ordine dei fattori non altera il prodotto.

-L'elemento neutro della moltiplicazione è 1. Essere a un numero intero, quindi.1 = 1

-Qualsiasi intero moltiplicato per 0 è uguale a 0:.0 = 0

Proprietà distributiva

La moltiplicazione soddisfa la proprietà distributiva rispetto alla somma. Sì A, B e C sono numeri interi allora:

A.(b +c) = a.B + A.C

Quindi un esempio di come applicare questa proprietà:

(-3). [(-4) + 11] = (-3).(-4)+(-3).11 = 12 -33 = 12 + (-33) = -21

Potenziamento

-Se la base è positiva, il risultato dell'operazione è sempre positivo.

-Quando la base è negativa, se l'esponente è uniforme, il risultato è positivo. E se l'esponente è dispari, il risultato è negativo.

- Divisione

Nella divisione si applicano le stesse regole dei segni della moltiplicazione:

-Dividendo due numeri interi dello stesso segno, il risultato è sempre positivo.

-Quando due numeri interi di diversi segni sono divisi, il quoziente è negativo.

Per esempio:

(-12) ÷ (-4) = 3

33 ÷ (-3) = -11

Importante: La divisione non è commutativa, in altre parole a ÷ b ≠ b ÷ a e come sempre, la divisione tra 0 non è consentita.

- Potenziamento

Sii un numero intero e vogliamo sollevarlo a un esponente n, quindi dobbiamo moltiplicare per sé, come mostrato di seguito:

A^N = a.A.A.A.… A

Consideriamo anche quanto segue, tenendo conto che n è un numero naturale:

-Se a è negativo e n è pari, il risultato è positivo.

-Quando A è negativo e N è dispari, si traduce in un numero negativo.

-Se A è positivo e N è uniforme o strano, è sempre un numero intero positivo.

-Qualsiasi intero elevato a 0 è uguale a 1: a⁰ = 1

-Ogni numero alto a 1 è uguale al numero: a¹ = a

Mettiamo ad esempio che vuoi trovare (-3)⁴ , Per farlo moltiplicare (-3) quattro volte da solo, come questo: (-3).(-3).(-3).(-3) = 81.

Un altro esempio, anche con un numero intero negativo è:

(-2)³ = (-2).(-2).(-2) = -8

Prodotto di uguali poteri di base

Supponiamo che due poteri di uguale base, se li moltiplichiamo otteniamo un altro potere con la stessa base, il cui esponente è la somma degli esponenti dati:

A^N ·A^M = a^{n + m}

Rapporto di polvere di base uguale

Dividendo poteri della stessa base, il risultato è un potere con la stessa base, il cui esponente è la sottrazione degli esponenti dati:

Può servirti: angoli nella circonferenza: tipi, proprietà, esercizi risolti

A^N ÷ a^M = a^{n - m}

Quindi due esempi che chiariscono questi punti:

(-2)³.(-2)⁵ = (-2) ³⁺⁵= (-2)⁸

5⁶ ÷ 5⁴ = 5^6-4 = 5²

Esempi

Diamo un'occhiata a semplici esempi per applicare queste regole, ricordando che nel caso di numeri interi positivi, il segno può essere erogato con:

a) (+6) + (+14) = 6 + 14 = 20

B) (-8) + ( - 10) = - (8 + 10) = -18

c) (-16) + (+7) = -16 + 7 = -9

d) (+4) + (-8) + (-25) = [(+4) + (-8)] + (-25) = [4-8] -25 = -4 -25 = -29

e) (-8) -( + 15) = (-8) + (-15) = -8 -15 = -23

f) (+3) x (+9) = 3 x 9 = 27

g) (- 4) x (-11) = 4 x 11 = 44

H) (+5) x (-12) = -5 x 12 = -60

i) (-2)³ = (-2) x (-2) x (-2) = -8

Esercizi risolti

- Esercizio 1

Una formica si muove sulla linea numerica della Figura 1. A partire dal punto x = +3 esegue i seguenti spostamenti:

-7 unità si spostano a destra

-Ora 5 unità vengono restituite a sinistra

-Cammina 3 unità a sinistra.

-Ritorna e sposta 4 unità a destra.

A che punto è la formica alla fine del percorso?

Soluzione

Chiamiamo gli spostamenti. Quando sono sulla destra viene dato un segno positivo e quando sono sul segno negativo sinistro. In questo modo, e a partire da x = +3 hai:

-Primo D: x₁ = +3 +7 = +10

-Secondo D: x₂ = +10 +(-5) = +5

-Terzo D: x₃ = +5 +(-3) = +2

-Quarta d: x₄ = +2 +4 = +6

Quando la formica termina la sua passeggiata è nella posizione x = +6. Cioè, sono 6 unità a destra di 0 sulla linea numerica.

- Esercizio 2

Risolvi la seguente operazione:

36 + [- (-4 + (-5)- 7)].-[-6+5- (2+7-9)]+2 (-8+6)]

Soluzione

Questa operazione contiene segni di raggruppamento, che sono parentesi, staffe quadrate e chiavi. Durante la risoluzione, devi prima prenderti cura delle parentesi, dopo le staffe quadrate e infine le chiavi. In altre parole, devi lavorare da dentro e fuori.

In questo esercizio, il punto rappresenta una moltiplicazione, ma nel caso tra un numero e una parentesi o un altro simbolo non ha senso, allo stesso modo in cui si comprende che si tratta di un prodotto.

Successivamente, la risoluzione passo dopo passo, i colori servono da guida per seguire il risultato della riduzione delle parentesi, che sono i simboli di gruppo più interni:

36 + [- (-4 + (-5)- 7)].-[-6+5- (2+7-9)]+2 (-8+6)] =

= 36 + [- (-16)].-[-6+ 5- (0)]+ 2 (-2)] =

= 36 + [16].-[-1] -4] =

= 52.1- 4] = 52.-3 = -156

- Esercizio 3

Risolvi l'equazione di primo grado:

12 + x = 30 + 3x

Soluzione

I termini sono raggruppati con l'ignoto a sinistra dell'uguaglianza e i termini numerici a destra:

x - 3x = 30 - 12

- 2x = 18

X = 18 / (-2)

x = - 9