Moltiplicazione delle frazioni come viene fatto, esempi, esercizi

IL Moltiplicazione delle frazioni È un'operazione aritmetica tra due o più frazioni che dà origine a una nuova frazione. Il suo numeratore sta moltiplicando i numeratori delle frazioni partecipanti e il denominatore è allo stesso modo.

Vediamolo con un esempio nella seguente immagine. Supponiamo che ci siano due frazioni A/B e C/D, con B e D diverse da 0.

Figura 1. La moltiplicazione delle frazioni è un'operazione che viene eseguita online. Fonte: f. Zapata.

Per eseguire la moltiplicazione tra loro, il prodotto è realizzato tra i numeratori e anche quello dei denominatori. In questo modo viene creata una nuova frazione in cui il numeratore e il denominatore sono, rispettivamente: (A × C) e (B × D).

Questa procedura è facilmente estesa alla moltiplicazione di tre e più frazioni. Vediamo maggiori dettagli di seguito.

Come viene fatta la moltiplicazione delle frazioni?

Il prodotto può essere simboleggiato con una croce o con un punto intervallato tra le frazioni. Inoltre, si deve prendere in considerazione che le frazioni possono avere un segno positivo o un segno negativo, quindi è necessario fare attenzione a seguire la regola dei segni:

-Quando vengono moltiplicati due numeri di segno uguale, il prodotto è positivo.

-Se vengono moltiplicati due quantità di segni diversi, il risultato è negativo.

Da questa parte:

Una volta eseguita la procedura, la frazione è semplificata, se possibile. Questo nel caso in cui il numeratore e il denominatore non siano cugini l'uno con l'altro. Per esempio:

Se il numeratore e il denominatore delle frazioni partecipanti non sono cugini tra loro, è conveniente semplificarli prima di fare la moltiplicazione delle frazioni. In questo modo, si ottengono numeri più piccoli e più gestibili quando si esegue i prodotti.

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Proprietà della moltiplicazione delle frazioni

Prodotto di 0

Qualsiasi frazione moltiplicata per 0 è uguale a 0:

Prodotto di 1

Qualsiasi frazione moltiplicata per 1 è uguale a se stessa:

Pertanto, l'1 è considerato elemento neutro di moltiplicazione. Si noti che l'intero numero 1 ha un'espressione frazionaria:

In modo tale da poter moltiplicare a 1 per qualsiasi frazione, per mezzo della regola già spiegata. COSÌ:

Proprietà commutativa

La moltiplicazione delle frazioni è commutativa, il che significa che l'ordine dei fattori non altera il prodotto:

Proprietà associativa

La moltiplicazione delle frazioni è anche associativa, possiamo verificare moltiplicando tre frazioni:

Dove, come sempre, i denominatori B, D e F sono diversi da 0.

In parole: se vogliamo moltiplicare tre frazioni, possiamo scegliere di realizzare il prodotto dei primi due e moltiplicare il risultato per la terza frazione. O moltiplicare gli ultimi due e il loro risultato finalmente moltiplicarlo per il primo delle frazioni.

Qualunque sia l'ordine scelto, il risultato sarà lo stesso. Controlliamo:

Per eseguire l'operazione, le prime due frazioni sono state moltiplicate da sinistra a destra. Il risultato è stato moltiplicato a sua volta per la terza frazione per ottenere il risultato finale.

L'altra alternativa è di moltiplicare le ultime due frazioni, lasciando la prima attesa. Il lettore può vedere che il risultato intermedio è costituito da due diverse frazioni da quelle ottenute nell'altro modo. Ma il risultato finale è lo stesso:

Proprietà distributiva per quanto riguarda la somma

Lascia che tre frazioni A/B, C/D ed E/F, con B, D e F sono diverse da 0. La moltiplicazione è distributiva rispetto alla somma.

Supponiamo di voler eseguire la seguente operazione:

Il modo per realizzarlo, attraverso questa proprietà, è il seguente:

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Pertanto, il prodotto di un numero per la somma di altri due, può essere fatto aggiungendo due prodotti: il primo per il secondo e il primo dal terzo. È molto semplice per un esempio:

Il risultato finale appare semplificato al massimo, come spiegato sopra.

Esempi

Moltiplicazione di una frazione per un numero intero

Supponiamo di voler moltiplicare una frazione A/B per un numero intero n:

In precedenza abbiamo visto che il numero 1 può essere espresso come una frazione, semplicemente posizionandosi come denominatore a 1. Possiamo fare lo stesso con qualsiasi numero intero n, poiché dividerlo per 1 non lo modifica affatto. COSÌ:

Per esempio:

Esempio 2: moltiplicazione di una frazione per un numero misto

Un numero misto o una frazione mista, è uno che ha un'intera parte e una parte frazionaria. Per eseguire il prodotto di tale numero, con una frazione, un altro numero misto o con un numero intero, è necessario trasformarlo a turno in frazione.

La frazione che rappresenta un numero misto è un Frazione impropria, a il cui numeratore ha un valore assoluto maggiore rispetto al denominatore.

Possiamo ottenerlo attraverso la somma dell'intera parte, convenientemente espressa come una frazione posizionando un 1 come denominatore, più la parte frazionaria.

figura 2. Un numero misto trasformato in frazione. Fonte: Wikimedia Commons.

Nell'immagine c'è un esempio di numero misto, che dimostra quanto frequentemente. Abbiamo 2 bicchieri d'acqua e mezzo e mezzo, che come numero misto è espresso in questo modo:

2 ½

Otteniamo la frazione impropria che la rappresenta:

Supponiamo ora che vogliamo trovare le 3/4 parti di due bicchieri e mezzo d'acqua. Quello che dobbiamo fare è moltiplicare 3/4 per la frazione impropria ottenuta:

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Esercizi risolti

Esercizio 1

Eseguire la seguente operazione:

Soluzione

Il numero 1 ¾ è un numero misto. Tutta la sua parte è 1 e la sua parte frazionaria è ¾. Se eseguiamo l'operazione: 1 + ¾, il numero misto viene trasformato in una frazione impropria.

1 + ¾ = (4 + 3) /4 = 7/4

Una volta trasformato il numero misto dalla frazione impropria, l'operazione di moltiplicazione viene eseguita come al solito:

Esercizio 2

L'età di José è ½ della 2/3 dell'età di Manuel. Se Manuel ha 24 anni, qual è l'età di José?

Soluzione

Lascia che X l'età di José, uno sconosciuto che dobbiamo trovare. La dichiarazione ci dice che l'età di Manuel è di 24 anni, quindi questo valore è noto.

Per determinare l'età di José, eseguiamo le operazioni indicate dalla dichiarazione: "L'età di José è ½ della 2/3 dell'era di Manuel".

Questa è la moltiplicazione di due frazioni per un numero intero:

Possiamo moltiplicare le prime due frazioni secondo le regole descritte in precedenza. Da parte sua, il numero 24 è un numero intero, ma sappiamo già che non vi è alcun problema nel trasformarlo in una frazione, semplicemente posizionando un 1 come denominatore:

Possiamo semplificare notevolmente l'operazione, osservando che il 2 nel numeratore della seconda frazione viene immediatamente annullato con il 2 che è come denominatore nel primo.

Questo è ciò che ci è rimasto dopo la cancellazione:

Pertanto José ha 8 anni.

Riferimenti

1. Baldor, a. 1986. Aritmetica. Edizioni e distribuzioni Codice.
2. Carena, m. 2019. Manuale di matematica. Università nazionale della costa.
3. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
4. Sangaku maths. Moltiplicazione delle frazioni. Recuperato da: Sangakoo.com.
5. Smartick. Moltiplicazione delle frazioni. Recuperato da: smartick.È.