Quantità di momento angolare, conservazione, esempi, esercizi

Lui momento angolare o La quantità di movimento angolare è, per il movimento di rotazione, qual è il momento lineare per il movimento di traduzione. È una grandezza vettoriale che caratterizza la rotazione di una particella puntuale o un oggetto esteso attorno a un asse che passa attraverso un punto.

Ciò significa che ogni volta che verrà calcolato il momento angolare, l'asse di rotazione deve essere specificato.

A partire da un punto materiale di massa M, il momento angolare è indicato da L, il momento lineare come P e la posizione della particella rispetto a un asse che passa attraverso un certo punto o è R, COSÌ:

L = R X P

Le lettere audaci sono riservate per le magnitudini vettoriali e la croce significa che il momento angolare è il prodotto vettoriale tra il vettore di posizione R E il momento lineare P della particella. Il vettore che risulta da un prodotto vettoriale è perpendicolare al piano formato dai vettori partecipanti.

Ciò significa che la direzione e il senso di L Possono essere trovati per regola della mano destra per il prodotto incrociato.

Nel sistema internazionale delle unità, le unità del momento angolare sono kg⋅m²/s, che non hanno un nome speciale. E per un corpo esteso, che è composto da molte particelle, la definizione precedente si estende convenientemente.

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Quantità di movimento angolare

Relazione tra i vettori del momento angolare rispetto a un determinato punto o tempo lineare per una particella puntuale che si muove in un cerchio. Fonte: modificata da F. Zapata di Wikimedia Commons.

L'entità del vettore del momento angolare è secondo la definizione del prodotto vettoriale:

L = r⋅m⋅v⋅sen ϕ = mv (r⋅sen ϕ) = mvℓ

Dove ϕ è l'angolo tra i vettori R E v. Quindi ℓ = r sen ϕ è la distanza perpendicolare tra la linea di v E il punto o.

Nel caso della particella che si muove descrivendo la circonferenza mostrata nell'immagine superiore, questo angolo è di 90º, poiché la velocità è sempre tangente alla circonferenza e quindi perpendicolare al raggio.

Pertanto Sen 90º = 1 e l'entità di L È:

L = m⋅R⋅v

Il momento dell'inerzia

Il momento di inerzia di un corpo rigido descrive l'inerzia del corpo contro la rotazione attorno a un certo asse.

Dipende non solo dal corpo del corpo, ma anche dalla distanza dall'asse di rotazione. Questo è facilmente comprensibile quando si pensi che per alcuni oggetti, è più facile ruotare rispetto ad alcuni assi che ad altri.

Per un sistema di particelle, il momento di inerzia, indicato dalla lettera I, è dato da:

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I = ∑ r_Yo² ΔM_Yo

Dove ΔM_Yo  È una piccola porzione di pasta e r_Yo È la sua distanza dall'asse di rotazione. Un corpo esteso è composto da numerose particelle, quindi il suo momento di inerzia totale è la somma di tutti i prodotti tra massa e distanza, delle particelle che lo compongono.

Se è un corpo esteso, l'estate cambia in un integrale e ΔM Diventa un differenziale di massa DM. I limiti di integrazione dipendono dalla geometria degli oggetti:

I = ∫_M (R²) Dm

Il concetto di momento di inerzia è strettamente correlato al momento angolare di un oggetto esteso, come vedremo allora.

Momentum angolare di un sistema di particelle

Considera un sistema di particelle, composto dalla massa ΔM_Yo che sta ruotando seguendo un cerchio nel piano XY, Ognuno ha una velocità lineare relativa alla sua velocità angolare, quest'ultima per tutte le particelle:

v_Yo = Ωr_Yo

Dove r_Yo È la distanza dall'asse di rotazione o. Quindi l'entità del momento angolare è:

L_Yo = ΔM_Yo. R_Yo. (Ωr_Yo) = R_Yo²Ω ΔM_Yo

Il momento angolare del sistema sarà dato dalla somma:

L = Ω ∑ r_Yo² ΔM_Yo

Identifichiamo rapidamente il momento dell'inerzia, come definito nella sezione precedente, e quindi la grandezza del suo momento angolare rimane così:

L = iω

Come abbiamo detto che il sistema di particelle era sul piano XY, si scopre che il momento angolare è diretto lungo l'asse z, perpendicolare a detto piano. Il significato è dato dalla rotazione: il momento angolare.

Un corpo esteso può essere diviso in fette, ognuna con slancio angolare dato da L = iω diretto lungo l'asse z. Se l'asse di simmetria dell'oggetto coincide con l'asse z non vi è alcun problema, poiché anche per i punti che non si trovano nel piano XY, i componenti del momento angolare perpendicolari a detto asse vengono annullati.

Vettorialmente:

L = IΩ

Questa equazione è valida per oggetti tridimensionali che ruotano attorno a un asse di simmetria.

Quando il momento angolare varia?

Quando una forza netta agisce su una particella o un corpo, il suo momento lineare può cambiare e, di conseguenza, farà anche il suo momento angolare. Per sapere quando variamo usiamo il derivato, che ci darà il tasso di cambiamento nel tempo, se ci sono:

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Applicazione della regola del prodotto per il derivato:

Il termine v x mv È nullo, poiché è il prodotto di un vettore con se stesso, e nel secondo termine troviamo la forza netta F = mA, Perciò:

Il prodotto vettoriale R X F Non è altro che la coppia o il momento della torsione netta, a volte indicata con i testi greci τ o come M, Sempre audace, poiché è un importo vettoriale. Quindi, in analogia con il momento lineare, il momento angolare varia finché c'è una coppia o un momento di torsione netta:

DL/dt = M

Conservazione del momento angolare

Dalle sezioni precedenti che abbiamo visto:

DL/dt = M

Cioè, il momento angolare varia quando c'è un momento di torsione netta. Se non c'è momento di torsione netta, allora:

DL/dt = 0 → L è costante

In altre parole:

Momente angolare iniziale = momento angolare finale

Questo risultato è ancora valido nel caso in cui un corpo non sia rigido, come vedremo nei seguenti esempi.

Esempi

Il momento angolare è un'entità importante che viene rivelata in numerose situazioni, che dimostra quanto sia universale:

Pattinaggio artistico e altri sport

A sinistra il pattinatore inizia a girare con braccia estese, a destra, si restringe le braccia contro il corpo e attraversa le gambe per aumentare la velocità di svolta. Fonte: Wikimedia Commons.

Ogni volta che un corpo che gira i contratti, la sua velocità di rotazione aumenta, questo conosce bene i pattinatori di ghiaccio.

Questo perché quando contraggiamo armi e gambe, il momento di inerzia I diminuisce, quando la distanza tra le sue parti diminuisce, ma quando il momento angolare viene preservato, per mantenere costante il prodotto Iω, la velocità angolare deve aumentare.

Questo è valido non solo nel pattinaggio, ma anche negli sport e nelle attività in cui i turni devono.

I gatti sono in piedi

I gatti li fissano sempre per atterrare a quattro zampe quando cadono. Anche se non hanno una quantità di movimento iniziale, si assicurano che girano rapidamente le gambe e la coda per cambiare l'inerzia della rotazione e ripararli per alzarli.

Allo stesso modo mentre si muove, il loro momento angolare è nullo, poiché la loro rotazione non è continua.

Il movimento di un frisbee

Un frisbee deve essere lanciato stampandolo per volare, poiché altrimenti cade. Anzi, il momento angolare.

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Le palle nello sport

Baseball, calcio, basket e altre palle sportive hanno un momento angolare. Dato che sono sferici hanno un momento di inerzia e durante il gioco vengono ruotati. Come il momento dell'inerzia di una sfera è:

I = (2/5) MR²

Dove m è la massa della palla e r il suo raggio, il momento di inerzia rispetto a un determinato asse (fisso) è:

L = (2/5) MR²Ω

Il monte lunare

La luna si sta allontanando dalla terra, poiché la velocità di rotazione della terra diminuisce a causa dell'attrito tra le grandi masse acquatiche e lo sfondo del mare.

Il sistema di Luna terrestre mantiene il suo momento angolare.

L'atomo

Il primo postulato del modello atomico di Bohr afferma che un elettrone occupa solo orbite in cui il momento angolare è un intero multiplo di H/2π, Dove h è costante di Planck.

Esercizio risolto

Una sottile asta di acciaio ha una massa di 500 g e una lunghezza di 30 cm. Ruota attorno a un asse che passa attraverso il suo centro ad una velocità di 300 giri al minuto. Determina il modulo della sua quantità di movimento angolare.

Soluzione

Avremo bisogno del momento di inerzia dell'asta che si riferisce a un asse che passa attraverso il suo centro. Si scopre che consultare lo slancio dell'inerzia:

I = (1/12) ml² = (1/12) × 0.5 kg x (30 × 10^-2 M)² = 3.75 × 10^-3 kg.M²

Dal momento che è un corpo esteso, che conosciamo la velocità angolare, usiamo:

L = iω

Prima di trasformare la velocità angolare o la frequenza angolare Ω a radias/s:

Ω = (300 rivoluzioni/minuto) × (1 minuto/60 secondi) x (radiante/rivoluzione 2π) = 10 π rad/s

Sostituzione:

L = 3.75 x10^-3 kg⋅m² × 10 π rad/s = 0.118 kg⋅m² / S

Riferimenti

1. Bauer, w. 2011. Fisica per ingegneria e scienze. Volume 1. Mc Graw Hill.
2. Giambattista, a. 2010. Fisica. 2 °. Ed. McGraw Hill.
3. Giancoli, d.  2006. Fisica: principi con applicazioni. 6 °. Ed Prentice Hall.
4. Cavaliere, r.  2017. Fisica per scienziati e ingegneria: un approccio strategico.  Pearson.
5. Serway, r., Jewett, J. (2008). Fisica per la scienza e l'ingegneria. Volume 1. 7 °. Ed. Apprendimento del Cengage.
6. Tippens, p. 2011. Fisica: concetti e applicazioni. 7a edizione. McGraw Hill.