Minimi quadrati

Qual è il metodo dei quadrati minimi?

Il metodo di Minimi quadrati È una delle applicazioni più importanti nell'approccio delle funzioni. L'idea è di trovare una curva in modo tale che, data una serie di coppie ordinate, questa funzione è meglio avvicinata ai dati. La funzione può essere una linea, una curva quadratica, una cubica, ecc.

L'idea del metodo è quella di ridurre al minimo la somma dei quadrati delle differenze nelle ordinate (componente y), tra i punti generati dalla funzione scelta e i punti appartenenti al set di dati.

Metodo quadrato minimo

Prima di dare il metodo, dobbiamo prima essere chiari su cosa "è meglio avvicinarsi". Supponiamo che venga ricercata una linea y = b+mx che è quella che rappresenta meglio un set di n punti, vale a dire (x1, y1), (x2, y2)…, (xn, yn).

Come mostrato nella figura precedente, se le variabili xey erano correlate dalla riga y = b+mx, quindi per x = x1 il valore corrispondente di y sarebbe b+mx1. Tuttavia, questo valore è diverso dal valore reale di y, che è y = y1.

Ricorda che nel piano, la distanza tra due punti è data dalla seguente formula:

Con questo in mente, per determinare come scegliere la linea y = b+mx che si avvicina meglio ai dati dati, sembra logico da usare come criteri la selezione della linea che minimizza la somma delle quadrati delle distanze tra i punti e la linea.

Poiché la distanza tra i punti (X1, Y1) e (X1, B+MX1) è Y1- (B+MX1), il nostro problema è ridotto alla ricerca dei numeri M e B in modo tale che la somma successiva sia minima:

Può servirti: teorema verde, dimostrazione, applicazioni ed esercizi

La linea che soddisfa questa condizione è nota come "Approccio alla linea di quadrati minimi ai punti (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)".

Una volta ottenuto il problema, rimane solo quello di scegliere un metodo per trovare l'approccio con i quadrati minimi. Se i punti (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn) sono tutti sulla linea y = mx+b, dovremmo essere colineali e:

In questa espressione:

Infine, se i punti non sono colineali, allora y-au = 0 e il problema può tradursi in una ricerca di un vettore o tale che lo standard euclideo sia minimo.

Trovare il vettore di minimizzazione o non è così difficile come si potrebbe pensare. Poiché una matrice NX2 e U è una matrice 2 × 1, abbiamo che il vettore Au è un vettore in r^N e appartiene all'immagine di A, che è un sottospazio di R^N Con una dimensione non più di due.

Supponiamo che n = 3 mostri qual è la procedura che deve essere seguita. Se n = 3, l'immagine di A sarà un piano o una linea che passa attraverso l'origine.

Lascia che V il vettore minimizzante. Nella figura osserviamo che Y-Au è ridotto al minimo quando è ortogonale all'immagine di a. Cioè, se v è il vettore di minimizzazione, allora succede:

Quindi, possiamo esprimere quanto sopra in questo modo:

Questo può accadere solo se:

Infine, Clearing V, dobbiamo:

È possibile farlo da allora^TA è invertibile ogni volta che i punti N come dati non sono colineali.

Ora, se invece di cercare una linea desideriamo trovare una parabola (la cui espressione sarebbe della forma y = a+bx+cx²) Che si trattasse di una migliore approssimazione ai punti dati, la procedura sarebbe descritta di seguito.

Può servirti: numeri interi

Se i punti dati fossero in quella parabola, dovrebbe:

Poi:

Allo stesso modo possiamo scrivere y = au. Se tutti i punti non sono nella parabola, abbiamo che Y-Au è diverso da zero per qualsiasi vettore U e il nostro problema è di nuovo: trova un vettore u in r3 in modo tale che la sua norma || y-uu || essere il più possibile.

Ripetendo la procedura precedente, possiamo arrivare al vettore desiderato è:

Esercizi risolti

Esercizio 1

Trova la linea che si adatta meglio ai punti (1.4), (-2.5), (3, -1) e (4.1).

Soluzione

Dobbiamo:

Poi:

Pertanto, concludiamo che la linea che si adatta meglio ai punti è data da:

Esercizio 2

Supponiamo che un oggetto venga lasciato cadere da un'altezza di 200 m. Durante la caduta, vengono prese le seguenti misure:

Sappiamo che l'altezza di questo oggetto, dopo che è trascorso un tempo, è data da:

Se desideriamo ottenere il valore di G, possiamo cercare una parabola che è un approccio migliore ai cinque punti indicati nella tabella, e quindi avremmo quel coefficiente che accompagna t² Sarà un approccio ragionevole a (-1/2) g se le misurazioni sono esatte.

Dobbiamo:

Poi:

Quindi i punti dati sono regolati dalla seguente espressione quadratica:

Quindi devi:

Questo è un valore che è ragionevolmente vicino a quello corretto, che è g = 9,81 m/s². Al fine di ottenere una g più accurata di G sarebbe necessario iniziare da osservazioni più precise.

Qual è il metodo quadrato minimo per?

Nei problemi che si verificano nelle scienze naturali o sociali è conveniente scrivere le relazioni tra diverse variabili attraverso una certa espressione matematica.

Può servirti: variazione proporzionale

Ad esempio, possiamo relazionarci in economia il costo (c), reddito (i) e profitti (u) attraverso una semplice formula:

In fisica, possiamo mettere in relazione l'accelerazione causata dalla gravità, il tempo in cui un oggetto è caduto e l'altezza dell'oggetto per legge:

Nella precedente espressione s_O È l'altezza iniziale di detto oggetto e v_O è la tua velocità iniziale.

Tuttavia, trovare formule come queste non è un compito semplice; Di solito corrisponde al professionista in servizio di lavorare con molti dati e svolgere ripetutamente diversi esperimenti (al fine di verificare che i risultati ottenuti siano costanti) per trovare relazioni tra i diversi dati.

Un modo comune per raggiungere questo obiettivo è rappresentare i dati ottenuti su un piano come punti e cercare una funzione continua che si avvicina in modo ottimale a questi punti.

Uno dei modi per trovare la funzione che "si avvicina meglio" ai dati forniti è con il metodo dei minimi quadrati.

Inoltre, come abbiamo visto anche nell'esercizio, grazie a questo metodo possiamo ottenere approcci abbastanza stretti alle costanti fisiche.