Il calcolo della matrice inversa e l'esercizio fisico hanno risolto

IL Matrice inversa di una data matrice, è la matrice che moltiplica per i risultati originali nella matrice di identità. La matrice inversa è utile per risolvere i sistemi di equazioni lineari, quindi l'importanza di sapere come calcolarla.

Le matrici sono molto utili in fisica, ingegneria e matematica, poiché sono uno strumento compatto per risolvere problemi complessi. L'utilità delle matrici è migliorata quando sono invertibili e anche il loro inverso è noto.

Figura 1. Sono mostrate una matrice generica 2 × 2 e la sua matrice inversa. (Preparato da Ricardo Pérez)

Nei campi di elaborazione grafica, i big data, il data mining, l'apprendimento automatico e altri sono utilizzati algoritmi efficienti e rapidi per valutare le matrici NXN matrice inversa con n molto grandi, nell'ordine di migliaia o milioni.

Per illustrare l'uso della matrice inversa nella gestione del sistema di equazioni lineari, inizieremo con il caso più semplice di tutte: matrici 1 × 1.

Viene considerata il caso più semplice: un'equazione lineare di una singola variabile: 2 x = 10.

L'idea è di trovare il valore di X, ma sarà "matrixly". 

La matrice M = (2) che moltiplica il vettore (x) è una matrice 1 × 1 che si traduce nel vettore (10):

M (x) = (10)

L'inverso della matrice M è indicato da m^-1.

Il modo generale di scrivere questo "sistema lineare" è:

M x = b, dove x è il vettore (x) e b è il vettore (10).

Per definizione, la matrice inversa è quella che moltiplicata per la matrice originale risulta nella matrice di identità I:

M^-1 M = i

Nel caso considerato, Matrix M^-1 È la matrice (½), cioè m^-1 = (½) da m^-1 M = (½) (2) = (1) = i

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Per trovare il vettore sconosciuto x = (x), nell'equazione rialzata, entrambi i membri vengono moltiplicati per la matrice inversa:

M^-1 M (x) = m^-1 (10)

(½) (2) (x) = (½) (10)

(½ 2) (x) = (½ 10)

(1) (x) = (5)

(x) = (5)

È stata raggiunta l'uguaglianza di due vettori, che sono uguali solo quando i loro elementi corrispondenti sono uguali, cioè x = 5.

Calcolo dell'inverso di una matrice

Ciò che motiva il calcolo della matrice inversa è trovare un metodo universale per la soluzione di sistemi lineari come il seguente sistema 2 × 2:

x - 2 y = 3

-x + y = -2

Seguendo i passaggi del caso 1 × 1, studiato nella sezione precedente, scriviamo il sistema di equazioni in modo matrice:

figura 2. Sistema lineare in forma di matrice.

Si noti che questo sistema è scritto in notazione vettoriale compatta come segue:

M x = b

Dove

Il prossimo passo è trovare m.

Metodo 1: attraverso l'eliminazione gaussiana

Verrà applicato il metodo di eliminazione di Gauss. Che consiste nel fare operazioni elementari sui ranghi della matrice, queste operazioni sono:

- Moltiplicare una riga per un numero non null.

- Aggiungi o sottrai un'altra riga o il multiplo di un'altra riga.

- Exchange Righes.

L'obiettivo è, attraverso queste operazioni, convertire la matrice originale nella matrice di identità. 

Come è stato fatto, in matrice m vengono applicate esattamente le stesse operazioni alla matrice di identità. Quando dopo diverse operazioni nelle righe R viene trasformato nella matrice unitaria, allora quello che era originariamente l'unitario verrà trasformato nella matrice inversa di m, cioè m^-1.

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1- Iniziamo il processo scrivendo la matrice M e accanto ad essa la matrice dell'unità:

2- Aggiungiamo le due righe e il risultato viene messo nella seconda riga, in questo modo otteniamo uno zero nel primo elemento della seconda riga:

3- Moltiplichiamo la seconda riga per -1 per ottenere 0 e 1 nella seconda riga:

4- La prima riga è moltiplicata per ½:

5- Il secondo e il primo aggiunge e il risultato è posizionato in prima fila:

6- Per terminare il processo, la prima riga di 2 viene moltiplicata per ottenere nella prima matrice di identità e nella seconda la matrice inversa della matrice originale M:

Vale a dire:

Soluzione di sistema

Una volta ottenuta la matrice inversa, il sistema di equazioni viene risolto applicando la matrice inversa in entrambi i membri dell'equazione del vettore compatto:

M^-1M x = m^-1B

X = m^-1B

Questo rimane esplicitamente così:

Quindi la moltiplicazione della matrice viene fatta per ottenere il vettore x:

Metodo 2: mediante matrice allegata

In questo secondo metodo la matrice inversa viene calcolata in base alla matrice collegata della matrice originale A.

Supponiamo che una matrice data da:

dove_{io, j} È l'elemento della riga Yo e la colonna J della matrice A.

L'attacco della matrice A Sarà chiamato Agg (a) E i suoi elementi sono:

ANNO DOMINI_{io, j} = (-1)^(I+J) ¦ai, j.

Dove Ai, j È la matrice minore complementare che si ottiene eliminando la riga I e la colonna J dalla matrice originale A. Barre ¦ ¦ indicare che il determinante è calcolato, cioè ¦ai, j. È il fattore determinante della matrice minore complementare.

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Formula inversa matrice

La formula per trovare la matrice inversa basata sulla matrice collegata della matrice originale è la seguente:

Cioè, la matrice inversa di A, A^-1, è la trasposizione dell'attaccamento di A diviso per determinante di A.

Il trasposto A^Tdi una matrice A È quello ottenuto scambiando gradi per le colonne, cioè la prima riga diventa la prima colonna e la seconda riga alla seconda colonna e così via fino alle righe N della matrice originale.

Esercizio risolto

Sii la matrice al prossimo:

Ognuno degli elementi della matrice allegata di A: agg (a) viene calcolato

Risultante che la matrice allegata di a, agg (a) sia la seguente:

Quindi viene calcolato il determinante della matrice A, det (a):

Finalmente si ottiene la matrice inversa di A:

Riferimenti

1. Determinanti e matrici di Anthony Nicolaides (1994). PUBBLICAZIONE PASS.
2. Awol Assen (2013) Uno studio sul calcolo dei determinanti di 3 × 3
3. Casteleiro Villalba m. (2004) Introduzione all'algebra lineare. Editoriale ESIC.
4. Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
5. Jenny Olive (1998) Maths: una guida alla sopravvivenza di uno studente. Cambridge University Press.
6. Richard J. Brown (2012) Matematica di 30 secondi: le 50 teorie della maggior parte della mente in matematica. Ivy Press Limited.
7. Matrice. Lap Lambert Academic Publishing.