Fermat limitare ciò che consiste ed esercitazioni risolte

Lui Limite di fermat È un metodo numerico utilizzato per ottenere il valore della pendenza di una linea, che è tangente a una funzione specifica del suo dominio. Viene anche usato per ottenere punti critici di una funzione. La sua espressione è definita come:

È ovvio che Fermat non conosceva le basi della derivazione, tuttavia furono i suoi studi a promuovere un gruppo di matematici a indagare sulle linee tangenti e sulle loro applicazioni nel calcolo.

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Qual è il limite di Fermat?

È costituito da un approccio di 2 punti, che in condizioni precedenti formano una linea secante alla funzione con l'intersezione in coppia di valori.

Quando si avvicina alla variabile al valore "A", la coppia di punti è obbligata a incontrarsi. In questo modo la linea di asciugatura precedentemente diventa tangente al punto (a; f (a)).

Il valore del quoziente (x - a), se valutato nel punto "a", genera un'indeterminatezza dei limiti di tipo K tra zero (k/0). Dove queste indeterminazioni possono essere suddivise attraverso diverse tecniche di fattorizzazione.

Le tecniche operative più utilizzate sono:

-Differenza quadrata (a² - B² ) = (a + b) (a - b); L'esistenza dell'elemento (A-B) implica in gran parte dei casi il fattore che semplifica l'espressione (X-A) nel rapporto limite Fermat.

- Completamento quadrato (ascia² + bx); Dopo aver completato i quadrati, si ottiene un binomiale di Newton, in cui uno dei suoi 2 fattori è semplificato con l'espressione (X - A), rompendo l'indeterminatezza.

- Coniugato (a + b) / (a ​​+ b); Moltiplicare e dividere l'espressione per il coniugato di alcuni fattori può essere di grande aiuto per rompere l'indeterminatezza.

- Fattore comune; In molti casi il risultato del funzionamento del numeratore del fermat f (x) - f (a) nascosto al fattore (x - a) necessario per fattore fattozza. Per questo si osserva attentamente quali elementi vengono ripetuti in ciascun fattore dell'espressione.

Applicazione del limite Fermat per il massimo e minimo

Anche quando il limite di Fermat non distingue tra il massimo e il minimo.

La conoscenza di base sulla teoria grafica delle funzioni in conunzione con questo teorema, può essere sufficiente per stabilire valori massimi e minimi tra le funzioni. In effetti, i punti di flesso possono essere definiti dal teorema del valore medio aggiuntivo per il teorema di Fermat.

La parabola cubica

Il paradosso più significativo per Fermat è arrivato quando ha studiato la parabola cubica. Poiché la sua attenzione era rivolta alle linee tangenti di una funzione per un determinato punto, ha riscontrato il problema di definire detta linea tangente nel punto di inflessione esistente nella funzione.

Sembrava impossibile determinare la linea tangente fino a un certo punto. Inizia così l'indagine che darebbe origine al calcolo differenziale. Quindi definito da importanti esponenti della matematica.

Massimo e minimo

Lo studio del massimo e minimo di una funzione è stata una sfida per la matematica classica, in cui un metodo inequivocabile e pratico per la definizione di questi.

Fermat ha creato un metodo basato sul funzionamento di piccoli valori differenziali, che dopo i processi di fattorizzazione vengono eliminati lasciando il posto al valore più e minimo.

Questa variabile deve essere valutata nell'espressione originale per determinare la coordinata di detto punto, che insieme ai criteri analitici saranno definiti dal massimo o minimo dell'espressione.

Metodo

Nel suo metodo, Fermat usa il simbolismo letterale di Vieta, che consisteva nell'uso esclusivo di lettere maiuscole: le vocali, per le incognite e le consonanti per le quantità note.

Nel caso di valori radicali, Fermat ha implementato un particolare processo, che sarebbe stato successivamente utilizzato nelle fattorizzazioni dei limiti di indeterminatezza Infinito tra infinito.

Questo processo consiste nel dividere ogni espressione per il valore differenziale utilizzato. Nel caso di Fermat usava la lettera E, dove dopo la divisione tra la più grande potenza di E, il valore richiesto dal punto critico diventa chiaro.

Storia

Il limite di Fermat è in effetti uno dei contributi meno rinomati nella lunga lista del matematico. I suoi studi provenivano da numeri primi, per creare sostanzialmente le basi per il calcolo.

A sua volta, Fermat era noto per le sue eccentricità riguardo alle sue ipotesi. Era comune per una sorta di sfida per gli altri matematici dell'epoca, quando aveva già la soluzione o la dimostrazione.

Aveva una grande varietà di controversie e alleanze con diversi matematici dell'epoca, che amavano o odiano lavorare con lui.

Il suo ultimo teorema è stato il principale responsabile della sua fama mondiale, in cui ha affermato che una generalizzazione del teorema di Pitagora Per qualsiasi grado "N", era impossibile. Ha detto di averne una valida dimostrazione, ma è morto prima di renderlo pubblico.

Questa dimostrazione ha dovuto aspettare circa 350 anni. Nel 1995 i matematici Andrew Wiles e Richard Taylor, hanno concluso l'ansia lasciata da Fermat, dimostrando che era proprio attraverso una valida dimostrazione del suo ultimo teorema.

Esercizi

Esercizio 1

Definire la pendenza della linea tangente alla curva f (x) = x² Al punto (4, 16)

Sostituire nell'espressione del limite di fermat che hai:

Quindi applicando i minimi quadrati, il numeratore è il fattore

I fattori sono semplificati (x - 4)

Quando si valuta hai

M = 4 + 4 = 8

Esercizio 2

Definire il punto critico di espressione f (x) = x² + 4x usando il limite Fermat

In questo caso non ci sono coordinate, quindi il valore x viene sostituito dalla forma generica x₀

Viene eseguito un raggruppamento strategico di elementi, cercando di raggruppare i pari X-X₀

Sono sviluppati quadrati

Si osserva il fattore X-X comune_{0 ed è estratto}

L'espressione può già essere semplificata e l'indeterminazione è rotta

Nei punti minimi si sa che la pendenza della linea tangente è uguale a zero. In questo modo possiamo abbinare zero l'espressione trovata e cancellare il valore x₀    

2 x₀ + 4 = 0

X₀ = -4/2 = -2

Per ottenere le coordinate mancanti devi solo valutare il punto nella funzione originale

F (-2) = (-2)² + 4 (-2) = 4 - 8 = - 4

Il punto critico è P (-2, -4).

Riferimenti

1. Analisi reale. Un approccio storico Sauhl Stahl, John Wiley & Sons, 5 agosto. 1999.
2. La carriera matematica di Pierre di Fermat, 1601-1665: seconda edizione. Michael Sean Mahoney. Princeton University Press, 5 giugno. 2018
3. Da Fermat a Minkowski: lezioni sulla teoria dei numeri e il suo sviluppo storico. W. Scharlau, h. Opolka, Springer Science & Business Media, 1985
4. L'ultimo teorema di Fermat: un'introduzione genetica alla teoria del numero algebrico. Harold m. Edwards. Springer Science & Business Media, 14 gennaio. 2000
5. Fermat Days 85: Matematica per l'ottimizzazione. J.-B. Hiriart-Uruty Elsevier, 1 gennaio. 1986