Matematica

Algebra vettoriale

Qual è l'algebra vettoriale?

Lui Algebra vettoriale È un ramo della matematica responsabile dello studio di sistemi di equazioni lineari, vettori, matrici, spazi vettoriali e le loro trasformazioni lineari. È correlato ad aree quali ingegneria, risoluzione di equazioni differenziali, analisi funzionale, ricerca operativa, grafica computazionale, tra gli altri.

Un'altra delle aree che l'algebra lineare ha adottato è la fisica, poiché attraverso ciò è stato possibile sviluppare lo studio dei fenomeni fisici, descrivendoli attraverso l'uso dei vettori. Ciò ha reso possibile una migliore comprensione dell'universo.

Fondamenti

L'algebra vettoriale ha avuto origine dallo studio dei quaternioni (estensione dei numeri reali) 1, I, J e K, nonché la geometria cartesiana promossa da Gibbs e Heaviside, che si sono resi conto che i vettori sarebbero serviti da strumento per rappresentazione Diversi fenomeni fisici.

L'algebra vettoriale è studiata attraverso tre basi:

Geometricamente

I vettori sono rappresentati da linee che hanno un orientamento e operazioni come somma, sottrazione e moltiplicazione per numero reale sono definiti attraverso metodi geometrici.

Analiticamente

La descrizione dei vettori e le loro operazioni viene eseguita con numeri, chiamati componenti. Questo tipo di descrizione è il risultato di una rappresentazione geometrica perché viene utilizzato un sistema di coordinate.

Assiomaticamente

Viene fatta una descrizione dei vettori, indipendentemente dal sistema di coordinate o da qualsiasi tipo di rappresentazione geometrica.

Lo studio delle figure nello spazio viene condotto attraverso la sua rappresentazione in un sistema di riferimento, che può essere in una o più dimensioni. Tra i sistemi principali ci sono:

Sistema unidimensionale, che è una linea in cui un punto (o) rappresenta l'origine e un altro punto (p) determina la scala (lunghezza) e la direzione di questo:

Sistema di coordinate rettangolari (due -dimensionali), che è composto da due linee perpendicolari chiamate asse x e y, che attraversano un'origine punto (o); In questo modo il piano è diviso in quattro regioni chiamate quadranti. In questo caso, un punto (P) sul piano è dato dalle distanze che esistono tra gli assi e P.

Sistema di coordinate polari (due -dimensionali). In questo caso, il sistema è composto da un punto O (origine) che si chiama polo e un semi -river con origine in o chiamato asse polare. In questo caso, il punto P del piano, con riferimento al polo e all'asse polare, è dato dall'angolo (ɵ), che è formato dalla distanza tra l'origine e il punto P.

Sistema rettangolare tre -dimensionale, formato da tre linee perpendicolari (x, y, z) che hanno come punto o nello spazio. Si formano tre piani di coordinate: XY, XZ e YZ; Lo spazio sarà diviso in otto regioni chiamate ottanti. Il riferimento di un punto p dello spazio è dato dalle distanze che esistono tra i piani e P.

Magnitudini

Una grandezza è una quantità fisica che può essere contata o misurata attraverso un valore numerico, come nel caso di alcuni fenomeni fisici; Tuttavia, è spesso necessario descrivere questi fenomeni con altri fattori che non sono numerici. Ecco perché le magnitudini sono classificate in due tipi:

Magnitudo scalare

Sono quegli importi che sono definiti e rappresentano in modo numerico; cioè, da un modulo insieme a un'unità di misura. Per esempio:

a) Tempo: 5 secondi.

b) Messa: 10 kg.

c) Volume: 40 ml.

d) Temperatura: 40 ºC.

Magnitudo vettoriale

Sono quegli importi che sono definiti e rappresentati da un modulo insieme a un'unità, nonché da un senso e una direzione. Per esempio:

Può servirti: simbolizzazione delle espressioni

a) Velocità: (5ȋ - 3ĵ) m/s.

b) accelerazione: 13 m /s²; S 45º e.

C) Forza: 280 N, 120º.

d) Peso: -40 ĵ kg -f.

Le magnitudini vettoriali sono rappresentate graficamente dai vettori.

Cosa sono i vettori?

I vettori sono rappresentazioni grafiche di una grandezza vettoriale; Cioè, sono segmenti di linea in cui la sua estremità finale è la punta di una freccia.

Questi sono determinati dal suo modulo o dalla lunghezza del segmento, il loro senso che è indicato dalla punta della sua freccia e dalla sua direzione secondo la linea a cui appartiene. L'origine di un vettore è anche nota come punto di applicazione.

Gli elementi di un vettore sono i seguenti:

Modulo

È la distanza dall'origine alla fine di un vettore, rappresentato da un numero reale insieme a un'unità. Per esempio:

| Om | = | A | = A = 6 cm

Indirizzo

È la misura dell'angolo che esiste tra l'asse X (dal positivo) e il vettore, nonché i punti cardinali (nord, sud, est e ovest) vengono utilizzati.

Senso

È dato dalla punta della freccia situata all'estremità del vettore, indicando dove è diretto.

Classificazione dei vettori

Generalmente, i vettori sono classificati come:

Vettore fisso

È quello il cui punto di applicazione (origine) è fisso; cioè, rimane legato a uno spazio di spazio, quindi non può muoversi in questo.

Vector gratuito

Può muoversi liberamente nello spazio perché la sua origine si sposta in qualsiasi punto senza cambiare il suo modulo, significato o direzione.

Vettore scorrevole

È uno che può trasferire la sua origine lungo la sua linea di azione senza cambiare il suo modulo, significato o direzione.

Proprietà vettoriali

Tra le proprietà principali dei vettori sono i seguenti:

Vettori di equipaggiamento

Sono quei vettori liberi che hanno lo stesso modulo, la direzione (o questi sono paralleli) e il senso come vettore scorrevole o un vettore fisso.

Vettori equivalenti

Si verifica quando due vettori hanno lo stesso indirizzo (o sono paralleli), lo stesso senso e nonostante abbiano moduli e punti di applicazione diversi, causano pari effetti.

Uguaglianza vettoriale

Questi hanno lo stesso modulo, direzione e senso, anche quando i loro punti di partenza sono diversi, il che consente a un vettore parallelo di spostarsi su se stesso senza influenzarlo.

Vettori opposti

Sono quelli che hanno lo stesso modulo e la stessa direzione, ma il loro significato è opposto.

Vettore unitario

È uno in cui il modulo è uguale all'unità (1). Ciò si ottiene dividendo il vettore per il suo modulo e viene utilizzato per determinare la direzione e la direzione di un vettore, nel piano o nello spazio, usando la base standardizzata o i vettori dell'unità, che sono:

Vettore nullo

È quello il cui modulo è uguale a 0; Cioè, il suo punto di origine ed estremo coincide allo stesso punto.

Componenti vettoriali

I componenti di un vettore sono quei valori delle proiezioni vettoriali sugli assi del sistema di riferimento; A seconda della decomposizione del vettore, che può essere in assi di due o tre dimensioni, verranno ottenuti due o tre componenti, rispettivamente.

I componenti di un vettore sono numeri reali, che possono essere positivi, negativi o addirittura zero (0).

In questo modo, se si dispone di un vettore ā, proveniente da un sistema di coordinate rettangolari nel piano XY (bidimensionale), la proiezione sull'asse X è āx e la proiezione sull'asse y ed è āy. Pertanto, il vettore sarà espresso come somma dei suoi vettori componenti.

Esempi

Primo esempio

Hai un vettore ā che inizia dall'origine e le coordinate delle sue estremità sono fornite. Quindi, il vettore ā = (ā_X; A_E) = (4; 5) cm.

Può servirti: 120 divisori

Se il vettore ā agisce all'origine di un sistema di coordinate triangolari tridimensionali (nello spazio) x, y, z, in un altro punto (p), le proiezioni sui loro assi saranno āx, āy e āz; Pertanto, il vettore sarà espresso come somma dei suoi tre vettori componenti.

Secondo esempio

Hai un vettore ā che inizia dall'origine e le coordinate delle sue estremità sono fornite. Pertanto, il vettore ā = (a_X; A_E;A_z) = (4; 6; -3) cm.

I vettori che hanno le loro coordinate rettangolari possono essere espressi secondo i loro vettori di base. Per questo, solo ogni coordinata deve essere moltiplicata per il rispettivo vettore unitario, in modo che per il piano e lo spazio saranno i seguenti:

Per il piano: ā = a_XI +a_EJ.

Per lo spazio: ā = a_XI +a_EJ+a_zK.

Operazioni con vettori

Ci sono molte magnitudini che hanno modulo, significato e direzione, come accelerazione, velocità, spostamento, forza, tra gli altri.

Questi sono applicati in varie aree scientifiche e per applicarli, in alcuni casi è necessario eseguire operazioni come somma, sottrazione, moltiplicazione e divisione di vettori e scalari.

aggiunta e sottrazione dei vettori

La somma e la sottrazione dei vettori sono considerate una singola operazione algebrica perché la sottrazione può essere scritta come somma; Ad esempio, la sottrazione dei vettori ā e ē può essere espressa come:

Ā - ē = ā + (-iche)

Esistono diversi metodi per eseguire la somma e la sottrazione dei vettori: possono essere grafica o analisi.

Metodi grafici

Usato quando un vettore ha un modulo, senso e direzione. Per questo, vengono disegnate linee che formano una figura che successivamente aiuta a determinare i risultanti. Tra i più noti ci sono i seguenti:

Metodo del parallelogramma

Per fare la somma o la sottrazione di due vettori, viene scelto un punto comune sull'asse delle coordinate, che rappresenterà il punto di origine dei vettori -mantenendo il loro modulo, direzione e direzione.

Quindi le linee parallele vengono disegnate dai vettori per formare un parallelogramma. Il vettore risultante è la diagonale che lascia dal punto di origine di entrambi i vettori al vertice del parallelogramma:

Metodo del triangolo

In questo metodo i vettori sono posizionati al di sotto dell'altro, mantenendo i loro moduli, sensi e indirizzi. Il vettore risultante sarà l'unione dell'origine del primo vettore con la fine del secondo vettore:

metodi analitici

Due o più vettori possono essere aggiunti o sottratti attraverso un metodo geometrico o vettoriale:

Metodo geometrico

Quando due vettori formano un triangolo o un parallelogramma, il m [odulo e la direzione del vettore risultante possono essere determinati usando le leggi del seno e del coseno. Pertanto, il modulo vettoriale risultante, applicando la legge del coseno e con il metodo del triangolo, è dato da:

In questa formula β è l'angolo opposto rispetto al lato R, e questo è pari a 180º - ɵ.

D'altra parte, con il metodo parallelogramma il modulo vettoriale risultante è:

L'indirizzo vettoriale risultante è dato dall'angolo (α), che forma quello risultante con uno dei vettori.

Per legge sul seno, la somma o la sottrazione dei vettori può anche essere eseguita con il metodo del triangolo o del parallelogramma, sapendo che in ogni triangolo i lati sono proporzionali al seno degli angoli belli:

Metodo vettoriale

Questo può essere fatto in due modi: a seconda delle sue coordinate rettangolari o dei suoi vettori di base.

Possono essere eseguiti i vettori che verranno aggiunti o sottratti verso l'origine delle coordinate, quindi tutte le proiezioni sono suddivise nei loro componenti rettangolari in ciascuno degli assi per il piano (x, y) o lo spazio (x, x, x e z); Infine, i suoi componenti vengono aggiunti algebricamente. Quindi, per l'aereo è:

Può servirti: numeri Primo: caratteristiche, esempi, esercizi

Il modulo vettoriale risultante è:

Mentre per lo spazio è:

Il modulo vettoriale risultante è:

Quando vengono eseguite somme vettoriali, vengono applicate diverse proprietà, che sono:

Proprietà associativa: Il risultato non cambia aggiungendo prima due vettori e quindi aggiungendo un terzo vettore.
Proprietà commutativa: L'ordine dei vettori non altera il risultato.
Proprietà distributiva vettoriale: Se uno scalare viene moltiplicato per la somma di due vettori, è uguale alla moltiplicazione dello scalare per ciascun vettore.
Proprietà distributiva scalare: Se un vettore viene moltiplicato per la somma di due scalari, è uguale alla moltiplicazione del vettore per ciascun scalare.

Moltiplicazione vettoriale

La moltiplicazione o il prodotto dei vettori potrebbe essere eseguita come somma o sottrazione, ma nel fare ciò perde il significato fisico e quasi non è mai all'interno delle applicazioni. Pertanto, generalmente i tipi di prodotti più utilizzati sono il prodotto scalare e vettoriale.

Prodotto scalare

È anche noto come punto di due vettori. Quando i due moduli vettori vengono moltiplicati per il coseno angolo minore che si forma tra loro, si ottiene uno scalare. Per esprimere un prodotto scalare tra due vettori, viene posto un punto tra loro e questo può essere definito come:

Il valore dell'angolo esistente tra i due vettori dipenderà dal fatto che siano paralleli o perpendicolari; Quindi, devi:

Se i vettori sono paralleli e hanno lo stesso senso, coseno 0º = 1.
Se i vettori sono paralleli e hanno sensi opposti, coseno 180º = -1.
Se i vettori sono perpendicolari, coseno 90º = 0.

Quell'angolo può anche essere calcolato sapendo che:

Il prodotto scalare ha le seguenti proprietà:

Proprietà commutativa: l'ordine dei vettori non altera lo scalare.
Proprietà distributiva: se uno scalare viene moltiplicato per la somma di due vettori, è uguale alla moltiplicazione dello scalare per ciascun vettore.

Prodotto vettoriale

La moltiplicazione vettoriale, o il prodotto trasversale di due vettori A e B, si tradurrà in un nuovo vettore C ed esprimerà usando una croce tra i vettori:

Il nuovo vettore avrà le sue caratteristiche. Quel modo:

IL indirizzo: Questo nuovo vettore sarà perpendicolare al piano, che è determinato dai vettori originali.
Lui senso: Questo è determinato con la regola della mano destra, in cui il vettore A è trasformato verso la B che indica la direzione della rotazione con le dita e con il pollice la direzione del vettore è contrassegnata.
Lui modulo: È determinato dalla moltiplicazione dei moduli dei vettori AXB, dal seno dell'angolo minore che esiste tra questi vettori. È espresso:

Il valore dell'angolo che esiste tra i due vettori dipenderà dal fatto che siano paralleli o perpendicolari. Quindi, è possibile affermare quanto segue:

Se i vettori sono paralleli e hanno lo stesso significato, seno 0º = 0.
Se i vettori sono paralleli e hanno sensi opposti, seno 180º = 0.
Se i vettori sono perpendicolari, seno 90º = 1.

Quando un prodotto vettoriale viene espresso secondo i suoi vettori di base, deve: