Kepler Leades Spiegazione, esercizi, esperimento

IL Leggi di Kepler Informazioni sul movimento planetario furono formulati dall'astronomo tedesco Johannes Kepler (1571-1630). Kepler li ha dedotti in base al lavoro del suo insegnante astronomo danese Tycho Brahe (1546-1601).

Brahe ha compilato attentamente i dati dai movimenti planetari per più di 20 anni, con sorprendente accuratezza e accuratezza, se si prese in considerazione che al momento del telescopio non era stato ancora inventato. La validità dei tuoi dati è ancora valida oggi.

Figura 1. Le orbite dei pianeti secondo le leggi di Kepler. Fonte: Wikimedia Commons. Willow/CC di (https: // creativeCommons.Org/licenze/di/3.0)

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Le 3 leggi di Kepler

Le leggi di Kepler stabiliscono:

-Prima legge: Tutti i pianeti descrivono le orbite ellittiche con il sole in uno dei riflettori.

-Seconda legge o legge dello stesso: Una linea diretta dal sole a qualsiasi pianeta (radio focale), spazzano aree uguali in tempi uguali.

figura 2. Legge delle aree. Fonte: Wikimedia Commons. Gonfer/CC BY-SA (https: // creativeCommons.Org/licenze/by-sa/3.0)

-Terza Legge: Il quadrato del tempo che porta qualsiasi pianeta orbitale intorno al sole è proporzionale al cubo della sua distanza media dal sole.

Essere T detto tempo, chiamato Periodo orbitale, E R La distanza media, quindi:

T² è proporzionale a r³

T = k r³

Ciò significa che il quoziente T²/ R³ È lo stesso per tutti i pianeti, il che consente di calcolare il raggio orbitale, se il periodo orbitale è noto.

Quando T È espresso in anni e R Nelle unità astronomiche UA*, la costante di proporzionalità vale k = 1:

T²= r³

*Un'unità astronomica è equivalente a 150 milioni di chilometri, che è la distanza media tra la terra e il sole. Il periodo orbitale della terra è di 1 anno.

La legge universale per la gravitazione e la terza legge di Kepler

La legge sulla gravitazione universale stabilisce che l'entità della forza di attrazione gravitazionale tra due oggetti di massa M E M rispettivamente, i cui centri sono separati una distanza R, Esso è dato da:

F = g mm /r²

G è la costante di gravitazione universale e il suo valore è g = 6.674 x 10 ^-undici N.M²/kg² .

Ora, le orbite dei pianeti sono ellittiche con un'eccentricità molto piccola.

Ciò significa che l'orbita non si allontana molto da un cerchio, tranne in alcuni casi come il nano Plutone. Se approssimiamo le orbite alla forma circolare, l'accelerazione del movimento del pianeta è:

A_C = v²/R

dato che F = Ma, Avere:

G mm /r² = m.v²/R

Qui v È la velocità lineare del pianeta intorno al sole, statico e assunzione di massa M, Mentre il pianeta è M. COSÌ:

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Ciò spiega che i pianeti più lontani dal sole hanno una velocità orbitale inferiore, poiché dipende da 1/√r.

Poiché la distanza in cui il pianeta sta viaggiando è approssimativamente la lunghezza della circonferenza: l = 2πr e impiega lo stesso tempo t, il periodo orbitale, si ottiene:

V = 2πr /t

Si ottiene equalizzazione di entrambe le espressioni per v un'espressione valida per t², Il quadrato del periodo orbitale:

E questa è precisamente la terza legge di Kepler, poiché in questa espressione la parentesi 4π² /Gm È costante, quindi T² è proporzionale alla distanza R elevato al cubo.

L'equazione definitiva per il periodo orbitale si ottiene estraendo la radice quadrata:

Calcolo della massa del sole

Quanto costa la massa del sole? È possibile scoprire attraverso questa equazione. Sappiamo che il periodo orbitale della Terra è di un anno e il raggio orbitale è 1 UA, equivalente a 150 milioni di chilometri, quindi abbiamo tutti i dati necessari.

Nella nostra precedente equazione, chiamiamo M, ma non prima di convertire tutti i valori al sistema internazionale di unità se:

1 anno = 3.16 x 10⁷ Secondi.

1 UA = 150 milioni di km = 1.5 x10^undici M.

E sostituendo i dati nell'equazione, otteniamo una stima abbastanza riuscita del sole del sole in 2.0 x 10 ³⁰ kg.

Esercizi

Sebbene Kepler avesse in mente solo i pianeti quando derivava le sue famose leggi, questi sono anche validi per il movimento dei satelliti e gli altri corpi del sistema solare, come vedremo dopo.

- Esercizio 1

Sapere che l'orbita di Giove è 5.19 volte maggiore di quello della terra, trova il periodo orbitale di Giove.

Soluzione

Secondo la definizione di unità astronomica, Giove proviene dal sole 5.19 UA, quindi, secondo la terza legge di Kepler:

T²= r³= (5.19)³ anni

Perciò T = (5.19)^3/2  anni = 11.8 anni

- Esercizio 2

Halley Comet visita il sole ogni 75.3 anni. Trovare:

a) La principale semifinanza della sua orbita.

b) la misura dell'apelio, se il perilio misura 0.568 ua.

Soluzione

Halley Comet visita il sole ogni 75.3 anni. Trovare:

a) La principale semifinanza della sua orbita.

b) la misura dell'apelio, se il perilio misura 0.568 ua.

Soluzione a

Quando un pianeta o qualsiasi altra stella è al suo punto più vicino al sole, si dice che sia nel perielio, E quando è più avanti, in afelio. Nel caso speciale di un'orbita circolare, R nella terza legge di Kepler è il raggio dell'orbita.

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Tuttavia, nell'orbita ellittica il corpo celeste è più o meno lontano dal sole, essendo il semi -major "A" la media tra l'apertura e il perielio:

Figura 3. Aflio e Perihelio. Fonte: Wikimedia Commons. Pearson Scott Foresman / Domasero pubblico

Pertanto, sostituiamo r da una terza legge di Kepler, che risulta per Halley in:

T²= a³→ a = (t)²³ → A = (75.3) ²³ Ua = 17.832 ua

Soluzione b

A = ½ (perielio + apelio)

17.832 = ½ (0.568+ Aflio) → Aflio = 2 x 17.832 - 0.568 UA = 35.10 ua.

Sperimentare

Analizzare il movimento dei pianeti richiede settimane, mesi e persino anni di attenta osservazione e registrazione. Ma in laboratorio può essere condotto un esperimento molto semplice per dimostrare che la legge degli uguali di Kepler è soddisfatta.

Per questo, è richiesto un sistema fisico in cui la forza che governa il movimento è una condizione centrale, sufficiente per soddisfare la legge delle aree. Tale sistema è costituito da una massa legata a una lunga corda, con l'altra estremità del thread fisso a un supporto.

L'impasto separa un piccolo angolo della sua posizione di equilibrio e viene stampato un leggero impulso, in modo che esegui un movimento ovale (quasi ellittico) sul piano orizzontale, come se fosse un pianeta attorno al sole.

Sulla curva descritta dal pendolo, possiamo dimostrare che spazza le aree uguali in tempi uguali, sì:

-Consideriamo le radio vettoriali che vanno dal centro di attrazione (punto di equilibrio iniziale) alla posizione della massa.

-E noi barmos tra due momenti consecutivi di uguale durata, in due diverse aree del movimento.

Più lungo è il filo del pendolo e più basso l'angolo che si allontana dalla verticale, la forza restaurativa netta sarà più orizzontale e la simulazione ricorda il caso del movimento con la forza centrale su un piano.

Quindi l'ovale descritto si avvicina a un'ellisse, come quella che viaggiano i pianeti.

Materiali

-Thread inetensibile

-1 impasto o sfera di metallo dipinto di bianco che funge da pendolo lenticchie

-Governate

-Trasportatore

-Fotocamera per foto con disco strobo automatico

-Supporti

-Due fonti di illuminazione

-Un foglio di carta o cartone nero

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Procedura

L'assemblaggio della figura è necessario per scattare foto di più lampi del pendolo come segue la sua traiettoria. Per fare questo devi mettere la fotocamera appena sopra il pendolo e l'album automatico strobo davanti all'obiettivo.

Figura 4. Assemblaggio del pendolo per verificare che spazza le aree uguali in tempi uguali. Fonte: Guida al laboratorio PSSC.

In questo modo, le immagini sono ottenute a intervalli di tempo regolari del pendolo, ad esempio ogni 0.1 o ogni 0.2 secondi, il che consente di sapere il tempo impiegato per spostarsi da un punto all'altro.

Devi anche illuminare comodamente la massa del pendolo, mettendo le luci su entrambi i lati. La lenticchie deve essere dipinta bianca per migliorare il contrasto sullo sfondo, che consiste in una carta nera estesa sul terreno.

Ora devi verificare che il pendolo spazzino le aree uguali in tempi uguali. Per questo, viene scelto un intervallo di tempo e i punti occupati dal pendolo in detto intervallo sono contrassegnati su carta.

Sull'immagine una linea viene tracciata dal centro dell'ovale in questi punti e quindi avremo la prima delle aree spazzate dal pendolo, che è approssimativamente un settore ellittico come quello mostrato di seguito:

Figura 5. Area di un settore ellittico. Fonte: f. Zapata.

Calcolo dell'area della sezione ellittica

Gli angoli sono misurati con il trasportatore θ_O E θ₁, E questa formula viene utilizzata per trovare s, l'area del settore ellittico:

S = f (θ₁) - f (θ_O)

Con F (θ) Dato da:

Notare che A E B Sono i semi -senijes più grandi e minori. Il lettore dovrebbe solo preoccuparsi di misurare attentamente la semi -misura e gli angoli, poiché ci sono calcolatori online per valutare facilmente questa espressione.

Tuttavia, se si insisti a fare il calcolo a mano, devi ricordare che l'angolo θ è misurato in gradi, ma al momento dell'inserimento dei dati al calcolatore, i valori devono essere espressi in radianti.

Quindi devi segnare un'altra coppia di punti in cui il pendolo ha investito lo stesso intervallo di tempo e disegnare l'area corrispondente, calcolando il suo valore con la stessa procedura.

Verifica della legge delle aree uguali

Infine resta verificare che la legge delle aree sia adempiuta, cioè che in volte le aree uguali siano spazzate.

I risultati si discostano un po 'da ciò che è previsto? Devi tenere presente che tutte le misure sono accompagnate dal rispettivo errore sperimentale.

Riferimenti

1. Calcolatrice online Keisan. Area di un calcolatore del settore ellittico. Recuperato da: Keisan.Casio.com.
2. Opentax. La legge del movimento planetario di Kepler. Estratto da: OpenStax.org.
3. PSSC. Fisica di laboratorio. Editoriale tornato. Recuperato da: libri.Google.co.
4. Palen, s. 2002. Astronomia. Serie Schaum. McGraw Hill.
5. Pérez r. Sistema semplice con forza centrale. Recuperato da: Francesphysics.Blogspot.com
6. Stern, d. Le tre leggi Kepler del movimento planetario. Recuperato da: Phy6.org.