Formula di Ampère e legge sulle equazioni, dimostrazione, esercizi

IL Legge di Ampère afferma che la circolazione del vettore di induzione magnetica B È proporzionale all'intensità e alla corrente che scorre di lo stesso.

A sua volta la circolazione di B È la somma di tutti i prodotti tra il componente tangenziale B_║ e la lunghezza di un piccolo segmento Δℓ di una curva chiusa c, Intorno a un circuito. In termini matematici è scritto in questo modo:

∑ b_║ .Δℓ ∝ Yo

Figura 1. Definizione della legge Ampere. Fonte: Serway, R. Fisica del college.

Come linea o curva arbitraria, può essere diviso in piccoli segmenti Δℓ, E questi a loro volta possono essere infiniti, quindi sono chiamati Dℓ.

In questo caso, la somma diventa una linea integrale del prodotto scalare tra i vettori B e dS. Questo prodotto contiene il componente tangenziale di B, che è b cosθ, dove θ è l'angolo tra i vettori:

Il piccolo cerchio che attraversa l'integrale significa che l'integrazione viene eseguita su una traiettoria chiusa C, che in questo caso coinvolge la corrente che scorre attraverso la sezione trasversale del conducente.

La costante di proporzionalità necessaria per stabilire l'uguaglianza è μ_O, Permeabilità al vuoto. In questo modo, la legge di Ampère rimane:

La legge di Ampère ci dice che la linea integrale ∫_C B ∙ dS Vale esattamente μ_OIo, ma non ci offre i dettagli su come è orientato il campo magnetico B Per quanto riguarda la curva C in ciascun punto o su come calcolare l'integrale. Ci dice solo che il risultato dello stesso è sempre μ_OYo.

[TOC]

Dimostrazione della legge di Ampère

La legge di Ampère è verificata sperimentalmente controllando il campo magnetico prodotto da un conduttore rettilineo molto lungo. Prima di affrontare il problema, devono essere evidenziati due casi di interesse speciale nell'equazione precedente:

Può servirti: corpi luminosi: caratteristiche e come generano la propria luce

-Il primo è quando B e dS Sono paralleli, il che significa B è tangenziale a c. Quindi l'angolo tra i due vettori è 0º e il prodotto scalare è semplicemente il prodotto delle magnitudini B.ds.

-Il secondo si verifica se B e dS Sono perpendicolari, nel qual caso il prodotto scalare è 0, poiché l'angolo tra i vettori è di 90º, il cui coseno è 0.

Un altro dettaglio importante è la scelta della curva C su cui viene valutata la circolazione sul campo. La legge di Ampère non specifica cosa può essere, ma deve avvolgere la distribuzione corrente. Né dice come viaggiare sulla curva e ci sono due possibilità per questo.

La soluzione è assegnare segni in base alla regola del pollice destro. Le quattro dita sono curve nella direzione in cui si desidera integrare, di solito questo sarà lo stesso nel campo B circola. Se i punti attuali nella direzione del pollice destro, viene assegnato un segno e, in caso contrario, firma -.

Questo vale quando c'è una distribuzione con diverse correnti, alcune possono essere positive e altri negativi. La somma algebrica di loro è ciò che stiamo per posizionare nella legge di Ampère, che di solito è nominata come nominata Corrente disturbata (Per la curva c).

Campo magnetico di filo rettilineo e infinito

La Figura 2 mostra un filo che trasporta una corrente e fuori dal piano. La regola del pollice destro garantisce che B Circola nella direzione opposta, descrivendo le circonferenze come mostrano le frecce rosse.

figura 2.- Campo magnetico di un filo infinito. Fonte: Wikimedia Commons.

Prendiamo uno di loro, il cui raggio è r. Lo dividiamo in piccoli segmenti differenziali DS, rappresentato per mezzo di vettori blu. Entrambi i vettori, B e dS, Sono paralleli in ogni punto della circonferenza e in questo modo l'integrale ∫_C B ∙ dS Si trasforma in:

Può servirti: corrente continua

∫_C Bds

Questo perché, come abbiamo detto prima, il prodotto scalare B ∙ dS  È il prodotto delle magnitudini dei vettori dal coseno 0º. Il risultato dell'integrale è noto grazie alla legge di Ampère, quindi scriviamo:

∫_C BDS = μ_OYo

Poiché l'entità del campo è costante sull'intera traiettoria, lascia l'integrale:

B ∫_C Ds = μ_OYo

L'integrale ∫_C DS rappresenta la somma di tutti i segmenti infinitesimali che compongono la circonferenza radio R, Equivalente alla sua lunghezza, il prodotto del suo raggio di 2π:

B.2πr = μ_OYo

E da lì scopriamo che l'entità di B è:

B = μ_OI / 2πr

È necessario sottolineare che anche se la traiettoria selezionata (o circuito amperiano) Non circolare, il risultato dell'integrale continua ad essere μ_OIo, tuttavia ∫_C B ∙ dS Non sarebbe più b.2πr.

Ecco perché l'utilità della legge di Ampère per determinare il campo magnetico sta nella scelta delle distribuzioni con elevata simmetria, in modo tale che l'integrale sia facile da valutare. Le traiettorie circolari e rettilinei soddisfano questo requisito.

Esercizi risolti

- Esercizio 1

Considera le curve A, B, C e D mostrate nella Figura 3. Avvolgono tre correnti, due che lasciano il piano, simboleggiate con un punto ( . ), le cui intensità sono 1 a e 5 a e una corrente che entra nel piano, che è indicato con una croce e la cui grandezza è 2 a.

Trova la corrente racchiusa da ogni curva.

Figura 3. Diverse curve per applicare la legge di Ampère. Fonte: Serway, R. Fisica del college.

Soluzione

Le correnti che lasciano la carta viene assegnata un segno +. Secondo questo:

Può servirti: onde superficiali: caratteristiche, tipi ed esempi

Curva a

Racchiude le tre correnti, quindi la corrente chiusa è + 1 a + 5 a - 2 a = 4 a.

Curva b

Solo le correnti di 1 a y - 2 a sono all'interno di questa curva, quindi la corrente chiusa è da - 2 a.

Curva c

Contiene le correnti in uscita 1 e 5 a, quindi la corrente chiusa è 6 a.

Curva d

Le correnti all'interno sono +5 a e - 2 a, quindi racchiude una corrente netta da 3 a.

- Esercizio 2

Calcola l'entità del campo magnetico prodotto da un filo rettilineo molto lungo.

Soluzione

Secondo la legge di Ampère, il campo Wire è dato da:

B = μ_OI / 2πr = (4π x 10^-7 x 1/2π x 1) t = 2 x 10^-7 T.

Riferimenti

1. Figueroa, d. (2005). Serie: Physics for Science and Engineering. Volume 6. Elettromagnetismo. A cura di Douglas Figueroa (USB).
2. Cavaliere, r.  2017. Fisica per scienziati e ingegneria: un approccio strategico.  Pearson.
3. Sears, Zemansky. 2016. Fisica universitaria con fisica moderna. 14 °. Ed. Volume 2.
4. Serway, r. 2009. Fisica del college. Apprendimento del Cengage.
5. Tipler, p. (2006) Fisica per la scienza e la tecnologia. 5 ° ed. Volume 2. Editoriale tornato.