Gerarchia delle operazioni

Gerarchia delle operazioni matematiche. Fonte: f. Zapata.

Qual è la gerarchia delle operazioni?

IL Gerarchia delle operazioni La matematica è costituita da una serie di regole che stabiliscono la priorità delle diverse operazioni in un calcolo. Alcune operazioni devono essere eseguite per prime e altre in seguito, per garantire il risultato corretto.

È comune che nello stesso calcolo ci siano simboli di raggruppamento, somme, sottrazione, moltiplicazioni, divisioni e poteri, e quindi vale la pena chiedere quale di tutti loro inizia.

Ad esempio, nella seguente operazione:

3 × 5 + 4 × (7 - 3)²

Quale parte di esso è fatta per prima?

Per evitare le ambiguità, i matematici hanno stabilito che ogni operazione ha un livello o una gerarchia diversa che indica l'ordine della sua realizzazione, sebbene lo stesso calcolo non contenga necessariamente tutti i livelli.

Nell'esempio proposto, la prima operazione è quella di eliminare le parentesi, risolvere l'operazione indicata in esse e quindi eseguire il quadrato, quindi eseguire le moltiplicazioni e infine le somme:

3 × 5 + 4 × (7 - 3)² = 3 × 5 + 4 × (4)² = 3 × 5 + 4 × 16 = 15 + 64 = 79

Con un po 'di pratica e un po' di memoria non è difficile ottenere sempre il risultato corretto in qualsiasi operazione matematica.

Livelli delle operazioni: Pemdas

La gerarchia delle operazioni è composta da 4 livelli:

• Primo livello:  PArmentasis e altri segni di raggruppamento (se presenti)
• Secondo livello: EXponenti e radici
• Terzo livello: MUltiplicazioni e DIvisioni
• Quarto livello:  ADiction e SUstrazioni

Si noti che le iniziali di ciascuna operazione sono evidenziate in grassetto: P-E-MD-AS formare la parola Pemdas.

Questa parola funge da promemoria per l'ordine in cui le operazioni devono.

Una volta stabilita la gerarchia, verrà data una serie di indicazioni per lavorare con i segni del raggruppamento e infine molti esempi e esercizi risolti che chiariscono ogni punto spiegato.

Operazioni con e senza segni di raggruppamento

Per eseguire operazioni con e senza segni di raggruppamento, queste indicazioni devono tenere a mente:

• I simboli o i segni del raggruppamento vengono utilizzati per facilitare i calcoli, esprimendo un ordine specifico per ciascuna operazione. Inizia risolvendo le operazioni contenute nel segno più interno, che di solito è una parentesi, quindi quella che segue e infine la più esterna. I segni di gruppo più usati sono: parentesi (), parentesi [] e chiavi .
• In ogni momento la legge dei segni deve essere presa in considerazione e applicarsi in base al tipo di operazione eseguita:
  • Un gruppo di gruppo preceduto da un segno A + viene eliminato senza che sia necessario per modificare i segni del contenuto. Esempio: + (2 + 7 - 10) = 2 + 7 - 10.
  • Quando verranno eliminati i segni del gruppo preceduti da un segno, è necessario modificare i segni del contenuto. Esempio: - (4 - 9 - 1) = −4 + ​​9 + 1.
• Simboli "×" Cruz "×" e media altezza "∙".
• Se i gruppi di parentesi appaiono senza un segno tra loro, è una moltiplicazione o se appare un numero accanto a una parentesi, moltiplica il contenuto. Esempi: (−5) (4) = −20 e 7 (5+1) = 42.
• Sia per la moltiplicazione che per la divisione, la legge dei segni stabilisce che:
  • Il prodotto o il rapporto di due numeri di segno uguale è sempre positivo. Esempio: (−3) × (−4) = 12
  • Quando si dispone del prodotto o del rapporto di due numeri di segni diversi, il risultato è sempre negativo. Esempio: (−48) ÷ 6 = −8
• Quando l'operazione non ha segni di raggruppamento, questo ordine viene seguito: prima gli esponenti e le radici vengono risolti se ci sono, le moltiplicazioni e le divisioni e infine le somme e le sottrazioni.
• Le operazioni che hanno la stessa gerarchia vengono eseguite da sinistra a destra.

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Esempi passo dopo passo

Esempi di utilizzo della gerarchia delle operazioni aritmetiche per risolvere le operazioni

Esempio 1: operazioni senza raggruppare i segni

Risolvi le seguenti operazioni senza segni di raggruppamento:

a) 3 + 5 - 4 + 14

Questa operazione consiste solo in somme e sottrazioni, che sono allo stesso livello e possono funzionare contemporaneamente, ad esempio:

3 + 5 - 4 + 14 = 8 + 10 = 18

b) −8 + 3 × 4 + 31

Qui la moltiplicazione 3 × 4 = 12 deve essere risolta prima, quindi procediamo ad aggiungere quali risultati da esso:

−8 + 3 × 4 + 31 = −8 + 12 + 31 = 35

c) 3³ - 44 + 2

L'operazione contiene una potenza, quindi viene risolta prima 3³ = 27 e quindi quali risultati:

3³ - 44 + 2 = 27 - 44 + 2 = - 15

D) 4 × 3 −4² + 10 ÷ 2 - 26

Questa operazione contiene potenza, moltiplicazione, divisione e sottrazione. Potenza 4² = 16 va prima:

4 × 3−4² + 10 ÷ 2 - 26 = 4 × 3−16 + 10 ÷ 2 - 26

Quindi seguire la moltiplicazione e la divisione 4 × 3 = 12 e 10 ÷ 2 = 5

4 × 3−16 + 10 ÷ 2 - 26 = 12−16 + 5 - 26

E il risultato viene aggiunto:

12−16 + 5 - 26 = - 25

Esempio 2: operazioni con segni di raggruppamento

Risolvi le seguenti operazioni con il simbolo del raggruppamento, tenendo conto del fatto che l'operazione che racchiude il simbolo deve prima essere eseguita e quindi applicare la legge dei segni.

a) 4 × 2 (3+6) ÷ 3

La parentesi deve essere eliminata per prima. Quando si risolve l'operazione che contiene il simbolo, si ottiene:

4 × 2 (3+6) ÷ 3 = 4 × 2 (9) ÷ 3

In questo modo si ottiene un'operazione con prodotto e quoziente. Si noti che il 2 che precede la parentesi simboleggia anche un prodotto, sebbene il simbolo di moltiplicazione non appaia, quindi può essere scritto:

4 × 2 (9) ÷ 3 = 4 × 2 × 9 ÷ 3

Queste operazioni hanno la stessa priorità, quindi vengono risolte contemporaneamente, a partire da sinistra a destra:

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= 72 ÷ 3 = 24

b) 5 + (2 + 3)² - 12 ÷ 3

Qui l'operazione viene eseguita all'interno della parentesi e calcola la potenza:

5 + (2 + 3)² - 12 ÷ 3 = 5 + 5² - 12 ÷ 3 = 5 + 25 - 12 ÷ 3

Quindi viene eseguita la divisione indicata:

5 + 25 - 12 ÷ 3 = 5 + 25 - 4

Finalmente le somme e la sottrazione:

5 + 25 - 4 = 30 - 4 = 26

c) 4 5 - [6 + (2 - 4)³ ÷ 2 + 20]

In questa operazione la parentesi viene risolta per la prima volta, poiché è il simbolo del gruppo più interno:

4 5 - [6 + (2 - 4)³ ÷ 2 + 20] = 4 5 - [6 + (−2)³ ÷ 2 + 20]

Ora c'è un potere all'interno della staffa, che coinvolge un numero intero negativo. È noto che se la base è negativa e l'esponente è dispari il risultato è negativo, quindi il più conveniente è risolvere questa operazione:

4 5 - [6 + (−2)³ ÷ 2 + 20] = 4 5 - [6 + (−8) ÷ 2 + 20]

Quindi la legge dei segni viene applicata al quoziente (−8) ÷ 2 = −8 ÷ 2 e il seguente rimane:

4 5 - [6 + (−8) ÷ 2 + 20] = 4 5 - [6 - 8 ÷ 2 + 20]

Nel passaggio successivo viene eliminata la staffa, notando che è preceduta da un segno negativo, il che significa che il contenuto dei segni nella staffa dovrebbe cambiare:

4 5 - [6 - 8 ÷ 2 + 20] = 4 5 - 6 + 8 ÷ 2 - 20

Si osserva che esiste una divisione nella fascia che non è stata ancora eseguita e deve essere eseguita, poiché le chiavi, come simbolo di raggruppamento, sottolineano che questa operazione ha la priorità:

4 5 - 6 +8 ÷ 2 - 20 = 4 5 - 6 +4 - 20

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Ancora una volta, l'operazione tra le chiavi ha la priorità:

4 5 - 6 +4 - 20 = 4 - 17

Poiché non esiste un simbolo tra 4 e la quantità tra le chiavi, è una moltiplicazione:

4 - 17 = - 68

Esercizi risolti

Determina il risultato delle seguenti operazioni:

a) 12 - 18 + [7 - 3 (4-7) + 2 - 15 ÷ 3] + 10- 22 + 86

b) 4 (-2)⁵ + 3 (-3)² + √81 + [√16 - 2 (-6) + 3]

Soluzione a

12 - 18 + [7 - 3 (4-7) + 2 - 15 ÷ 3] +10 - 22 + 86 =

= 12 - 18 + [7 - 3 (-3) + 2 - 5] +10 - 22 + 86 =

= 12 - 18 + [7 + 9 + 2 - 5] +10 - 22 + 86 = 12 - 18 + 13 + 2 - 5 +10 - 22 + 86 =

= 12−16 + 86 = 82

Soluzione b

4 (-2)⁵ + 3 (-3)² + √81 + [√16 - 2 (-6) + 3] =

= 4 × 32 + 3 × 9 + 9 + [4 +12 + 3] =

= 128 + 27 + 19 = 204

Riferimenti

1. Baldor, a. 2007. Aritmetica teorica pratica. Gruppo editoriale Patria S.A. di c.V.
2. Goditi la matematica. L'ordine delle operazioni di Pemdas. Recuperato da: divertimento.com
3. Monterey Institute. Ordine delle operazioni. Recuperato da: Montereyinstitute.org.
4. Università tecnologica di Chihuahua. Corso di livellamento della matematica. Recuperato da: www.utch.Edu.MX.