Spiegazione inversa moltiplicativa, esempi, esercizi risolti

È compreso da Moltiplicativo inverso di un numero, un altro numero che si moltiplicò per i primi risultati nell'elemento neutro del prodotto, vale a dire l'unità. Se hai un numero reale A Quindi il suo inverso moltiplicativo è indicato da A^-1, Ed è soddisfatto che:

aa^-1 = a^-1 A = 1

Di solito il numero A Appartiene all'insieme di numeri reali.

Figura 1. Ed è inverso moltiplicativo di x e x è un inverso moltiplicativo di y.

Se per esempio prendiamo A = 2, Quindi il tuo inverso moltiplicativo è 2^-1 = ½ Poiché viene verificato quanto segue:

2 ⋅ 2^-1 = 2^-1⋅ 2 = 1

2⋅ ½ = ½ ⋅ 2 = 1

Al Moltiplicativo inverso di un numero è anche chiamato reciproco, Poiché l'inverso moltiplicativo è ottenuto scambiando numeratore e denominatore, ad esempio l'inverso moltiplicativo di 3/4 è 4/3.

Come regola generale, si può dire che per un numero razionale (P/Q) Il tuo inverso moltiplicativo (P/Q)^-1 È reciproco (Q/P) Come può essere verificato di seguito:

(P/Q) ⋅ (P/Q)^-1 = (p/q) ⋅ (q/p) = (p⋅ q)/(q⋅ p) = (p⋅ q)/(p⋅ q) = 1

L'inverso moltiplicativo non esiste nell'insieme numerico dei numeri interi, Ad esempio, se viene preso l'intero numero 2, il suo inverso moltiplicativo in base a quello che è stato visto sopra sarebbe ½, ma un ½ non è un numero intero.

C'è anche l'inverso moltiplicativo dell'elemento nullo della moltiplicazione. In altre parole, il numero zero (0), che è l'elemento nullo dell'operazione di moltiplicazione, non ha inverso moltiplicativo, poiché non vi è alcun numero che si moltiplica per zero dell'unità.

L'inverso moltiplicativo esiste in numeri razionali, in numeri reali e numeri complessi.

Esempi inversi moltiplicativi

Esempio 1

Trova il 3/2 inverso moltiplicativo e verifica che soddisfi la proprietà degli interi moltiplicativi.

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Secondo la regola sopra indicata, l'inverso moltiplicativo di (3/2) è (2/3) viene scambiato in questo modo. Per verificare la moltiplicazione dei due numeri viene eseguita:

(3/2) ⋅ (2/3) = (3 ⋅ 2)/(2 ⋅ 3) ​​= 6/6 = 1.

Per moltiplicare due numeri frazionari, è sufficiente moltiplicare il numeratore del primo per il secondo numeratore per ottenere il numeratore del risultato.

Per ottenere il denominatore di un prodotto di numeri frazionari, procedere in modo simile, ovvero i denominatori vengono moltiplicati tra loro e il risultato è il denominatore del prodotto. Nel nostro esempio, viene verificato che il numeratore del prodotto del numero e il suo reciproco è 6 e il denominatore è 6, lasciando la frazione 6/6 che è 1.

Esempio 2

L'inverso moltiplicativo di -5 non dovrebbe essere confuso con il suo simmetrico (+5) che a volte è chiamato inverso aritmetico. L'inverso moltiplicativo sarà ottenuto come segue:

(-5) ⋅ x = 1  

Dove x è l'inverso moltiplicativo da ottenere. Una possibile procedura consiste nel cancellare l'ignoto x. Come (-5) moltiplica la X sconosciuta nell'elemento sinistro, quindi succede dividendo il membro destro:

X = 1 / (-5)

Come è noto da + tra - è - poi finalmente si ottiene:

X = - ⅕ .

In conclusione - ⅕ è l'inverso moltiplicativo di -5.

Esempio 3

Ottieni l'inverso moltiplicativo di -√2. Supponiamo che l'inverso moltiplicativo sia x, quindi -√2 moltiplicato per x deve essere l'unità, una condizione che imponiamo di seguito:

-√2 ⋅ x = 1

Entrambi i membri sono divisi per -√2 per ottenere:

(-√2 ⋅ x) / (-√2) = 1 / (-√2) 

Il primo membro è semplificato -"Rimanendo:

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X = 1 / (-√2)

Questa espressione può essere razionalizzata, cioè eliminando la radice del denominatore, moltiplicando nel numeratore per (-√2) e nel denominatore per la stessa quantità in modo che il risultato non sia modificato:

X = (-√2) / [(-√2) (-√2)] =-(√2 / 2)

In conclusione - (√2/2) è l'inverso moltiplicativo (-√2).

Esempio 4

Assumi qualsiasi numero X, prendi il tuo inverso moltiplicativo e rappresentalo graficamente.

In questo caso è una funzione f (x) = x, ottenere l'inverso moltiplicativo è trovare la funzione g (x) tale che moltiplicata per la prima dell'unità dell'unità. La funzione G è la funzione reciproca di F e non dovrebbe essere confusa in alcun modo con la sua funzione inversa.

In altre parole, l'inverso moltiplicativo di X è A e tale che i seguenti siano soddisfatti:

x ⋅ y = 1

Dove cancellare e avere:

y = 1/x.

Quanto sopra viene interpretato così dato un valore di x, la formula precedente ci dà il suo inverso moltiplicativo.

È possibile rendere la sua rappresentazione grafica come mostrato nella figura seguente:

figura 2. L'inverso moltiplicativo di x è y = 1/x.

Esercizi

Esercizio 1

Dato x = 2 - √2, ottieni il tuo inverso moltiplicativo e.

Soluzione:

Quindi questo ed è una x x moltiplicativa

x ⋅ y = 1

X è sostituito dal suo valore:

(2 - √2) ⋅ y = 1

Quindi si cancella e:

y = 1 / (2 - √2)

Per razionalizzare il risultato moltiplica il numeratore e il denominatore con il suo binomiale coniugato:

y = (2 + √2) / ((2 + √2) (2 - √2))

Nel denominatore viene riconosciuto un prodotto notevole chiamato il prodotto di una somma per una differenza, che è la differenza dei quadrati. In questo modo la radice scompare nel denominatore.

y = (2 + √2) / (2^2 - (√2)^2)

Può servirti: proporzione

Risolvere i poteri:

y = (2 + √2) / (4 - 2)

Semplificazione:

y = (2 + √2) / 2

Esercizio 2

Ottieni l'inverso moltiplicativo (1/A + 1/B) dove A e B sono numeri reali diversi.

Soluzione:

Chiamiamo e l'inverso moltiplicativo di (1/A + 1/B), in modo che la seguente equazione debba essere adempiuta:

E ⋅ (1/a + 1/b) = 1

La variabile è cancellata e:

Y = 1/(1/a + 1/b)

Il denominatore è risolto:

Y = 1 / ((b + a) / a b)

Come si sa sulle regole dell'algebra, il denominatore del denominatore passa al numeratore:

Y = (a b) / (b + a)

Si è ordinato di ottenere finalmente:

(A B)/(A + B) che è l'inverso moltiplicativo di (1/A + 1/B).

Esercizio 3

Ottieni l'inverso moltiplicativo (a - b) / (a^2 - b^2).

Soluzione:

Ricordiamo che l'inverso moltiplicativo è anche chiamato reciproco perché si ottiene semplicemente scambiando numeratore e denominatore.

Quindi l'inverso moltiplicativo (a - b) / (a^2 - b^2) sarà:

(A^2 - b^2) / (a ​​- b)

Ma questa espressione può essere semplificata se riconosciamo, secondo le regole dell'algebra, che il numeratore è una differenza di quadrati che possono essere factoring come prodotto di una somma per una differenza:

((A + b) (a - b)) (a - b)

Poiché esiste un fattore comune (a - b) nel numeratore e nel denominatore procediamo a semplificare, ottenendo infine:

(a + b) che è l'inverso moltiplicativo (a - b) / (a^2 - b^2).

Riferimenti

1. Fonti, a. (2016). Matematica di base. Un'introduzione al calcolo. Lulu.com.
2. Garo, m. (2014). Matematica: equazioni quadratiche: come risolvere un'equazione quadratica. Marilù garo.
3. Haeussler, e. F., & Paul, R. S. (2003). Matematica per l'amministrazione ed economia. Pearson Education.
4. Jiménez, J., Rofríguez, m., & Estrada, r. (2005). Matematica 1 settembre. Soglia.
5. Precious, c. T. (2005). Corso di matematica 3O. PROGRESO EDITORIALE.
6. Rock, n. M. (2006). Algebra I è facile! Così facile. Team Rock Press.
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