Interpolazione lineare

Spieghiamo qual è l'interporazione lineare, le sue formule, come fare una, con esempi ed esercizi risolti

Cos'è l'interpolazione lineare?

IL Interpolazione lineare Consiste nel stimare la posizione di un punto entro un intervallo numerico, supponendo che i valori estremi di detto intervallo siano uniti da una linea. Conosciuta l'equazione di questa linea, è possibile individuare il punto sconosciuto.

L'idea è schematizzata nella figura seguente, che mostra un approccio al grafico di una funzione tra i punti A e B. Supponendo che questi punti siano vicini, è possibile approssimare la curva che li unisce attraverso una linea e trova quindi i punti intermedi.

Figura 1.- Per fare un'interpolazione lineare tra i punti A e B, si deve presumere che siano uniti da una linea . Fonte: f. Zapata.

Puoi anche approssimare la curva che unisce i punti indicati per mezzo di una funzione quadratica o altro polinomio. Tuttavia, la linea ha il vantaggio della sua semplicità matematica, quindi è facile da gestire, sebbene sia la più semplice interpolazione di tutti, è possibile che il risultato non sia così preciso come quello ottenuto utilizzando altre funzioni.

Formule

Ci sono due punti di coordinate [x_O, F (x_O)] e [x₁, F (x₁)] tra cui il punto [x, g (x)], le cui coordinate sono desiderate conoscere.

Il primo passo consiste nell'adesione ai punti noti attraverso un segmento di linea, su cui si trovano le coordinate del punto un calcolo.

figura 2.- Interpolazione lineare per trovare il punto P sulla linea di interpoching G (x), situata tra i punti A e B di F (X). Fonte: f. Zapata.

Come puoi vedere, si formano due rettangoli: ABC e APD, che hanno anche un angolo acuto in comune, quindi sono triangoli simili, a cui è possibile applicare il teorema di Thales:

Può servirti: geometria analitica

Sostituzione della misura dei segmenti in base al grafico, si ottiene la seguente relazione:

Da lì procediamo a Clear G (x):

 Calling:

F₁(X₁) = y₁ ; F_O(X_O) = y_O ; g (x) = y

L'equazione superiore si trasforma in:

Intervallo di errore

Quando una funzione si avvicina con questo metodo, il livello di errore è dato dal valore assoluto della differenza tra la funzione f (x) e la linea di interpolazione G (x):

Errore = │f (x) - g (x) │

Come fare interpolazione lineare?

Eseguire un'interpolazione lineare è molto semplice, devi solo seguire questi passaggi:

Passo 1

Determina il punto sconosciuto P (x, y).

Passo 2

Stabilire i due punti che limitano l'intervallo in cui si trova il valore da calcolare, cioè i punti (x x_O,E_O) e (x₁, E₁).

Passaggio 3

Sostituisci tutti i valori nell'equazione:

E calcola il risultato.

Esempi di interpolazione lineare

Esempio 1

Vuoi trovare il valore approssimativo di LN 3 attraverso l'interpolazione lineare, dati i seguenti valori:

ln 2 = 0.693147 e ln 4 = 1.386294

Confronta il risultato con il valore di LN 3 ottenuto tramite un calcolatore e determina il margine commesso.

• Passo 1

Per trovare il valore approssimativo di Ln 3 devi procedere a seguito: in primo luogo, viene stabilito l'ignoto, che è y = ln 3, accanto al valore corrispondente di "x": x = 3. Questo è il punto che si desidera calcolare: (3, ln 3).

• Passo 2

Quindi devi stabilire i punti limite dell'intervallo con i valori noti. È richiesto di farlo con il prossimo paio di punti:

• Limite inferiore: [x_O = 2; E_O = ln 2 = 0.693147]
• Limite superiore: [x₁ = 4; E₁ = ln 4 = 1.386294]

• Passaggio 3

I valori determinati nei passaggi 1 e 2 sono accuratamente sostituiti nell'equazione per generare il risultato dell'approccio a LN 3:

Può servirti: quante soluzioni hanno un'equazione quadratica?

Il valore reale di LN 3 ottenuto dal calcolatore è:

ln 3 = 1.098612

E il margine di errore è:

Errore = │1.098612 - 1.03971 │ = 0.059

L'errore percentuale dell'interpolazione viene calcolato dividendo l'errore tra il valore reale di LN3 e moltiplicando per il 100 %:

Errore percentuale = (errore reale/valore) × 100 = (0.059/1.098612) × 100% = 5.4%

Esempio 2

Ora vuoi trovare il valore approssimativo di LN 3 mediante interpolazione lineare, noti questi due valori:

ln 2.5 = 0.916291 e LN 3.5 = 1.252763

Determinare anche l'errore corrispondente e confrontare con i risultati dell'esempio precedente.

• Passo 1

Ancora una volta il punto sconosciuto è:

y = ln 3, x = 3

• Passo 2

• Limite inferiore: [x_O = 2.5; E_O = y_O = ln 2.5 = 0.916291]
• Limite superiore: [x₁ = 3.5; E₁ = ln 3.5 = 1.252763]

• Passaggio 3

Esaminare il valore offerto dal calcolatore:

ln 3 = 1.098612

Il livello di errore è determinato in questo caso, che risultati:

Errore = │1.098612 - 1.084527 │ = 0.014

L'errore percentuale in questo caso è ≈ 1.3 %. Confronto con il livello di errore dell'esempio 1, il nuovo valore è più preciso, poiché l'intervallo scelto per interpolare è inferiore.

Esercizi risolti

Esercizio 1

Calcola, mediante interpolazione lineare, il calore specifico dell'aria a pressione costante C_P  e temperatura di 530 K, a partire dalla tabella dei valori mostrati di seguito.

• Soluzione

Nella risoluzione di molti problemi, è comune che il valore richiesto non appaia esattamente come desiderato nella tabella dei valori a portata di mano. Un'alternativa è scegliere il valore più vicino a quello desiderato, ma molte volte un'interpolazione lineare è sufficiente per trovare un approccio molto migliore.

Può servirti: segni di raggruppamento

Il valore di C_P Un 530 K non appare nella tabella annessa, ma può essere effettuata un'interpolazione lineare con i rispettivi termini specifici a 500 K e 550 K, che sono le temperature più vicine a 530 K e le cui manche specifiche compaiono nella tabella mostrata.

I rispettivi calore specifici caldi per queste temperature sono:

T_O = 500 K; C_po = 1.029 kJ /kg ∙ k

T₁ = 550 K; C_P1 = 1.040 kJ /kg ∙ K

E l'ignoto è il punto (500k, c_P)

Sostituire nella formula dell'interpolazione lineare indicata sopra, con T sulla scena della variabile "X" e C_P Invece di "y", hai:

Esercizio 2

Il carico applicato a una molla (in kilopondios) produce i seguenti allungamenti (in millimetri) secondo la tabella mostrata:

Calcola l'allungamento quando il carico è 12.6 kp.

• Soluzione

Sia e il valore dell'allungamento richiesto quando il carico è c = 12.6 kp. Il punto sconosciuto è (12.6, y), che è tra i punti:

C_O = 10 kp; E_O = 105 mm

C₁ = 15 kp; E₁ = 172 mm

Resta solo da sostituire i valori nell'equazione:

Esercizio proposto

Calcola il calore di calore specifico a un volume costante per una temperatura di 727 K, usando l'interpolazione lineare e la tabella dei titoli dell'esercizio risolto 1.

Riferimenti

1. Rafa Vilchez Academy. Come eseguire interpolazione lineare. Recuperato da: Academiraafavilchez.com
2. Chapra, s. 2007. Metodi numerici per gli ingegneri. 5 °. Edizione. McGraw Hill.
3. Khan Academy. Matematica dell'interpolazione lineare. Recuperato da: Khanacademy.org.
4. La vita educativa. Formula di interpolazione lineare. Recuperato da: TheeducationLife.com
5. X-Engineer. Interpolazione lineare ed estrapolazione con calcolatrice. Recuperato da: X-Engineer.org.