Interpolazione di Lagrange

Qual è l'interpolazione di LaGrange?

L'interpolazione di Lagrange è un metodo numerico di approssimazione delle funzioni, che utilizza un polinomio che passa attraverso alcuni punti noti della funzione che è destinata ad approssimare.

Se la funzione approssimativa è morbida, anche al di fuori dei valori indicati o noti, il polinomio prende i valori vicini a quelli della funzione di interesse, specialmente se questi valori sono tra i punti indicati. Ecco perché il polinomio è considerato un buon approccio alla funzione.

Figura 1.- Formula per costruire polinomi di lagrange. Fonte: f. Zapata.

Ora, supponiamo di voler approssimare una funzione F (x) di cui solo i loro valori sono noti in alcuni X-_Yo-, con Yo da 0 Fino a N-1. Cioè, si conoscono N punti (X-_Yo, E_Yo) con E_Yo = f (x_Yo), Dove l'indice Yo Va da 0 Fino a N-1.

Nel metodo di interpolazione di Lagrange, il polinomio che si avvicina alla funzione F (x) È un polinomio P (x) di laurea N-1, costruito dalla combinazione lineare di N Polinomi L_Yo(X) di laurea N-1. Queste sono le Polinomi di Lagrange, che sono espressi come segue:

I valori di E_Yo Rappresentano gli ordinati corrispondenti all'ascissa X_Yo Dove la funzione F (x) È noto, cioè: E_Yo = f (x_Yo).

Polinomi di Lagrange

Attraverso combinazioni lineari tra loro, i polinomi di LaGrange agiscono come base per la costruzione di polinomi di grado N -1 che servirà a interpolare il N punti noti.

La notazione per i polinomi è l_Yo(x), con indice I nell'intervallo da 0 a N-1. La formula per stabilire i polinomi di Lagrange è la seguente:

Il simbolo mostrato indica che deve essere eseguito il produttore di n -1 monomiali, a partire dal polinomio j = 0.

Caratteristiche dei polinomi di Lagrange

1.- I polinomi di Lagrange sono esattamente gli stessi dell'unità quando valutati nell'ascissa corrispondente al loro indice, cioè:

L_Yo(X_Yo) = 1

2.- Sono cancellati nell'ascissa dei punti di interpolazione con indice diverso da quello dello stesso polinomio:

Può servirti: statistiche descrittive: storia, caratteristiche, esempi, concetti

L_Yo(X_J) = 0, con i ≠ j.

3.- Prendendo altri valori di ascissa diversi dai punti di interpolazione, i polinomi di Lagrange acquisiscono valori tra -1 e +1.

4.- Per ottenere polinomi di lagrange, è necessario solo conoscere l'ascissa dei punti a interpoch.

Polinomi di secondo grado Lagrange

Polinomi di Lagrange di secondo grado sono quelli che vengono utilizzati più frequentemente quando si desidera fare un'interpolazione a tre punti.

Supponiamo che la funzione interpolare sia nota in tre punti, che sono:

(X₀,E₀); (X₁, E₁); (X₂, E₂)

Quindi i polinomi di Lagrange corrispondenti L₀, L₁ E L₂ Diventano così:

L₀(x) = [(x - x₁) / (X₀ - X₁)] [(x - x₂) / (X₀ - X₂)

L₁(x) = [(x - x₀) / (X₁ - X₀)] [(x - x₂) / (X₁ - X₂)

L₂(x) = [(x - x₀) / (X₂ - X₀)] [(x - x₁) / (X₂ - X₁)

Si dovrebbe notare che L₀(X₀) = L₁(X₁) = L₂(X₂) = 1, Mentre L_Yo(X_J) = 0 fino a quando Yo≠ j.

Polinomio di interpolazione di secondo grado

È importante notare che nel polinomio di interpolazione di LaGrange, le ordinate dei punti di interpolazione sono fattori polinomiali di Lagrange.

In questo modo, una volta ottenuti i polinomi per alcuni valori dell'ascissa, servono a calcolare il polinomio di interpolazione di varie funzioni, a condizione che gli ordinati nell'ascissa precedentemente fissa siano noti.

Nel caso di un'interpolazione di seconda elementare:

P (x) = f (x₀) L₀(x) + f (x₁) L₁(x) + f (x₂) L₂(X)

E P (x) si avvicina alla funzione f (x) nell'intervallo (X₀, X₂).

figura 2.- Questa immagine mostra come ottenere i polinomi di Lagrange per tre punti di interpolazione e da essi, il polinomio interpoloso. Fonte: f. Zapata.

Esempi

Esempio 1

Trova i polinomi di Lagrange corrispondenti a tre punti di ascissa X₀= 0, X₁= 1 E X₂= 2.

Come visto nella sezione precedente, questi polinomi saranno:

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L₀(x) = [(x - 1) / (0 - 1)] [(x - 2) / (0 - 2)] = - (x -1) ⋅ (-½) (x - 2) = ½ ( X² - 3x + 2)

L₁(x) = [(x - 0) / (1 - 0)] [(x - 2) / (1 - 2)] = x ⋅ (-1) (x - 2) = - x² + 2x

L₂(x) = [(x - 0) / (2 - 0)] [(x - 1) / (2 - 1)] = (½) x ⋅ (x - 1) = (½) (x² - X)

Figura 3. Polinomi di Lagrange per valori di ascissa 0, 1 e 2. Fonte: f. Zapata.

Esempio 2

Vuoi approssimare la funzione f (x) = arcan (x) Nell'intervallo [0, 2]. Di questa funzione è noto solo i loro valori X₀= 0, X₁= 1 E X₂= 2, che sono rispettivamente E₀= 0, E₁= π/4 = 0,785 E E₂= 1,107.

Pertanto devi trovare il polinomio intrecciato P (x) avvicinamento F (x) Nell'intervallo indicato.

Nell'esempio 1, i polinomi di Lagrange sono già stati determinati per i valori di ascissa indicati in questa affermazione, quindi non è necessario ripetere il calcolo. Il polinomio in interpolazione sarà ora:

P (x) = f (x₀) L₀(x) + f (x₁) L₁(x) + f (x₂) L₂(X)

Che è equivalente a:

P (x) = y₀ L₀(x) + e₁ L₁(x) + e₂ L₂(X)

In questo caso specifico è:

P (x) = 0 ∙ (½) (x² - 3x + 2) + 0,785 ∙ (- x² + 2x) + 1.107 ∙ (½) (x² - X)

Quanto sopra è semplificato a:

P (x) = 0,785 ∙ (- x² + 2x) + 1.107 ∙ (½) (x² - X)

E infine rimane:

P (x) = -0,2315 ∙ x² + 1.0165 ∙ x

Figura 4. Polinomiale interpolato ottenuto attraverso polinomi di Lagrange che approssimano la funzione arco-taglio nell'intervallo (0, 2). Vengono anche mostrati punti di interpolazione. Fonte: f. Zapata.

Esercizi

Esercizio 1

Ottieni i polinomi di LaGrange adeguati per avere un approccio alla funzione:

f (x) = sin (x)

Nell'intervallo [0, π] e con cinque punti di interpolazione.

Soluzione

In primo luogo, vengono determinate l'ascissa dei punti di interpolazione, che sono scelti uguali e comprendono le estremità dell'intervallo di approssimazione. Con questo hai:

X₀= 0; X₁= π/4; X₂= π/2; X₃= 3 π/4; X₄= π.

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Poiché f (x) viene annullato ai punti estremi, non sarà necessario ottenere i polinomi di Lagrange L₀ e io₄.

Polinomi l₁, L₂ e io₃ Sono:

L₁ = [(x - x₀) / (X₁ - X₀)] [(x - x₂) / (X₁ - X₂)] [(x - x₃) / (X₁ - X₃)] [(x - x₄) / (X₁ - X₄)

L₂ = [(x - x₀) / (X₂ - X₀)] [(x - x₁) / (X₂ - X₁)] [(x - x₃) / (X₂ - X₃)] [(x - x₄) / (X₂ - X₄)

L₃ = [(x - x₀) / (X₃ - X₀)] [(x - x₁) / (X₃ - X₁)] [(x - x₂) / (X₃ - X₂)] [(x - x₄) / (X₃ - X₄)

Ora sostituiamo il valore dell'ascissa:

L₁ = [(x - 0)/(π/4 - 0)] [(x - π/2)/(π/4 - π/2)] [(x - 3 π/4)/(π/4 - 3 π/4)] [(x - π)/(π/4 - π)]

L₂ = [(x - 0)/(π/2 - 0)] [(x - π/4)/(π/2 - π/4)] [(x - 3 π/4)/(π/2 - 3 π/4)] [(x - π)/(π/2 - π)]

L₃ = [(x - 0)/(3 π/4 - 0)] [(x - π/4)/(3 π/4 - π/4)] [(x - π/2)/(3 π/ 4 - π/2)] [(x - π)/(3 π/4 - π)]

I denominatori vengono risolti:

L₁ = [x/π/4] [(x - π/2)/( - π/4)] [(x - 3 π/4)/( - π/2)] [(x - π)/( - 3π/4)]

L₂ = [x/π/2] [(x - π/4)/(π/4)] [(x - 3 π/4)/( - π/4)] [(x - π)/( - π /2)]

L₃ = [x/(3 π/4)] [(x - π/4)/(π/2)] [(x - π/2)/(π/4)] [(x - π)/( - π/4)]

È semplificato e raggruppato per ottenere:

L₁ = x (x - π/2) (x - 3 π/4) (x - π)/( - 3 π ⁴/128)

L₂ = x (x - π/4) (x - 3 π/4) (x - π)/(π ⁴/64)

L₃ = x (x - π/4) (x - π/2) (x - π)/( - 3 π ⁴/128)

Esercizio 2

Ottieni il polinomio di interpolazione che si avvicina alla funzione sen (x) nell'intervallo [0, π] con i cinque punti di interpolazione scelti nell'esercizio 1 e i rispettivi polinomi di LaGrange.

Soluzione

Il polinomio di interpolazione è:

P (x) = sin (0) * l₀ + Sen (π/4) * l₁ + Sen (π/2) * l₂ + Sen (3π/4) * l₃ + Sen (π) * l4

Valutazione della funzione Sinus e Multiplicing è:

P (x) = (√2/2) l₁ + 1 * l₂ + (-√2/2) l₃

Dopo un arduo lavoro algebrico, il polinomio di interpolazione è:

P (x) = 2. 7481 x⁴ -quindici. 138 x³ +23. 467 x² - 9. 5236 x

Riferimenti

1. Goodman, a. L. H. millenovecentonovantasei. Algebra e trigonometria con geometria analitica. Pearson Education.
2. Arpe, p. D. (2000). Argomenti nella teoria del gruppo geometrico. University of Chicago Press.
3. Zoloinkel, m. (2001). Interpolazione lineare ", Enciclopedia della matematica.
4. Hoffmann, e. (2002). Alla cronologia dell'interpolazione: dall'antica astronomia alla moderna elaborazione del segnale e delle immagini. Atti dell'IEEE.
5. Wikipedia. Interpolazione polinomiale di Lagrange. Recuperato da: Wikipedia.com