Formule di induzione magnetica, come viene calcolato e esempi

IL induzione magnetica o la densità del flusso magnetico è un'alterazione dell'ambiente causato dalla presenza di correnti elettriche. Modificano la natura dello spazio circostante, creando un campo Vettore.

Il vettore Induzione magnetica, densità del flusso magnetico O semplicemente campo magnetico B, Ha tre caratteristiche distintive: un'intensità espressa da un valore numerico, un indirizzo e anche un senso dato in ogni punto nello spazio. È evidenziato in grassetto per distinguerlo da quantità puramente numeriche o scalari.

Regola del pollice destro per determinare la direzione e la direzione del vettore di induzione magnetica. Fonte: JfMelero [CC BY-SA 4.0 (https: // creativeCommons.Org/licenze/by-sa/4.0)]

La regola del pollice destro viene utilizzata per trovare la direzione e la direzione del campo magnetico originato da un filo che trasporta la corrente, come mostrato nella figura sopra.

Il pollice della mano destra dovrebbe puntare nella direzione della corrente. Quindi la svolta delle dita rimanenti indica la forma di B, che nella figura è rappresentato dai circoli concentrici di rosso.

In questo caso, l'indirizzo di B È tangenziale alla circonferenza concentrica con il filo e il significato è contrario alle mani dell'orologio.

IL induzione magnetica B Nel sistema internazionale viene misurato la Tesla (T), tuttavia è più comune misurarlo in un'altra unità chiamata Gauss (G). Entrambe le unità furono nominate rispettivamente in onore di Nikola Tesla (1856-1943) e Carl Friedrich Gauss (1777-1855) per il loro straordinario contributo alla scienza dell'elettricità e del magnetismo.

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Quali sono le proprietà dell'induzione magnetica o della densità del flusso magnetico?

Una bussola che viene posizionata vicino al filo con corrente, si allineerà sempre con B. Il fisico danese Hans Christian Oersted (1777-1851) fu il primo a realizzare questo fenomeno all'inizio del XIX secolo.

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E quando la corrente cessa, la bussola indica il nord geografico, come sempre. Modificando attentamente la posizione della bussola, una mappa si ottiene dalla forma del campo magnetico.

Questa mappa ha sempre la forma di cerchi concentrici sul filo, come descritto all'inizio. In questo modo può essere visualizzato B.

Anche se il filo non è dritto, il vettore B formerà i cerchi concentrici attorno ad esso. Per determinare quale forma ha il campo, è sufficiente immaginare segmenti di filo molto piccoli, così piccoli da sembrare rettilinei e circondati da circonferenze concentriche.

Linee di campo magnetico prodotte da un anello di filo che trasporta corrente. Fonte: Pixabay.com

Ciò indica un'importante proprietà delle linee di campo magnetico B: Mancano il principio o la fine, sono sempre curve chiuse.

La legge Biot-Savart

Il diciannovesimo secolo determinò l'inizio dell'era dell'elettricità e del magnetismo nella scienza. Vicino all'anno 1820 i fisici francesi Jean Marie Biot (1774-1862) e Felix Savart (1791-1841) scoprirono la legge che porta il suo nome e che consente di calcolare il vettore B.

Hanno fatto le seguenti osservazioni sul contributo al campo magnetico prodotto da un segmento di filo di lunghezza differenziale dl che trasporta una corrente elettrica Yo:

• L'entità di B diminuisce con l'inverso al quadrato della distanza dal filo (questo ha senso: lontano dal filo l'intensità di B Deve essere meno che nei punti vicini).
• L'entità di B È proporzionale all'intensità della corrente Yo che viaggia sul filo.
• L'indirizzo di B È tangenziale alla circonferenza radio R centrato sul filo e la direzione di B Viene dato, come abbiamo detto, dalla regola del pollice destro.

Il prodotto Vector o Product Cross è lo strumento matematico appropriato per esprimere l'ultimo punto. Per stabilire un prodotto vettoriale, sono necessari due vettori, che sono definiti come segue:

• Dl È il vettore la cui grandezza è la lunghezza del segmento differenziale dl
• R È il vettore che va dal filo al punto in cui si desidera trovare il campo

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Formule

Tutto ciò può essere combinato in un'espressione matematica:

La costante di proporzionalità necessaria per stabilire l'uguaglianza è Permeabilità magnetica dello spazio libero μ_O  = 4π.10^-7 T.m/a

Questa espressione è la legge di Biot e Savart, che consente di calcolare il campo magnetico di un segmento di corrente.

Tale segmento a sua volta deve far parte di un circuito sempre più grande: una distribuzione di corrente.

La condizione che il circuito sia chiuso è necessaria per il flusso di una corrente elettrica. La corrente elettrica non può fluire in circuiti aperti.

Infine, per trovare il campo magnetico totale di questa distribuzione attuale, vengono aggiunti tutti i contributi di ciascun segmento differenziale Dl. Ciò equivale a integrare tutta la distribuzione:

Per applicare la legge Biot-Savart e calcolare il vettore di induzione magnetica, è necessario considerare punti importanti molto importanti:

• Il prodotto vettoriale tra due vettori si traduce sempre in un altro vettore.
• L'entità del prodotto vettoriale nella legge Biot-Savart è:Dove θ è l'angolo tra Dl E R.
• Il prodotto vettoriale dovrebbe essere trovato Prima Se la risoluzione integrale viene risolta, viene risolto l'integrale di ciascuno dei componenti ottenuti separatamente.
• È necessario tracciare la situazione e stabilire un sistema di coordinate adeguato.
• Ogni volta che si osserva l'esistenza di una certa simmetria, deve essere utilizzata per risparmiare tempo di calcolo.
• Quando ci sono triangoli, il teorema di Pitagora e il teorema del coseno sono di grande aiuto per stabilire la relazione geometrica tra le variabili.

Come viene calcolato?

Con un esempio pratico del calcolo di B Per un filo rettilineo, questi raccomandazioni vengono applicate.

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Esempio

Calcola il vettore del campo magnetico che un filo rettilineo molto lungo produce in un punto P dello spazio, secondo la figura mostrata.

Geometria necessaria per calcolare il campo magnetico nel punto P, di un filo di corrente infinitamente lungo. Fonte: sé realizzato.

Dalla figura che devi:

• Il filo è diretto in verticale, con la corrente che scorre verso l'alto. Questo indirizzo è +e nel sistema di coordinate, la cui origine è in punto o.
• θ è l'angolo tra Dl E R Ed è anche vero che: 
• In questo caso, secondo la regola del pollice destro, B Al punto P è diretto nella carta, quindi è indicato con un piccolo cerchio e una "x" nella figura. Questo indirizzo sarà preso come -Z.
• Il triangolo giusto le cui gambe sono E E R, riferisce entrambe le variabili secondo il teorema di Pitagora: R²= R²+E²

Tutto questo è sostituito nell'integrale. Il vettore o il prodotto incrociato è indicato dalla sua magnitudo più direzione e dal suo significato:

L'integrale proposto è richiesto in una tabella integrale o viene risolto da una sostituzione trigonometrica appropriata (il lettore può verificare il risultato utilizzando y = rtg θ):

Il risultato concorda con il previsto: l'entità del campo diminuisce con la distanza R e aumenta proporzionalmente con l'intensità della corrente i.

Mentre un filo infinitamente lungo è un'idealizzazione, l'espressione ottenuta è un ottimo approccio al campo di un filo lungo.

Con la legge Biot e Savart è possibile trovare il campo magnetico di altre distribuzioni ad alta simmetria, come una spirale circolare che trasporta corrente o fili piegati che combinano segmenti rettilinei e curvilinei.

Naturalmente, per analizzare quello integrale, il problema deve avere un alto grado di simmetria. Altrimenti l'alternativa sta risolvendo numericamente l'integrale.

Riferimenti

1. Serway, r., Jewett, J. (2008). Fisica per la scienza e l'ingegneria. Volume 2. Messico. Editori di apprendimento di Cengage. 367-372.