Grado di un polinomio come viene determinato, esempi ed esercizi

Lui grado di un polinomio In UN la variabile è data dal termine che ha il principale esponente e se il polinomio ha Due o più variabili, Quindi il grado è determinato dalla somma degli esponenti di ciascun termine, la somma principale dell'essere polinomiale.

Vediamo come determinare il grado di polinomio in modo pratico.

Figura 1. La famosa equazione di Einstein per l'energia E è un monomio di grado 1 assoluto per la variabile di massa, indicata da m, poiché la velocità della luce c è considerata costante. Fonte: piqsels.

Supponiamo che il polinomiale p (x) = -5x + 8x³ + 7 - 4x². Questo polinomio è di una variabile, in questo caso è la variabile X. Questo polinomio è costituito da diversi termini, che sono i seguenti:

-5x; 8x³; 7; - 4x²

 Selezioniamo dai quattro termini il cui esponente è maggiore, questo termine è:

8x³

E ora qual è l'esponente? La risposta è 3. Pertanto p (x) è un polinomio di grado 3.

Se il polinomio in questione ha più di una variabile, allora il grado può essere:

-Assoluto

-In relazione a una variabile

Il grado assoluto è spiegato all'inizio: aggiunta degli esponenti di ogni termine e selezionando il massimo.

D'altra parte, il grado di polinomio rispetto a una delle variabili o lettere, è il valore più grande dell'esponente che ha detto lettera. Il punto sarà più chiaro con gli esempi ed esercizi risolti dalle seguenti sezioni.

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Esempi di grado di un polinomio

I polinomi possono essere classificati per grado, essendo in grado di essere di primo grado, seconda elementare, terza elementare e così via. Per l'esempio della Figura 1, l'energia è un monomio di primo grado per la massa.

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È anche importante osservare che il numero di termini che un polinomio ha è uguale al grado più 1. COSÌ:

-I polinomi di primo grado hanno 2 termini: a₁x + a_O

-Il secondo polinomio di grado ha 3 termini: a₂X² + A₁x + a_O

-Un polinomio di terzo grado ha 4 termini: a₃X³ + A₂X² + A₁x + a_O

E così via. Il lettore attento avrà osservato che i polinomi degli esempi precedenti sono scritti in modo decrescente, cioè, per prima cosa posizionando il termine con il grado maggiore.

Vari polinomi compaiono nella tabella seguente, sia da una e da diverse variabili che dai rispettivi gradi assoluti:

Tabella 1. Esempi di polinomi e loro gradi

Polinomio	Grado
3x4+5x3-2x+3	4
7x3-2x2+3x-6	3
6	0
X-1	1
X5-BX4+ABX3+Ab3X2	6
3x3E5 + 5x2E4 - 7xy2 + 6	8

Gli ultimi due polinomi hanno più di una variabile. Il termine che ha il massimo grado assoluto si è distinto in grassetto, in modo che il lettore controlli rapidamente la laurea. Importante ricordare che quando la variabile non ha esponenti scritti, si capisce che detto esponente è uguale a 1.

Ad esempio nel termine prominente Ab³X² Ci sono tre variabili, vale a dire: A, B E X. In quel termine, A È elevato a 1, cioè:

a = a¹

Perciò Ab³X² = a¹B³X²

Poiché l'esponente di B è 3 e quello di X è 2, viene immediatamente seguito che il grado di questo termine è:

1+3+2 = 6

Ed è il grado assoluto di polinomio, poiché nessun altro dei termini ha una misura maggiore.

Procedura per lavorare con i polinomi

Quando si lavora con i polinomi è importante prestare attenzione al grado dello stesso, poiché in primo luogo e prima di eseguire qualsiasi operazione, è conveniente seguire questi passaggi, ai quali il grado fornisce informazioni molto importanti:

-Ordina il polinomio preferenza in un senso decrescente. In questo modo, il termine con il voto più alto è a sinistra e quello con il più basso a destra.

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-Ridurre termini simili, una procedura che consiste nell'aggiunta di tutti i termini di uguale variabile e grado che si trovano nell'espressione algebricamente.

-Se necessario, i polinomi sono completati, termini intervallati il ​​cui coefficiente è 0, in caso di termini con alcuni esponenti.

Ordina, riduci e completa un polinomio

Dato il polinomio P (x) = 6x² - 5x⁴- 2x+3x+7+2x⁵  - 3x³ + X⁷ -12 Si chiede di ordinarlo in diminuzione, ridurre i termini simili se ci sono e completa i termini che mancano per essere accurati.

La prima cosa da cercare è il termine con il principale esponente, che è il grado di polinomio, che risulta essere:

X⁷

Pertanto p (x) è di grado 7. Quindi viene ordinato il polinomio, a partire da questo termine a sinistra:

P (x) = x⁷ + 2x⁵ - 5x⁴ - 3x³ + 6x² - 2x+3x+7 -12

I termini simili sono ora ridotti, che sono i seguenti: - 2x e 3x da un lato. E 7 e -12 dall'altro. Per ridurli, i coefficienti vengono aggiunti algebamente e la variabile viene lasciata invariata (se la variabile non appare accanto al coefficiente, si deve ricordare che x⁰ = 1):

-2x+3x = x

7 -12 = -5

Questi risultati sono sostituiti in p (x):

P (x) = x⁷ +2x⁵ - 5x⁴ - 3x³ + 6x² + X -5

E infine il polinomio viene esaminato per vedere se manca un esponente e in effetti, un termine il cui esponente è mancante, quindi è completato con zeri come questo:

P (x) = x⁷ + 0x⁶ +2x⁵ - 5x⁴ - 3x³ + 6x² + X - 5

Ora si osserva che il polinomio è stato lasciato con 8 termini, poiché come detto in precedenza, il numero di termini è uguale al grado + 1.

Importanza del grado di un polinomio nella somma e nella sottrazione

Con i polinomi, è possibile eseguire operazioni di somma e sottrazione, in cui vengono aggiunti o sottratti solo termini simili, che sono la stessa variabile e lo stesso grado. Se non ci sono termini simili, la somma o la sottrazione viene lasciata semplicemente indicata.

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Una volta che la somma o la sottrazione è stata fatta, quest'ultima è la somma del contrario, il grado del polinomio risultante è sempre uguale o inferiore al grado di aggiunta polinomiale di maggiore grado.

Esercizi risolti

- Esercizio risolto 1

Trova la seguente somma e determina il suo grado assoluto:

A³- 8ax²  + X³ + 5 °²X - 6AX² - X³ + 3 °³ - 5 °²x - x³ + A³+ 14ax² - X³

Soluzione

È un polinomio di due variabili, quindi è conveniente ridurre i termini simili:

A³- 8ax²  + X³ + 5 °²X - 6AX² - X³ + 3 °³ - 5 °²x - x³ + A³+ 14ax² - X³ =

= a³ + 3 °³ + A³ - 8ax² - 6ax²+ 14ax² +5 °²X - 5A²x+ x³- X³- X³- X³ =

= 5a³ - 2x³

Entrambi i termini sono di grado 3 in ogni variabile. Pertanto il grado assoluto di polinomio è 3.

- Esercizio risolto 2

Esprimi come polinomio l'area della seguente figura geometrica piatta (Figura 2 a sinistra). Qual è il grado risultante di polinomio?

figura 2. A sinistra, la figura per l'anno ha risolto 2 e a destra, la stessa figura si decomponeva in tre aree la cui espressione è nota. Fonte: f. Zapata.

Soluzione

Essendo un'area, il polinomio risultante deve essere di grado 2 in variabile x. Per determinare un'espressione adeguata per l'area, la figura è suddivisa in aree note:

L'area di un rettangolo e un triangolo sono rispettivamente: Base x altezza E Base x altezza /2

A₁ = x . 3x = 3x²; A₂ = 5 . x = 5x; A₃ = 5 . (2x /2) = 5x

Nota: La base del triangolo è 3x - x = 2x e la sua altezza è 5.

Ora vengono aggiunte le tre espressioni ottenute, con questo hai l'area della figura a seconda X:

3x² + 5x + 5x = 3x² + 10x

Riferimenti

1. Baldor, a. 1974. Algebra elementare. Culturale venezuelano s.A.
2. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
3. Wikilibros. Polinomi. Recuperato da: è. WikiBooks.org.
4. Wikipedia. Grado (polinomio). Recuperato da: è.Wikipedia.org.
5. Zill, d. 1984. Algebra e trigonometria. Mac Graw Hill.