Geometria euclida

Spieghiamo cosa è la geometria euclida, la sua storia, gli elementi e diamo diversi esempi

Euclide di Alessandria e i suoi elementi, di Jusepe de Ribera, accanto, due linee non parallele e una linea che le taglia, illustrando il quinto postulato. Fonte: Wikimedia Commons.

Cos'è la geometria euclida?

IL Geometria euclida È quello che è governato da quei postulati da Euclid de Alejandría, un geometro greco che viveva verso 300 a.C, in onore questa disciplina è nominata, poiché è stata la prima a sistematizzarla.

Questo ramo di matematica studia le proprietà di linee, piani, angoli e figure geometriche come poligoni, circonferenze e altre coniche. Da qui la sua importanza nella scienza e nell'ingegneria, il cui sviluppo ha provocato significativamente.

D'altra parte, la geometria euclidea è stata la prima scienza esatta, poiché è iniziato il percorso della sistematizzazione della scienza, così come l'uso della logica per dimostrare, da alcuni assiomi, numerose proposizioni chiamate teoremi, per descrivere le proprietà di oggetti geometrici.

Storia

La geometria ha una lunga storia, perché l'interesse dell'umanità in essa è molto antico e l'asse centrale della geometria euclidea è il lavoro Elementi, del saggio euclide di Alessandria, una città situata in Egitto, e che visse nel IV secolo a.C.

All'epoca erano note le proprietà più importanti di numerose figure e corpi geometrici. C'era una vasta conoscenza della geometria, ma tutto era empirico e mancava di sistematizzazione.

Quindi, il re d'Egitto Tolomeo e ha affidato il già famoso insegnante di euclidi, la cui scuola era ad Alessandria, per organizzare finora tutte le conoscenze matematiche e geometriche, inclusi teoremi e proprietà.

Euclides si mise al lavoro e accanto ai suoi discepoli, scrisse i suoi elementi di lavoro, che divise in tredici libri, come capitoli. Questo lavoro diventerebbe un riferimento per la geometria per le generazioni future.

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Elementi di euclide

Il contenuto degli elementi è organizzato come segue:

• Nei libri I a IV Flat Geometry si sviluppa.
• Nei libri V e ho visto la teoria della proporzione.
• I libri IX sono dedicati all'aritmetica.
• L'inesesuribilità appare nel libro X,
• La geometria dello spazio nei libri da xi a xiii.

La geometria euclidea è stata la base per molti sviluppi geometrici posteriori ed è attualmente insegnata in tutte le scuole del mondo.

Ha anche la virtù di essere il primo lavoro a includere attente dimostrazioni basate sul ragionamento logico e anche a dare coerenza al corpo della conoscenza geometrica e matematica di quel tempo.

Elementi di base della geometria euclidea

La geometria euclidea è costruita attorno a quattro elementi di base, descritti nel libro I degli elementi:

1. Macchiare
2. Dritto
3. Piatto
4. Spazio

1. Macchiare

UN macchiare Manca dimensioni o parti e si distingue da un altro punto semplicemente per la sua posizione. Se due punti A e B sono diversi, è perché hanno posizioni diverse, che sono indicate attraverso le ben note coordinate cartesiane (x, y) se il punto è sul piano o le coordinate (x, y, z) Se è nello spazio.

È interessante notare che il sistema cartesiano non fa parte del Elementi di euclide, ma è apparso molto più tardi nei 1600 anni ed è dovuto a René Cartesio.

2. Dritto

IL Dritto È una raccolta infinita di punti e ha solo lunghezza, non larghezza. Una parte di essa di solito è disegnata, con frecce in entrambi che sottolineano che la linea continua indefinitamente.

3. Piatto

UN Piatto È una superficie illimitata, quindi ha due dimensioni e di cui è rappresentata una porzione, per mezzo di un quadrato o di un rettangolo.

Lì, nel piano, ci sono molte figure geometriche, come linee, curve aperte e chiuse e poligoni, tra gli altri.

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4. Spazio

Infine, c'è il spazio Con le sue tre dimensioni, in grado di ospitare tutti i punti. Contiene i piani e i corpi geometrici caratterizzati dal loro volume, come poliedra, sfere e altro ancora.

Queste possono essere considerate le definizioni di base della geometria euclidea, ma oltre a questi, Euclides offre circa 150 varie definizioni nel loro lavoro.

Nozioni comuni

Sono costituiti da fatti ovvi e intuitivi, che non appartengono correttamente all'ambito della geometria e sono usati mentre si sviluppano i concetti. Si riferiscono a "cose" in un contesto molto ampio:

1. Cose uguali a qualcos'altro, sono uguali l'uno con l'altro.
2. Se le cose vengono aggiunte a un'altra serie di cose, e tutte sono le stesse, quali risultati sono anche gli stessi.
3. Se vengono rubate cose uguali, anche il restante è lo stesso.
4. Quando le cose coincidono tra loro, è perché sono gli stessi.
5. Il tutto è sempre maggiore delle parti, prese separatamente.

Postulati di geometria euclidea

I postulati o gli assiomi sono semplici dichiarazioni considerate vere e ovvie, quindi non richiedono dimostrazione.

Costituiscono la base della geometria euclida ed euclide ne stabilisce cinque nel loro libro I:

1. Essere due punti diversi da e b, c'è solo una linea che passa attraverso di essi, cioè due punti determinano una linea.
2. Qualsiasi segmento rettilineo può essere esteso indefinitamente per costituire una linea, pertanto ogni segmento appartiene a una linea.
3. Se hai due punti diversi o A, puoi sempre disegnare un cerchio con il centro in O e il raggio pari al segmento OA.
4. Tutti gli angoli dritti sono congruenti tra loro.
5. Data una linea e un punto P che non appartiene ad essa, è sempre possibile.

L'ultimo postulato, specialmente nella sua versione originale, non sembra semplice come gli altri. Lo afferma:

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“Se una linea retta che cade su altre due linee, produce i due angoli interni sulla stessa parte meno di due angoli diritti, dette linee rette, diffuse indefinitamente, sono (interseca) sul lato su cui gli angoli minori sono che i due angoli dritti ".

Cioè, originariamente postulato 5 stabilisce la condizione in modo che due righe non siano parallele. Ma è più chiaro quando è scritto in modo tale che illustra il contrario, cioè il parallelismo delle linee.

Esempi di geometria euclidea

Esempio 1

Ci sono tre punti diversi, etichettati con le lettere A, B e C.

1. Quante linee diverse passano attraverso il punto a?
2. E quanti possono essere disegnati tra i punti A e B? E tra A e C?
3. È possibile tracciare una linea in cui i punti A, B e C?

Rispondi a

Secondo il postulato I, le linee rette infinite possono essere tracciate attraverso A, poiché sono necessari due punti per determinare una linea.

Risposta b

Entre a e b può essere tracciato solo una linea. E anche tra A e C.

Risposta c

Non è possibile che una linea contenga A, B e C allo stesso tempo.

Esempio 2

Si chiede di costruire passo per passo un triangolo equilatero (tutti i suoi lati sono uguali), conoscendo uno dei suoi lati, che è il segmento AB e indica in ogni fase il postulato o la nozione comune utilizzata nella costruzione nella.

Costruzione del triangolo equilatero ABC. Fonte: f. Zapata.

Risposta

Passo 1

Viene disegnato un cerchio con un centro in A e Radio AB. Questo è sempre possibile, secondo Postulato III.

Passo 2

Un'altra circonferenza con il centro in B e la radio AB viene disegnata e il postulato III viene nuovamente applicato.

Passaggio 3

Entrambe le circonferenze, che hanno lo stesso raggio, sono tagliate nel punto C. Ora puoi disegnare segmenti che si uniscono C rispettivamente con A e B, secondo Postulato I.

Questi segmenti sono radio della circonferenza e quindi le misure di AC e BC sono uguali a quelle di AB, secondo la nozione comune 1. Quindi il triangolo ABC è equilatero.