Funzione variabile reale reale e la sua rappresentazione grafica

UN Funzione variabile reale reale Prendi un numero appartenente all'insieme di numeri reali e lo associa a un altro valore, anche reale, attraverso una regola di corrispondenza unica. Ciò significa che il numero reale ottiene, attraverso questa regola, un'immagine unica.

Le variabili di partenza numerica sono generalmente designate dalla lettera X, mentre la loro immagine è la lettera e. D'altra parte, alla regola della corrispondenza che li collega viene anche chiamato con qualche altra lettera dell'alfabeto, come la funzione "F", sebbene un altro possa essere usato.  Nella notazione compatta è scritto:

f: x → y = f (x)

Figura 1. Grafico di una vera funzione polinomiale

Alla variabile  X è chiamato variabile indipendente, mentre il E È il variabile dipendente. La funzione può essere espressa in diversi modi, ad esempio attraverso una dichiarazione matematica come queste:

• f (x) = 2x −3
• H (x) = −3x²
• 

Un'altra forma di espressione è attraverso un grafico, che è molto utile perché ti consente di apprezzare il comportamento della funzione di una singola occhiata. Costruire un grafico è molto semplice usando un sistema di coordinate cartesiane, in cui i peer [x, f (x)] sono rappresentati come punti nel piano. Quindi si uniscono per una linea morbida e continua, puoi vedere come è la funzione.

Esempi

Per creare il grafico è possibile ricorrere a una tabella di valori in cui vengono posizionati i punti di grafico. Per i valori variabili X sono selezionati che appartengono al dominio della funzione, cioè quelli che sono stati sostituiti nella formula, a loro volta mostrano numeri reali.

Una volta scelti i valori di x, viene determinata la sua immagine y = f (x) e in questo modo si ottengono le coppie di punti [x, f (x)] che saranno grafiche.

Può servirti: funzione omografia: come graficamente, esercizi risolti

Ci sono alcuni punti che sono importanti e dovrebbero essere inclusi nella tabella: quelli in cui il grafico taglia gli assi delle coordinate, che se esistono, perché non tutte le funzioni li intersecano.

Per calcolarli, procedere come segue:

-Incrocio con l'asse e: x = 0 è realizzato nella formula della funzione e viene calcolato il valore corrispondente.

-Incrocio con asse x: Y = 0 è fatto e l'equazione f (x) = 0 è risolta.

Successivamente, viene disegnato il sistema di coordinate cartesiane e ciascuno dei punti viene tracciato, che viene quindi unito a una linea morbida e continua, se possibile.

Esempio 1

Costruisci una tabella di valori e il grafico della seguente funzione:

f (x) = x² −4

Prima di iniziare devi trovare il dominio della funzione, che è l'insieme di valori reali per i quali esiste la funzione. Dato che è una funzione quadratica, qualsiasi valore x appartenente ai numeri reali ha un'immagine reale, secondo F (x).

Quindi, la tabella può essere costruita scegliendo qualsiasi valore x e la cosa più semplice è iniziare con le intersezioni del grafico con gli assi, se ci sono. Dopo averli trovati, si cercano altri punti di completare il tavolo.

Per x = 0

f (0) = -4

Pertanto, il primo punto nella tabella è (0, -4). Questa è l'intersezione del grafico con l'asse e.

Per y = 0

Quindi y = 0 è fatto e l'equazione che i risultati viene risolta:

X² −4 = 0

X² = 4

Le soluzioni di questa equazione sono: x₁= 2 e x₂= -2. Pertanto ci sono due incroci con l'asse x, che sono i punti: (−2,0) e (2.0).

Può servirti: numeri perfetti: come identificarli ed esempi

Ora puoi trovare altri punti da aggiungere alla tabella dei valori:

Per x = 1

f (1) = (1)² - 4 = −3

Per x = - 1

f (−1) = (−1)² - 4 = −3

Per x =  3

f (3) = (3)² - 4 = 5

Per x =  -3

f (−3) = (−3)² - 4 = 5

Tabella dei valori

La tabella seguente mostra i punti ottenuti, che serviranno a costruire il grafico di f (x):

Grafico della funzione f (x) = x² −4

figura 2. Funzione F (x) grafico della funzione, che mostra alcuni punti che appartengono ad esso, inclusi gli incroci con gli assi. Fonte: f. Zapata, attraverso la geogebra.

Il grafico di questa funzione è una parabola, che si apre e ha un punto minimo, chiamato vertice, di coordinate (0, −4). È interessante notare che i valori di f (x) iniziano da y = -4 a ∞. Questo è la gamma della funzione.

Del grafico si può concludere che la funzione è continua, diminuendo nell'intervallo (−∞, 0) e aumenta da lì.

Esempio 2

Avere il grafico della funzione è possibile conoscere il suo dominio, il suo intervallo, le intersezioni che ha con gli assi e visualizzare il suo comportamento generale (crescita e diminuzione).

Di seguito è riportato il grafico della funzione polinomiale:

f (x) = - x⁴+4x²+1

Figura 3. Grafico di una funzione polinomiale. Fonte: f. Zapata attraverso la geogebra.

Dall'immagine segue che la funzione ha due intersezioni con l'asse x, i punti (-2,0) e (2.0). Ha anche un incrocio con l'asse y, il punto (0,1).

Il dominio di una funzione polinomiale è l'insieme completo di numeri reali, è anche avvertito che la funzione è continua e ha una simmetria attorno all'asse verticale. In effetti, si può verificare che questa funzione lo sia Simmetria per. Una funzione è anche se si incontra:

Può servirti: teorema verde, dimostrazione, applicazioni ed esercizi

f (x) = f (-x)

Il lettore può verificarlo sostituendo -x nella funzione, non è modificato.

Ci sono due punti interessanti, che sono all'altezza di y = 5, sono i valori massimi della funzione. L'intervallo di questa funzione, cioè l'insieme di valori che la variabile prende e, si estende da -∞ a y = 5 con precisione.

Per conoscere i valori di x la cui immagine è y = 5, questo valore viene sostituito nella funzione:

5 = - x⁴+4x²+1

E questa equazione si ottiene:

- X⁴ + 4x² - 4 = 0

Le cui soluzioni sono ossa2 e + √2. Bene, la funzione è:

-Crescente Da x -∞ a x = −√2

-Decrescente Da x = −√2 a x = 0

-Crescente Da x = 0 a x = + √2

-Decrescente Da x = + √2 in poi.

Esercizio risolto

Costruisci il grafico della seguente funzione:

f (x) = √ (x-5)

Soluzione

Per prima cosa devi determinare il dominio della funzione, per sapere quali valori di X possono essere scelti per costruire la tabella. Nel caso della funzione proposta, l'importo all'interno della radice deve essere sempre positiva o uguale a 0, quindi:

x - 5 ≥ 0

x ≥ 5

Pertanto, per la tabella solo valori maggiori o uguali a 5. Per quanto riguarda le intersezioni con gli assi delle coordinate, l'unica possibilità è fare y = 0, quindi x = 5.

È inutile fare x = 0 per questa funzione, poiché questo valore non appartiene al dominio.

Il grafico ottenuto è:

Figura 4. Grafico della funzione f (x) che mostra alcuni dei punti calcolati nella tabella. Fonte: f. Zapata attraverso la geogebra.

Riferimenti

1. Zona elettronica. Tipi di funzioni. Recuperato da: Emathzone.com.
2. Hoffman, J.G. Selezione di problemi di matematica. Ed. Sphinx.
3. La matematica è divertente. Commons Funzioni di riferimento. Recuperato da: Mathisfun.com.
4. Requena, b. Formule universe. Tipi di funzioni. Recuperato da: Universoformulas.com.
5. Stewart, J. 2006. Prececculment: matematica per il calcolo. 5 °. Edizione. Apprendimento del Cengage.