Caratteristiche della funzione sfalsate, esempi, esercizi

IL funzione sfalsata y = s (x) è una funzione definita in pezzi o per parti, tale che in un intervallo finito [a, b] ha ​​un numero finito di discontinuità, che chiameremo x₀ < x₁ < x₂ <… . x_N.  In ogni intervallo aperto (x_Yo , X_I+1) e ha un valore costante di valore s_Yo, Con discontinuità -saltos- in punti x_Yo.

Il grafico che risulta da una funzione come questa consiste in passaggi o passaggi. Diamo un'occhiata a un esempio qui sotto:

Figura 1. Esempio di funzione sfalsata. Fonte: Wikimedia Commons.

Il grafico di questa funzione a gradini ha tre passaggi o intervalli sfalsati, ma in generale la funzione sfalsata può avere qualsiasi quantità di passaggi. La larghezza dei passaggi può essere diversa e la scala non è sempre ascendente o scende.

La funzione sfalsata dell'esempio può essere scritta specificando la larghezza e l'alta di ogni passaggio, come questo:

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Caratteristiche della funzione a gradini

-La funzione riceve il suo nome dal grafico sotto forma di passaggi, dato dai segmenti che lo compongono. Ogni segmento ha una parte del dominio della funzione e in ognuno, la funzione è costante.

-Il dominio di una funzione sfalsata sono i valori che appartengono all'intervallo per il quale è definito: [a, b], mentre l'intervallo è costituito dai valori s_Yo delle altezze dei gradini.

Nell'esempio della Figura 1, il dominio è l'intervallo [-3,3] e l'intervallo è i valori -1, 1 e 2.

-La funzione sfalsata è continua tranne nei valori che delimitano ogni passaggio, i punti x_Yo.

-Le funzioni di Escalonada possono essere aggiunte e moltiplicate per dare origine a nuove funzioni a gradini.

-Il suo derivato è 0 per i punti in cui è definito, poiché in essi la funzione è costante. Da parte sua, il derivato non esiste nelle discontinuità.

-L'integrale della funzione a gradini S (x) tra A E B Esiste e corrisponde alla somma delle aree dei rettangoli di larghezza x_Yo- X_I-1 e altezza s_K, uguale al passaggio.

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Poiché l'area di un rettangolo è il prodotto della base per altezza, dobbiamo:

Esempi di funzioni sfalsate

All'interno delle funzioni sfalsate ci sono diversi tipi, ad esempio le funzioni di tutta parte e la funzione Step unitario, così come varie funzioni sfalsate che descrivono situazioni comuni, come i tassi di molti servizi. Diamo un'occhiata ad alcuni esempi:

- Esempio 1: tutte le parti

La funzione intera parte utilizza frequentemente la doppia fascia:

f (x) = [[x]]

Ed è definito come una funzione che assegna a ciascun numero reale il numero intero più vicino o più piccolo, ignorando qualsiasi decimale che ha il numero. Come potrebbe essere il caso, abbiamo:

Funzione tetto o cielo

Assegna a ciascun valore di dominio il numero intero più vicino in eccesso. Per esempio:

[[[+2.56]] = 3

La parte decimale che è 0 è ignorata.56 e viene assegnato l'intero più vicino che è maggiore di 2.

Un altro esempio:

[[[-4.2]]= -3

Ancora una volta la parte decimale 0 viene omessa.2 e il più grande intero più grande più vicino a -4 è preso come valore della funzione, che è -3.

Nella figura seguente c'è il grafico della funzione del soffitto, si noti che il passaggio è delimitato da un piccolo cerchio cavo a sinistra e uno pieno a destra, poiché qualsiasi numero di intervallo, il numero intero più grande è assegnato tra le estremità tra le estremità tra le estremità dell'intervallo.

figura 2. Il tetto o la funzione del cielo. Fonte: Wikimedia Commons.

Ad esempio, a tutti i valori tra 3 e 4 vengono assegnati l'intero 4, che è compreso tra -2 e -1 viene assegnato il -1 e così via.

Funzione del pavimento o del suolo

Assegna a ciascun valore di dominio il numero intero più vicino per impostazione predefinita. Esempi di questa funzione sono:

Può servirti: quanti decimi ci sono in un'unità?

[[+3.7]] = 3

[[-1.5]] = -2

[[π]] = 3

Entrambe le funzioni sono continue ad eccezione dei numeri interi, in cui vengono presentati salti ed è costante per i valori tra i numeri interi K e K+1.

Figura 3. Funzione del pavimento o del suolo. Fonte: Larson, R. Calcolo di una variabile.

- Esempio 2

In una città la tariffa dei taxi è 3.$ 65, per i primi 100 m. E per ogni 100 m sono 0.$ 18, essendo il limite per rotta di 50 km.

Si desidera stabilire la funzione che mette in relazione il percorso in metri con il costo del servizio di $, che deve avere questa forma:

f (x) = 3.65 + 0.18. [[x /100]] $

Dove l'intera funzione della parte può essere della funzione del cielo, a cui viene aggiunta la velocità di base che è 3.$ 65. Ad esempio, se vogliamo sapere quanto verrà pagato per un viaggio di 6.25 km = 6250 m, avremo:

f (x) = 3.65 + 0.18. [[x /100]] $ = 3.65 + 0.18 . [[6250/100]] $ = 3.65 + [[11.25]] $ = 15.$ 65

Se la società dei taxi sceglie una funzione del pavimento, il cliente pagherebbe un po 'meno per il viaggio:

f (x) = 3.65 + 0.18. [[x /100]] $ = 3.65 + 0.18 . [[6250/100]] $ = 3.65 + [[11.25]] $ = 14.$ 65

Esercizi risolti

- Esercizio 1

Le chiamate a lunga distanza tra le città A e B costano 0.40 $ 10 minuti. Dopo quel periodo, la frazione o il minuto aggiuntivo vale 0.05 $.

Esprimi il costo C (t) di una chiamata che dura un certo numero di minuti.

Soluzione

Possiamo esprimere questa funzione se analizziamo ciò che accade con ogni opzione per la durata di una chiamata:

Per t ≤ 10 minuti

Quando T, che è il momento in cui la chiamata dura, è inferiore o uguale a 10 minuti, viene pagato 0.$ 40.

Può servirti: le divisioni a 2 -digit sono state risolte

Perciò:

f (t) = 0.$ 40 per T inclusi tra 0 e 10 minuti.

Abbiamo già una parte della funzione.

Per t> 10 minuti

Caso Entero T

Ora vediamo cosa succede quando viene superato il tempo di t = 10 minuti: può succedere che l'eccesso sia un numero intero, ad esempio che la conversazione dura esattamente 11, 12, 13, 14 minuti o più. In tal caso l'importo della chiamata sarà:

f (t) = 0.40 + 0.05 (T-10) $, per T più di 10 minuti, con T.

Vale a dire che in questo caso: t = 11, 12, 13, 14, 15 ... minuti.

Ad esempio, supponiamo che la conversazione durasse esattamente 15 minuti, il costo sarà:

f (15) = 0.40 + 0.05 (15-10) $ = 0.$ 65

Caso decimale

Infine, considera il caso in cui la chiamata dura per un periodo con una parte decimale. Ad esempio, supponiamo che la chiamata duri 15 minuti e 45 secondi, che sarebbe decimamente 15.75 minuti.

Possiamo esprimerlo in termini di intera parte del tipo di pavimento, supponendo che la società desideri dare maggiori benefici al cliente o del cielo:

f (t) = 0.40 + 0.05 ⋅ [[T-9]] $

Vediamo cosa pagherebbe il cliente se fosse una funzione del pavimento:

F (15.75) = 0.40 + 0.05 ⋅ [[15.75-9]] $ = 0.40 + 0.05⋅ [[6.75]] $ = 0.40 + 0.05 × 6 $ = 0.$ 70.

O come funzione del cielo, in quel caso il costo sarebbe:

F (15.75) = 0.40 + 0.05 [[15.75-9]] $ = 0.40 + 0.05⋅ [[6.75]] $ = 0.40 + 0.05 × 7 $ = 0.75 $.

Funzione e grafica

Come una funzione definita dalle parti è:

Il grafico della funzione sarebbe così, supponendo che sia stata scelta l'intera funzione del tipo di soffitto:

Figura 4. Grafico della funzione a gradini dell'esercizio risolto 1. Fonte: Larson, R. Calcolo di una variabile.

- Esercizio 2

Calcola l'integrale ∫s (x) dx tra -3 e 3 della funzione a gradini:

Soluzione

Applichiamo la definizione per l'integrale della funzione sfalsata:

Pertanto l'integrale richiesto I è:

I = 1. [(-1)-(-3)] + 2.[1- (-1)]+(-1).[3-1] = 2+4-2 = 4

Riferimenti

1. Jiménez, r. 2006.Funzioni matematiche. Pearson Education.
2. Larson, r. 2010. Calcolo di una variabile. 9na. Edizione. McGraw Hill.
3. Matematica IV. Funzioni. Recuperato da: cobaqroo.Edu.MX.
4. Wikipedia. Funzioni di parte intera. Recuperato da: è.Wikipedia.org.
5. Wikipedia. Funzione sfalsata. Recuperato da: è.Wikipedia.org.