Valutazione delle funzioni

Per valutare una funzione di cui è noto il diagramma, per un certo valore o elemento del set di avvio, è sufficiente osservare l'elemento corrispondente nel set di arrivo. Fonte: f. Zapata.

Qual è la valutazione delle funzioni?

IL Valutazione delle funzioni Consiste nel determinare l'immagine di un determinato valore di dominio. In altre parole, per un determinato valore del set iniziale, devi trovare il corrispondente nel set di arrivo.

Una funzione può essere rappresentata in diversi modi. Se, ad esempio, il diagramma di Venn è disponibile, la valutazione è molto semplice, è sufficiente selezionare l'elemento del set di avvio o di dominio e vedere l'elemento che corrisponde al set di arrivo.

Nel "…… è il diagramma di capitale ...", rappresentato sopra, quando si valuta questa funzione nell'elemento "Canada", è l'elemento "Ottawa", nel caso di farlo con "Messico", è "Città del Messico" e Presto.

Se la funzione è indicata sotto forma di coppie ordinate, anche la valutazione è semplice: il secondo membro della coppia ordinata è l'immagine del primo membro. Ad esempio, con la funzione f (x) descritta da:

f (x) = (0.0); (1.2); (2,4); (3,6); (4.8); (5.10); (6,12)

Quando si valuta la funzione per il valore 3, il risultato è 6; Quando si valuta per 5, è 10 e così via.

Allo stesso modo, una funzione può essere valutata quando il grafico è disponibile, a condizione che il valore che desideri valutare appare in esso.

Grafico per valutare una funzione

Ad esempio, per valutare la funzione mostrata sopra, a x = 2, la prima cosa è localizzare nel grafico a x = 2 (freccia gialla).

Quindi, devi muoverti seguendo la freccia blu verticale, fino a quando non tocchi la curva (punto verde). Segui nuovamente la freccia blu, che indica il valore corrispondente sull'asse verticale, quindi, quando si valuta la funzione a x = 2, y = −6 si ottiene.

Può servirti: funzioni trigonometriche: base, nel piano cartesiano, esempi, esercizio fisico

Valuta una determinata funzione in notazione matematica

Nella parte inferiore del grafico sopra, appare la funzione grafica, ma data in notazione matematica, cioè attraverso una formula:

f (x) = x² - 3x - 4

Quando si desidera valutare la funzione in qualsiasi valore x = a, devi trovare f (a), che viene semplicemente letto "f di a".

Per trovare il risultato, x = a viene sostituito nella formula della funzione e le operazioni e i calcoli richiesti vengono eseguiti.

Supponiamo di voler valutare la funzione dell'esempio a x = −1. Ciò significa che deve essere trovato F (−1).

Il primo passo è sostituire x = -1 nella funzione:

f (−1) = (−1)² - 3 ∙ (−1) - 4

E poi, eseguire le operazioni indicate, che in questo esempio sono:

• Trova il quadrato di −1: (−1)² = 1
• Sottrai il valore precedente del prodotto 3 ∙ (−1): 3 ∙ (−1) = −3
• Dal risultato precedente, sottrai 4

f (−1) = (−1)² - 3 ∙ (−1) - 4 = 1 + 3 - 4 = 0

Il lettore può confermare questo risultato, dal grafico della funzione.

La procedura descritta può essere utilizzata per valutare la funzione a qualsiasi altro valore di dominio. Ad esempio, puoi trovare F (-2), F (100) o persino F (H), dove H è un valore variabile arbitrario, che appartiene al dominio della funzione.

Valuta una funzione a un valore x = h 

Supponiamo di voler valutare la funzione ad un valore arbitrario, un'operazione frequente nel calcolo matematico.

In questo caso, X viene sostituito da H, allo stesso modo in cui viene fatto quando X prende un valore numerico e il risultato è semplificato il più possibile.

Quando l'operazione risultante non può più essere semplificata, l'operazione risultante viene lasciata.

Può servirti: enegon: proprietà, come fare un enegon, esempi

Esempio

Vuoi valutare la funzione f (x) = x² - 3x - 4 a x = H+1. L'approccio necessario è il seguente:

F (H+1) = (H+1)² - 3 ∙ (H+1) - 4

A destra dell'uguaglianza, il primo termine è un prodotto straordinario:

(H+1)² = H² +2H + 1

Il seguente termine viene risolto attraverso la proprietà distributiva:

3 ∙ (H + 1) = 3H + 3

Quando si sostituisce tutto quanto sopra, hai:

F (H+1) = (H+1)² - 3 ∙ (H+1) - 4 = H² +2H + 1 - (3H + 3) - 4

I termini simili sono ridotti, dalla somma algebrica:

F (H+1) = H² + 2H + 1 - 3H - 3 - 4 = H² - H - 6

Il quoziente differenziale

Il quoziente differenziale o il rapporto tra differenze d di una funzione f (x) è definito come:

Con la condizione h ≠ 0, che è necessario, poiché la divisione di 0 non è definita.

Questo quoziente è interpretato geometricamente come la pendenza di una linea secante alla curva, cioè una linea che attraversa due punti di esso. Le coordinate di questi punti sono: [x, f (x)] e [x+h; f (x+h)], come visto nella figura seguente:

Il quoziente differenziale equivale al calcolo della pendenza della linea secante alla curva, che passa attraverso i punti indicati. Fonte: Wikimedia Commons.

Questo è il motivo per cui questo quoziente appare nel calcolo del derivato di una funzione, poiché facendo avvicinarsi a "h" del valore 0, la linea secante tende a diventare una linea tangente nel punto (x, y), perché i punti nell'intersezione di La figura è così vicina che tendono allo stesso punto.

Pertanto, la linea diventa tangente (intercetta la curva in un singolo punto).

Questa è precisamente la definizione di derivata da una funzione: la pendenza della linea tangente alla curva nel punto di coordinata (x, f (x))).

Può servirti: supporti ponderati: come viene calcolato, esempi ed esercizi

Come si può vedere, il quoziente differenziale richiede la valutazione della funzione in (x + h) e in x. I seguenti esempi illustrano come farlo.

Esempio 1

Vuoi trovare il quoziente differenziale della funzione f (x) = 2x - 3. Il primo passo è aumentare la valutazione della funzione per x = x + h, in questo modo:

f (x+h) = 2 ∙ (x+h) - 3 = 2x+2H - 3

Quindi, il risultato viene sostituito nella definizione di d, data in precedenza:

Con h ≠ 0.

Il numeratore è semplificato per quanto possibile, riducendo i termini simili:

Infine, i fattori comuni in numeratore e denominatore sono semplificati:

D = 2

Esempio 2

Trova il quoziente differenziale della funzione f (x) = x² - 3x - 4.

Procediamo come nell'esempio precedente, trovando il primo F (x+H), sostituendo il risultato in d e semplificando al massimo:

f (x+h) = (x+h)² - 3 (x+h) - 4 = x² + 2HX + H² - 3x - 3h - 4

= 2x+H-3

Perciò:

D = 2x+H-3

Dove h ≠ 0.

Esercizi risolti

Esercizio 1

Valuta la funzione f (x) = 2x² - 4x + 1 quando:

a) x = -1
b) x = 0
c) x = 2

Soluzione a

F (-1) = 2 (-1)² - 4 (-1) + 1 = 2 + 4 + 1 = 7

Soluzione b

f (0) = 2 (0)² - 4 (0) + 1 = 0 - 0 + 1 = 1

Soluzione c

f (2) = 2 ∙ 2² - 4 ∙ 2 + 1 = 8 - 8 + 1 = 1

Esercizio 2

Una squadra conservazionista ha stabilito che la funzione w (t) = 0.lt² + 1.8t serve a modellare la quantità di rifiuti "W", in chilogrammi, che vengono gettati in un certo fiume, in un tempo "t", dato in giorni.

Calcola la quantità di rifiuti gettati nel fiume alla fine di:

a) 3 giorni
b) 1 settimana
c) 1 mese

Soluzione a

La funzione W (T) viene valutata a T = 3 giorni:

W (3) = 0.1 × 3² +1.8 × 3 = 0.9 + 5.4 = 6.3 chilogrammi

Soluzione b

Prima di valutare, devi passare da 1 settimana a giorni:

1 settimana = 7 giorni

W (7) = 0.1 × 7² +1.8 × 7 = 4.9 + 12.6 = 17.5 chilogrammi

Soluzione c

Ancora una volta, è necessario trasformare i mesi in giorni:

1 mese = 30 giorni

W (30) = 0.1 × 30² +1.8 × 30 = 90 + 54 = 144 chilogrammi

Riferimenti

1. Larson, r. 2012. Precalcolazione. 8 °. Edizione. Apprendimento del Cengage.
2. Monterey Institute. Valutare le funzioni. Recuperato da: Montereyinstitute.org.
3. Stewart, J. 2007. Prececculment: matematica per il calcolo. 5 °. Edizione. Apprendimento del Cengage.
4. Sullivan, m. 1997. Precalcolazione. 4 °. Edizione. Pearson Education.
5. Zill, d. 2008. Prececculment con i progressi di calcolo. 4 °. Edizione. McGraw Hill.