Caratteristiche ed esempi di ellissoide

Lui Ellissoide È una superficie nello spazio che appartiene al gruppo di superfici quadrate e la cui equazione generale è della forma:

Ascia² + Di² + Cz² + Dxy + exz + fyz + gx + hy + iz + j = 0

È l'equivalente tridimensionale di un'ellisse, caratterizzato da tracce ellittiche e circolari in alcuni casi speciali. Le tracce sono le curve ottenute quando si intersecano l'ellissoide con un piano.

Figura 1. Tre diversi ellissoidi: sopra una sfera in cui i tre mezze sono uguali, giù a sinistra uno sferoide, con due semi -asse a metà e una pari e infine a destra, uno sferoide triassiale, con tre assi di lunghezza diversa. Fonte: Wikimedia Commons. Ag2Gaeh/CC BY-S (https: // creativeCommons.Org/licenze/by-sa/4.0)

Oltre all'ellissoid. Le sue tracce sono anche coniche.

L'ellissoide può anche essere espresso dall'equazione standard nelle coordinate cartesiane. Un ellissoide incentrato sull'origine (0,0,0) ed espresso in questo modo, ricorda l'ellisse, ma con un termine aggiuntivo:

I valori di A, B E C Sono numeri reali maggiori di 0 e rappresentano la metà di tre ellissoidi.

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Caratteristiche dell'ellissoide

- Equazione standard 

L'equazione standard nelle coordinate cartesiane per l'ellisse si è concentrata sul punto (H, K, M) È:

- Ellepsoidi equazioni parametriche

Nelle coordinate sferiche, l'ellissoide può essere descritto come segue:

x = un peccato θ. cos φ

y = b sin θ. sin φ

Z = c cos θ

L'ellissoide semi -out sono ancora a, b e c, mentre i parametri sono gli angoli θ e φ della seguente figura:

figura 2. Il sistema di coordinate sferiche. L'ellissoide può essere parametrizzato usando gli angoli mostrati come parametri come parametri. Fonte: Wikimedia Commons. Dominio Andeggs / pub.

- Tracce di ellissoide

L'equazione generale di una superficie nello spazio è f (x, y, z) = 0 e le tracce della superficie sono le curve:

Può servirti: magnitudo vettore

- x = c; F (c, y, z) = 0

- y = c; F (x, c, z) = 0

- Z = c; F (x, y, c) = 0

Nel caso di un ellissoide, tali curve sono ellissi e talvolta circonferenze.

- Volume

Il volume V dell'ellissoide è dato da (4/3) π volte il prodotto dei suoi tre mezze:

V = (4/3) π. ABC

Casi speciali di ellissoide

-Un ellissoide diventa una sfera quando tutte le dimensioni mezzo hanno le stesse dimensioni: a = b = c ≠ 0. Questo ha senso, perché l'ellissoide è come una sfera alla quale è stata allungata in modo diverso in ogni asse.

-Lo sferoide è un ellissoide in cui due dei semijes sono identici e il terzo è diverso, ad esempio potrebbe essere a = b ≠ c.

Lo sferoide è anche chiamato ellissoide di rivoluzione, perché può essere generato da ellissi rotanti attorno a un asse.

Se l'asse di ruota coincide con l'asse maggiore, lo sferoide è prolizione, Ma se coincide con l'asse minore, lo è oblato:

Figura 3. Sferoide a sinistra a sinistra e prolizione sferoide a destra. Fonte: Wikimedia Commons.

La misura dell'appiattimento dello sferoide (ellitticità) è data dalla differenza di lunghezza tra le due semi -pagine, espressa in forma frazionaria, cioè è l'appiattimento dell'unità, dato da:

F = (a - b) / a

In questa equazione, A rappresenta il semi -senije e B il semi -asse minore, ricorda che il terzo asse è uguale a uno di questi per uno sferoide. Il valore di F è compreso tra 0 e 1 e per uno sferoide deve essere maggiore di 0 (se fosse uguale a 0 avremmo semplicemente una sfera).

Può servirti: Bethelgeuse

L'ellissoide di riferimento

I pianeti e in generale le stelle, di solito non sono sfere perfette, perché il movimento di rotazione attorno ai loro assi che piatta il corpo nei poli e nei bassinali in Ecuador.

Questo è il motivo per cui la Terra risulta essere come uno sferoide oblato, sebbene non così esagerato come quello della figura precedente, e d'altra parte il gigante di Saturno gassoso è il più amaro dei pianeti nel sistema solare.

Quindi un modo più realistico di rappresentare i pianeti, è supporre che siano come uno sferoide o un ellissoide della rivoluzione, il cui semi -semi -major è la radio equatoriale e il semi -asse minore il raggio polare.

Misure accurate fatte sul globo hanno permesso di costruire il Ellissoide di riferimento della Terra come forma più precisa per lavorare matematicamente.

Le stelle hanno anche movimenti di rotazione che danno loro più o meno appiattiti. La stella aternar veloce, l'ottava stella più luminosa del cielo notturno, nella costellazione meridionale di Eridano è notevolmente ellittica quando la confronta con la maggioranza. Sono 144 anni luce da noi.

All'altro estremo, qualche anno fa gli scienziati hanno dato con l'oggetto più sferico trovato finora: la stella di Kepler 11145123, 5000 anni luce, con una dimensione due volte quella del nostro sole e una differenza tra i semi -misurazioni di soli 3 km. Come previsto, diventa anche più lentamente.

Per quanto riguarda la Terra, non è uno sferoide perfetto per la sua superficie robusta e le variazioni locali di gravità. Ecco perché c'è più di uno sferoide di riferimento disponibile e su ciascun sito viene scelto il più appropriato per la geografia locale.

Può servirti: qual è la valle in fisica? (Con esempi)

L'aiuto dei satelliti è prezioso nel creare modelli sempre più precisi della forma della terra, grazie ad essi è noto ad esempio che il polo sud è più vicino all'Ecuador rispetto al Polo Nord.

Figura 4. Haumea, il pianeta nano transneptuniano ha una forma ellissoidale. Fonte: Wikimedia Commons.

Esempio numerico

A causa della rotazione della terra viene generata una forza centrifuga che gli dà la forma di un ellissoide oblungo, anziché di una sfera. È noto che la radio equatoriale della terra è di 3963 miglia e il raggio polare è di 3942 miglia.

Trova l'equazione della traccia equatoriale, quella di questo ellissoide e la misura del suo appiattimento. Confrontare anche con l'ellitticità di Saturno, con i dati forniti di seguito:

-Radio equatoriale di Saturno: 60268 km

-Radio polare di Saturno: 54364 km

Soluzione

È richiesto un sistema di coordinate, che assumeremo focalizzato sull'origine (centro della terra). Assumeremo l'asse Z verticale e la traccia che corrisponde all'equatore è sul piano XY, equivalente al piano z = 0.

Nel piano equatoriale i semi -a e B sono gli stessi, quindi a = b = 3963 miglia, mentre c = 3942 miglia. Questo è un caso speciale: uno sferoide focalizzato sul punto (0,0,0) come indicato sopra.

La traccia equatoriale è un cerchio di raggio r = 3963 miglia, focalizzato sull'origine. Viene calcolato facendo z = 0 nell'equazione standard:

E l'equazione standard dell'ellissoide terrestre è:

Infine, la misura di regolazione (ellittica) viene calcolata nella valutazione nell'equazione:

F _Terra = (a - b) / a = (3963-3942) miglia / 3963 miglia = 0.0053

F _Saturno = (60268-54363) km/60268 km = 0.0980

Si noti che la f ellittica è una quantità senza dimensioni.

Riferimenti

1. ArcGIS per desktop. Sferoide e sfere. Recuperato da: desktop.Arcgis.com.
2. BBC World. Il mistero dell'oggetto più sferico mai scoperto nell'universo. Estratto da: BBC.com.
3. Larson, r. Calcolo e geometria analitica. Sesta edizione. Volume 2. McGraw Hill.
4. Wikipedia. Ellissooide. Recuperato da: in.Wikipedia.org.
5. Wikipedia. Siperoide. Recuperato da: in.Wikipedia.org.