Formula di equazioni di secondo grado, come risolverli, esempi, esercizi

IL Equazioni di secondo grado o quadratico E uno sconosciuto ha la forma ascia² + bx + c = 0. Dove a ≠ 0, poiché essendo 0, l'equazione verrebbe trasformata in un'equazione lineare e i coefficienti A, B e C sono numeri reali.

L'ignoto da determinare è il valore di x. Ad esempio, l'equazione 3x² - 5x + 2 = 0 è un'equazione completa di secondo grado.

Figura 1. La formula per risolvere le equazioni di secondo grado o quadratiche di uno sconosciuto

Ci sono anche varianti che sono note come equazioni di secondo grado incomplete, che mancano di uno qualsiasi dei termini, tranne quello di ascia². Ecco alcuni esempi:

X² - 25 = 0

3x² - 5x = 0

Al Juarismi, il famoso matematico arabo dell'antichità, descritto nelle sue opere vari tipi di equazioni di primo e secondo grado, ma solo con coefficienti positivi. Tuttavia, era il matematico francese Risolvente:

Questa è una formula generale che consente di risolvere un'equazione quadratica, trovando le radici o gli zeri dello stesso, anche se le soluzioni non sono reali. Ci sono anche altri modi per risolverli.

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Come risolvere le equazioni di seconda elementare?

Le equazioni di secondo grado possono essere risolte dalla formula sopra indicata e ci sono anche altre procedure algebriche che possono funzionare in alcune equazioni.

Risolveremo l'equazione proposta all'inizio con la formula, un metodo valido per qualsiasi equazione di secondo grado con sconosciuti:

3x² - 5x + 2 = 0

Per utilizzare la formula, notiamo correttamente che:

• A È il coefficiente del termine con x²
• B È il coefficiente del termine lineare
• C è il termine indipendente.

Identifichiamoli dalla stessa equazione:

A = 3

B = -5

C = 2

Si noti che il segno che accompagna il coefficiente deve essere preso in considerazione. Ora sostituiamo questi valori nella formula:

Nel numeratore è il simbolo di "più - meno" ±, il che indica che la quantità con la radice può essere presa come positiva e anche negativa. Un'equazione di secondo grado ha un massimo di due soluzioni reali e questo simbolo lo tiene conto.

Chiamiamo x₁ e x₂ A queste due soluzioni, quindi:

X₁ = (5+1) / 6 = 1

X₂ = (5-1)/6 = 4/6 = 2/3

Risoluzione per fattorizzazione

Alcune equazioni di secondo grado sono costituite da trinomiali che sono facilmente fattori. In tal caso, questo metodo è molto più veloce. Considera l'equazione:

X² + 7x - 18 = 0

La fattorizzazione ha questa forma:

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(x +) ⋅ (x -)

Gli spazi vuoti sono riempiti con due numeri che, se moltiplicati in 18 e quando vengono sottratti, 7 sono 7. I segni tra parentesi sono scelti con questo criterio:

-Nella prima parentesi viene posizionato il segno tra il primo e il secondo mandato.

-E nella seconda parentesi va il prodotto dei segni che si vedono.

Per quanto riguarda i numeri, sono facilmente in questo caso: sono 9 e 2. Il maggiore è sempre collocato nella prima parentesi, in questo modo:

X² + 7x - 18 = (x + 9). (x - 2)

Il lettore può verificare attraverso la proprietà distributiva, che quando si sviluppa il prodotto del lato destro dell'uguaglianza, si ottiene il trinomiale di sinistra. Ora, l'equazione viene riscritta:

(x + 9) ⋅ (x - 2) = 0

Per soddisfare l'uguaglianza, è sufficiente che uno dei due fattori sia zero. Quindi, nel primo deve essere fatto₁ = -9 o può essere che il secondo fattore venga annullato, in quel caso x₂ = 2. Queste sono le soluzioni di equazione.

Metodo grafico

Le radici o le soluzioni dell'equazione di secondo grado corrispondono alle intersezioni della parabola y = = ascia² + BX + C Con l'asse orizzontale o l'asse X. In modo che graficando la parabola corrispondente troveremo la soluzione dell'equazione di secondo grado che fa y = 0.

I tagli delle parabole con l'asse orizzontale rappresentano le soluzioni dell'equazione ascia² + bx + c = 0. Una parabola che taglia solo l'asse orizzontale in un singolo punto ha una singola radice e questo sarà sempre il vertice della parabola.

E infine, se una parabola non si taglia sull'asse orizzontale, l'equazione corrispondente ascia² + bx + c = 0 Manca soluzioni reali.

Costruire un grafico a mano può essere laborioso, ma con l'uso di programmi che grafici online è molto semplice.

figura 2. Rappresentazione grafica di tre tipi di parabole, con due, una e nessuna intersezione con l'asse orizzontale. Fonte: Wikimedia Commons.

Risoluzione con calcolatrice scientifica

Molti modelli di calcolatori scientifici hanno la possibilità di risolvere equazioni di secondo grado (e anche altri tipi di equazioni). Per saperlo devi rivedere il menu.

Una volta scelta l'opzione di equazione quadratica di uno sconosciuto, il menu richiede di inserire i valori dei coefficienti A, B e C e restituire le soluzioni reali se esistono. E ci sono anche modelli di calcolatori scientifici che lavorano con numeri complessi e offrono queste soluzioni.

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Discriminante da un'equazione di secondo grado

Per sapere se l'equazione ha soluzioni reali o meno e quante sono, senza la necessità di risolvere prima, il discriminante è definito come l'importo ai sensi della radice quadrata:

Δ = b² - 4ac

Secondo il segno discriminante, è noto quante soluzioni ha l'equazione secondo questo criterio:

-Due soluzioni reali: Δ> 0

-Una soluzione reale (o due soluzioni identiche): Δ = 0

-Nessuna soluzione reale: Δ  < 0

Ad esempio, quante soluzioni l'equazione di secondo grado ha -7x² +12x + 64 = 0? Identifichiamo i coefficienti:

A = -7

B = 12

C = 64

Δ = b² - 4ac = 12² - 4x (-7) x 64 = 144 + 1792 = 1936> 0

L'equazione ha due soluzioni. Ora vediamo questo:

X² - 6x + 9 = 0

A = 1

B = -6

C = 9

Δ = (-6)² - 4 x 1 x 9 = 36 - 36 = 0

Questa è un'equazione con una soluzione unica o due soluzioni uguali.

Esempi di semplici equazioni di secondo grado

All'inizio abbiamo detto che le equazioni di secondo grado potrebbero essere complete se il trinomiale è e incompleto se mancava il termine lineare o il termine indipendente. Ora vediamo alcuni tipi particolari:

X Equazione del modulo² + mx + n = 0

In questo caso a = 1 e la formula è ridotta a:

Per questo tipo di equazione e sempre a seconda dei coefficienti rimanenti, il metodo di fattorizzazione può funzionare bene, come abbiamo visto nella sezione precedente.

Equazione incompleta della forma dell'ascia² + C = 0

La soluzione, se esiste, è la forma:

C'è una vera soluzione quando un o c ha un segno negativo, ma se i due termini hanno lo stesso segno, la soluzione sarà immaginaria.

Equazione incompleta della forma dell'ascia² + Bx = 0

Questa equazione viene rapidamente risolta usando la fattorizzazione, poiché la X è un fattore comune in entrambi i termini. Una delle soluzioni è sempre x = 0, l'altra è così:

ascia² + Bx = 0

x (ax + b) = 0

ax + b = 0 → x = -b/a

Diamo un'occhiata a un esempio allora. Risolvere:

X² - 5x = 0

x (x - 5) = 0

Quindi x₁ = 0 e x₂ = 5

Equazioni con denominatore

Esistono diverse equazioni razionali, in cui l'ignoto può essere presente sia nel numeratore che nel denominatore, o anche solo in quest'ultimo.

Il modo per risolverli è moltiplicare entrambi i lati dell'uguaglianza per il minimo comune multiplo o m.C.m dei denominatori e quindi riorganizzare i termini. Per esempio:

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Equazioni di ordine superiore che vengono trasformate in quadratiche

Esistono equazioni di ordine superiore che, attraverso una variazione variabile, possono essere risolte come se fossero quadratiche, ad esempio questa equazione Bicadrada:

X⁴ - 10x² + 9 = 0

Lascia che x² = U, quindi l'equazione viene trasformata in:

O² - 10u + 9 = 0

Questa equazione viene rapidamente risolta per fattorizzazione, trovando due numeri che si sono moltiplicati in 9 e hanno aggiunto 10. Questi numeri sono 9 e 1:

(U - 9).(U - 1) = 0

Pertanto le soluzioni di questa equazione sono u₁ = 9 e u₂ = 1. Ora restituiamo il cambiamento:

X² = 9 → x₁ = 3 e x₂ = -3

X² = 1 → x₁ = 1 e x₂ = -1

L'equazione originale è dell'ordine 4, quindi ha almeno 4 radici. L'esempio è -3, -1, 1 e 3.

Semplici esercizi risolti

- Esercizio 1

Risolvi la seguente equazione quadratica con l'ignoto nel denominatore:

Il multiplo comune minimo è x (x+2) e deve moltiplicarsi a tutti i termini:

L'espressione equivalente rimane:

5x (x+2) - x = x (x+2)

Sviluppiamo:

5x² + 10x - x = x² + 2x

Tutti i termini sono trasposti a sinistra dell'uguaglianza e a destra sono sinistra 0:

5x² + 10x - x - x² - 2x = 0

4x² - 7x = 0

Facciamo un fattore, dal momento che è un'equazione incompleta:

x (4x - 7) = 0

Una delle soluzioni è x = 0, l'altra è:

4x = 7

x = 7/4

- Esercizio 2

Trova la soluzione delle equazioni di secondo grado:

a) -7x² +12x + 64 = 0

b) x² - 6x + 9 = 0

Soluzione a

Da questa equazione conosciamo il determinante δ, perché è stato calcolato come esempio prima, quindi ne trarremo vantaggio, esprimendo la formula del solvente come segue:

X₁ = (-12+44)/ - 14 = - (32/14) = - (16/7)

X₂ = (-12 -44) / -14 = 4

Soluzione b

Il trinomiale quadrato x² - 6x + 9 è fattorizzabile, poiché è un trinomiale quadrato perfetto:

X² - 6x + 9 = (X-3)² = 0

La soluzione di questa equazione è x = 3.

- Esercizio 3

Qual è l'equazione le cui soluzioni sono 3 e 4?

Soluzione

L'espressione fattorizzata è:

(x - 3) ⋅ (x - 4) = 0

Applicazione di proprietà distributiva:

X² - 4x -3x + 12 = 0

I due termini centrali sono simili e possono essere ridotti, essendo: lasciare:

X² - 7x + 12 = 0

Riferimenti

1. Baldor. 1977. Algebra elementare. Edizioni culturali venezuelane.
2. Hoffman, J. Selezione di problemi di matematica. Volume 2.
3. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
4. Stewart, J. 2006. Prececculment: matematica per il calcolo. 5 °. Edizione. Apprendimento del Cengage.
5. Zapata, f. 4 modi per risolvere un'equazione di secondo grado. Recuperato da: Francesphysics.Blogspot.com.
6. Zill, d. 1984. Algebra e trigonometria. McGraw Hill.