Formula di equazioni di prima elementare, come risolverle, esempio, esercizi

IL Equazioni di primo grado o lineare Con uno sconosciuto sono quelli che possono essere espressi come la somma di due termini, nel modo seguente:

ax + b = 0

Dove a e b, con A ≠ 0, sono numeri reali r o anche complessi c. Per risolverlo, i termini sono trasposti, il che significa cambiare i termini da una parte a un'altra uguaglianza.

Figura 1. Un'equazione lineare è y = mx + c forma con y = 0. Fonte: pxhere.

Per cancellare l'ignoto, il termine +b viene trasposto, che deve andare sul lato destro dell'uguaglianza con un segno modificato.

ax = -b

Quindi il valore di X viene cancellato, in questo modo:

x = - b/a

Ad esempio, risolveremo la seguente equazione:

6x - 5 = 4

Trasponiamo il termine -5 sul lato destro con un segno modificato:

6x = 4 + 5

Ciò equivale ad aggiungere 5 su entrambi i lati dell'equazione originale:

6x - 5 + 5 = 4 + 5 → 6x = 9

E ora cancelliamo l'ignoto "X":

x = 9/6 = 3/2

Che equivale a dividere entrambi i lati dell'uguaglianza per 6. Quindi possiamo valutare quanto segue per ottenere la soluzione:

-La stessa quantità può essere aggiunta o sottratta entrambi i lati dell'uguaglianza in un'equazione, senza alterarla.

-Puoi anche moltiplicare (o dividere) per lo stesso importo a tutti i termini sia a sinistra che a destra dell'equazione.

-E se entrambi i membri di un'equazione aumentano allo stesso potere, l'uguaglianza non viene alterata.

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Come risolvere le equazioni di primo grado

La soluzione di un'equazione di primo grado è anche nota come radice della stessa. È il valore di x che converte l'espressione originale in un'uguaglianza. Ad esempio in:

5x = 8x - 15

Se sostituiamo x = 5 in questa equazione, si ottiene:

5⋅5 = 8⋅5 - 15

25 = 40 - 15

25 = 25

Poiché le equazioni lineari di primo grado arrivano in molti modi, che a volte non sono evidenti, ci sono una serie di regole generali che comprendono diverse manipolazioni algebriche, al fine di trovare il valore dell'ignoto:

-Innanzitutto, se ci sono operazioni indicate, queste devono essere eseguite.

-I simboli di raggruppamento come parentesi, parentesi quadrate e chiavi, se esistono, devono essere soppressi mantenendo i segni appropriati.

-I termini sono trasposti per collocare tutti quelli che contengono l'ignoto a un singolo lato di uguaglianza e quelli che non lo contengono all'altro.

-Quindi tutti i termini simili sono ridotti, per raggiungere la forma ax = -b.

-E l'ultimo passo è cancellare l'ignoto.

Interpretazione grafica

L'equazione di primo grado aumentata all'inizio può essere derivata dall'equazione della linea y = mx+c, facendo y = 0. Il valore di X che risulta corrisponde all'intersezione della linea con l'asse orizzontale.

Nella figura seguente hai tre righe. A partire dalla linea verde, la cui equazione è:

Può servirti: fattorizzazione

y = 2x - 6

Fare y = 0 nella linea della linea si ottiene l'equazione di primo grado:

2x - 6 = 0

La cui soluzione è x = 6/2 = 3. Ora, quando descriviamo in dettaglio il grafico, è facile rendersi conto che, in effetti, la linea si taglia sull'asse orizzontale a x = 3.

La linea blu interseca l'asse x a x = 5, che è la soluzione all'equazione -x + 5 = 0. Infine, la linea la cui equazione è y = 0.5x + 2 tagliato sull'asse x a x = -4, che è facilmente avvertito dell'equazione di primo grado:

0.5 x + 2 = 0

x = 2/0.5 = 4

figura 2. Tre righe le cui incroci con l'asse orizzontale corrispondono alle equazioni lineari. Fonte: Wikimedia Commons.

Esempi di semplici equazioni lineari   

Intere equazioni

Sono quelli in cui i termini non ci sono denominatori, per esempio:

21 - 6x = 27 - 8x

La sua soluzione è:

-6x + 8x = 27 - 21

2x = 6

x = 3

Equazioni frazionarie

Queste equazioni contengono almeno un diverso denominatore di 1. Per risolverli, è consigliabile.

La seguente equazione è tipo frazionario:

I denominatori sono 6, 8 e 12 e il loro multiplo comune minimo, indicato come m.C.M (6, 8,12) è il minimo dei numeri contenenti questi denominatori.

Poiché questi numeri sono piccoli, non è difficile vedere che m.C.M (6, 8,12) = 24. Questo risultato è facilmente ottenuto esprimendo numeri come prodotto di numeri primi o dei loro poteri, vediamo:

6 = 3.2

8 = 2³

12 = 2²⋅3

Il multiplo comune minimo viene determinato moltiplicando i fattori comuni e non comuni di 6, 8 e 12 con il suo più grande esponente, quindi:

MCM (6,8,12) = 2³ ⋅3 = 8 × 3 = 24

Poiché è disponibile il multiplo minimo comune, deve essere moltiplicato per ciascuno dei termini dell'equazione:

In questo modo i denominatori sono soppressi e c'è un'equazione con i prodotti, più facile da risolvere:

4 (x+5) -3 (2x+3) = 2 (1-5x)

Usiamo la proprietà distributiva:

4x + 20 - 6x -9 = 2 - 10x

Tutti i termini che contengono l'ignoto "X" sono raggruppati sul lato sinistro dell'uguaglianza, lasciando i termini indipendenti o numerici del lato destro:

4x - 6x + 10 x = 2 +9 - 20

8x = -9

x = - 9/8

Equazioni letterali

Sono equazioni lineari con uno sconosciuto, che tuttavia sono accompagnati da coefficienti letterali (lettere). Queste lettere sono trattate proprio come verrebbero fatte con i numeri. Un esempio di un'equazione letterale di primo grado è:

-3ax + 2a = 5x - b

Questa equazione è risolta allo stesso modo in cui i termini e i coefficienti indipendenti fossero numerici:

-3ax - 5x = - b - 2a

Factoring the Unknown "X":

x (-3a - 5) = - b - 2a

x = ( - b - 2a) / (-3a - 5) → x = (2a + b) / (3a + 5)

Sistemi di equazioni di primo grado 

I sistemi di equazione consistono in una serie di equazioni con due o più incognite. La soluzione di sistema è costituita da valori che soddisfano le equazioni contemporaneamente e per determinarle in modo inequivocabile, deve esserci un'equazione per ciascuna sconosciuta.

Può servirti: algebra vettoriale

La forma generale di un sistema di M Equazioni lineari con N Le incognite sono:

A_undiciX₁ + A₁₂X₂ +… A_1nX_N = b₁
A_ventunoX₁ + A₂₂X₂ +… A_2nX_N = b₂
..
A_M1X₁ + A_M2X₂ +… A_MnX_N = b_M

Se il sistema ha una soluzione, si dice che lo sia determinato compatibile, Quando c'è un insieme infinito di valori che lo soddisfano Compatibile indeterminato, E infine, se non ha una soluzione, allora lo è incompatibile.

Nella risoluzione dei sistemi di equazioni lineari vengono utilizzati diversi metodi: riduzione, sostituzione, equalizzazione, metodi grafici, eliminazione di Gauss-Jordan e l'uso dei determinanti sono tra i più utilizzati. Ma ci sono altri algoritmi per raggiungere la soluzione, più convenienti per i sistemi con molte equazioni e incognite.

Un esempio di un sistema di equazioni lineari con due incognite è:

8x - 5 = 7y - 9
6x = 3y + 6

La soluzione di questo sistema viene inviata più avanti nella sezione ESERCIZI SOLUTI.

Equazioni lineari con valore assoluto

Il valore assoluto di un numero reale è la distanza tra la sua posizione sulla linea numerica e lo stesso. Essere una distanza il suo valore è sempre positivo.

Il valore assoluto di un numero è indicato dalle barre del modulo: │x│. Il valore assoluto di un numero positivo o negativo è sempre positivo, ad esempio:

│+8│ = 8

│-3│ = 3

In un'equazione con valore assoluto, l'ignoto è tra le barre del modulo. Considera la seguente semplice equazione:

│x│ = 10

Ci sono due possibilità, la prima è che x è un numero positivo, nel qual caso abbiamo:

x = 10

E l'altra possibilità è che X sia un numero negativo, in questo caso:

x = -10

Queste sono le soluzioni di questa equazione. Ora vediamo un esempio diverso:

│x+6│ = 11

L'importo all'interno delle barre può essere positivo, quindi:

x+6 = 11

x = 11 -6 = 5

O può essere negativo. In quel caso:

-(x+6) = 11

-x - 6 = 11 ⇒ -x = 11+6 = 17

E il valore dell'ignoto è:

x = -17

Questa equazione del valore assoluto ha quindi due soluzioni: x₁ = 5 e x₂ = -17. Possiamo verificare che entrambe le soluzioni portino all'uguaglianza nell'equazione originale:

│5+6│ = 11

│11│ = 11

E

│-17+6│ = 11

│-11│ = 11

Semplici esercizi risolti

- Esercizio 1

Risolvi il seguente sistema di equazioni lineari con due incognite:

8x - 5 = 7y -9
6x = 3y + 6

Soluzione

Man mano che questo sistema viene sollevato, è adatto all'utilizzo del metodo di sostituzione, poiché nella seconda equazione l'ignoto X È quasi pronto per l'autorizzazione:

x = (3y + 6)/6

Può servirti: algebrico

E puoi sostituire immediatamente la prima equazione, che diventa quindi un'equazione di prima grado con "y" sconosciuto:

8 [(3y + 6)/6] - 5 = 7y - 9

Il denominatore può essere soppresso se ogni termine viene moltiplicato per 6:

6 . 8⋅ [(3y + 6)/6] - 6.5 = 6 .7y- 6 . 9

8⋅ (3y + 6) - 30 = 42y - 54

Applicazione di proprietà distributiva nel primo termine a diritto all'uguaglianza:

24y + 48 -30 = 42y - 54 ⇒ 24y + 18 = 42y - 54

L'equazione può essere semplificata, poiché tutti i coefficienti sono multipli di 6:

4y + 3 = 7y - 9

-3y = -12

y = 4

Con questo risultato andiamo al gioco di x:

x = (3y +6)/6 → x = (12 +6)/6 = 3

- Esercizio 2

Risolvi la seguente equazione:

Soluzione

In questa equazione, compaiono i prodotti e seguendo le istruzioni fornite all'inizio, devono essere sviluppati per primi:

3x - 10x +14 = 5x + 36x + 12

Quindi tutti i termini contenenti le incognite vengono trasportati sul lato sinistro dell'uguaglianza e sul lato destro i termini indipendenti saranno:

3x - 10x - 5x - 36x = 12 - 14

-48x = -2

x = 1/24

- Esercizio 3

Aggiungendo i tre angoli interni di un triangolo, si ottiene 180º. Il più grande supera il bambino a 35º e questo a sua volta supera a 20º la differenza tra il più grande e il mezzo. Quali sono gli angoli?

Soluzione

Chiameremo "X" all'angolazione maggiore, "y" al mezzo e "z" al bambino. Quando la dichiarazione afferma che la loro somma è 180º puoi scrivere:

x + y + z = 180

Quindi sappiamo che il più vecchio supera il bambino a 35º, possiamo scrivere questo:

X = z + 35

Infine, il bambino supera in 20 º per la differenza tra il più grande e il mezzo:

Z = x - y + 20

Abbiamo un sistema di 3 equazioni e 3 incognite:

x + y + z = 180

X = z + 35

Z = x - y + 20

Cancellando la prima equazione, hai:

Z = 180 - x - y

Abbinando il terzo:

180 - x - y = x - y + 20

Passando le incognite sul lato sinistro come sempre:

-x - y - x + y = 20 - 180

La "Y" viene annullata e rimane:

-2x = - 160

X = 80º

La seconda equazione è il valore di z:

Z = x - 35 = 80 - 35 = 45º

E il valore di ed è del primo o del terzo:

y = 180 - x - z = 180 - 80 - 45 = 55º

Riferimenti

1. Baldor. 1977. Algebra elementare. Edizioni culturali venezuelane.
2. Monterey Institute. Equazioni, disuguaglianze e valore assoluto. Recuperato da: Montereyinstitute.org.
3. Insegnante online. Classificazione di equazioni lineari o di primo grado. Recuperato da: professore in linea.Cl.
4. Hoffman, J. Selezione di problemi di matematica. Volume 2.
5. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
6. Zill, d. 1984. Algebra e trigonometria. McGraw Hill.