Equazione generale della parabola (esempi ed esercizi)

IL Equazione generale parabola contiene termini quadratici in X e in E, così come termini lineari in entrambe le variabili più un termine indipendente. Il primo asse di simmetria è parallelo all'asse verticale e quello del secondo è l'asse orizzontale.

In generale, l'equazione quadratica che manca del termine incrociato XY È scritto come:

Ascia² + Cy² +Dx + ey + f = 0

I valori di A, C, D, E e F sono numeri reali. Imponando le condizioni a ∙ C = 0 e A+C ≠ 0, la curva che deriva dal graficamente i punti che soddisfano questa equazione è una parabola.

Caso 1

Per una parabola verticale, la sua equazione generale è:

Ascia² + Dx + ey + f = 0

Dove a ed e sono diversi da 0. In altre parole, quando un termine appare con x², La parabola è verticale.

Caso 2

Da parte sua, per la parabola orizzontale che hai:

Cy² + Dx + ey + f = 0

Qui C e D sono anche diversi da 0, quindi il termine quadratico corrisponde a e².

In ogni caso, l'equazione generale della parabola è quadratica in una delle variabili e lineare nell'altra.

Elementi paraboli

figura 2. Elementi paraboli. Le distanze QF e QH sono uguali. Fonte: Wikimedia Commons.

La parabola, definita come un luogo geometrico, è costituita dall'insieme di punti di un piano che equivalgono da un altro punto chiamato messa a fuoco E anche di una linea, noto come Linee guida dirette.

Dall'equazione generale, è possibile studiare la parabola specificando i suoi elementi. Tra cui l'attenzione e le linee guida, questi elementi, descritti brevemente sono:

-Asse, che si riferisce all'asse di simmetria della parabola, può essere orizzontale (parallelo all'asse dell'ascissa) o verticale (parallelo all'asse degli ordinati).

Può servirti: fattore comune per il raggruppamento di termini: esempi, esercizi

-Orientamento, che a sua volta corrisponde all'orientamento dell'asse. La parabola è verticale se il suo asse di simmetria è verticale ed è orizzontale anche quando l'asse è.

-Vertice, È il punto in cui l'asse interseca la parabola.

-Messa a fuoco, punto situato sull'asse, all'interno della parabola e a una distanza P del vertice. Tutti i punti della parabola equidista la concentrazione e la direzione della linea guida.

-Parametro, È la distanza P Tra la messa a fuoco e il vertice.

-Linee guida dirette, che è perpendicolare all'asse y e anche una distanza P del vertice della parabola, ma non lo interseca, poiché è all'esterno.

-Lato dritto, È la corda che passa attraverso la messa a fuoco, intersecando la parabola in due punti, perpendicolare al suo asse.

-Eccentricità, che nel caso della parabola vale sempre 1.

-Rappresentazione grafica.

Informazioni per determinare tutti questi elementi sono contenuti nell'equazione generale.

La forma canonica

Per determinare gli elementi della parabola, a volte è conveniente passare la forma generale alla forma canonica della stessa.

Questa forma canonica è:

(X-H)² = 4p (y-k)

Dove il punto (h, k) è il vertice v della parabola. La forma canonica all'equazione generale può anche diventare, sviluppando il prodotto notevole e riorganizzando i termini.

Esempi

Esempio 1

Di seguito sono riportate le equazioni di Parabola in generale:

a) 4x² + 5y - 3 = 0

b) 1 - 2y + 3x -and² = 0

In a) I coefficienti sono identificati: a = 4, c = 0, d = 0, e = 5, f = -3. È una parabola il cui asse di simmetria è verticale.

Può servirti: divisione sintetica

Da parte sua, in b) l'equazione generale rimane:

- E² + 3x - 2y + 1 = 0

E i coefficienti sono: c = -1, d = 3, e = -2 e f = 1.

Esempio 2

La prossima parabola è in forma canonica:

(Y-1)² = 6 (X-3)

Per trovare la sua equazione generale, viene sviluppato il prodotto notevole e la parentesi viene effettuata a destra:

E² -2y + 1 = 6x -18

Ora tutti i termini a sinistra sono passati e sono raggruppati comodamente:

E² -2y + 1- 6x +18 = 0 → e² - 6x -2y + 19 = 0

Come è il termine quadratico e² È una parabola orizzontale. I coefficienti sono:

C = 1; D = -6; E = -2, f = 19.

Esercizi risolti

Esercizio 1

La prossima parabola è data in generale:

X² -10x -12y - 11 = 0

Viene chiesto di scriverlo in forma canonica.

Soluzione

Andare alla forma canonica si ottiene completando i quadrati, in questo caso, in variabile x. I termini in x iniziano tra parentesi:

(X² -10x) -12y - 11 = 0

Devi trasformare ciò che è tra parentesi in un trinomiale quadrato perfetto, che si ottiene aggiungendo 5², che naturalmente deve essere sottratto, perché altrimenti l'espressione è alterata. Rimane così:

(X² −10x+5²) −12y - 11−5²= 0

I tre termini tra parentesi costituiscono il trinomio quadrato perfetto (X-5)². Può essere controllato sviluppando questo notevole prodotto per corroborare. Ora la parabola rimane:

(X-5)² -12y -36 = 0

Ciò che segue è tener conto dei termini al di fuori della parentesi:

(X-5)² -12 (y +3) = 0

Che finalmente si trasforma in:

(X-5)² = 12 (y +3)

Esempio 2

Trova gli elementi della parabola precedente e crea la tua grafica.

Soluzione

Vertice

Il vertice della parabola ha coordinate V (5, -3)

Può servirti: prisma epagonale

Asse

La riga x = 5.

Parametro

Per quanto riguarda il valore dei parametri P che appare nella forma canonica: (X-H)² = 4p (Y-K) sta confrontando entrambe le equazioni:

4p = 12

P = 12/4 = 3

Orientamento

Questa parabola è verticale e si apre. Poiché il vertice si trova su x = 5, y = -3, quindi l'asse di simmetria è la linea verticale x = 5.

Messa a fuoco

L'attenzione è focalizzata sulla linea x = 5, quindi ha anche una coordinata x = 5.

La coordinata E della messa a fuoco deve essere unità p sopra k, cioè: p + k = 3 + (-3) = 0, quindi il focus è al punto (5.0).

Linee guida dirette

È perpendicolare all'asse, quindi è della forma y = c, ora, poiché una distanza p dal vertice è lontana, ma al di fuori della parabola, significa che è a una distanza p sotto K:

y = k -p = -3-3 = -6

Lato dritto

Questo segmento taglia alla parabola, passa attraverso la messa a fuoco ed è parallelo alla linea guida, quindi è contenuto nella linea y = 0.

Rappresentazione grafica

Può essere facilmente ottenuto dal software grafico online gratuito, come la geogebra. Nella casella di ingresso è posizionato come segue:

Figura 3. Grafico della parabola x² -10x -12y - 11 = 0. Fonte: f. Zapata.

Riferimenti

1. Baldor. 1977. Algebra elementare. Edizioni culturali venezuelane.
2. Hoffman, J. Selezione di problemi di matematica. Volume 2.
3. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
4. Stewart, J. 2006. Prececculment: matematica per il calcolo. 5 °. Edizione. Apprendimento del Cengage.
5. Zill, d. 1984. Algebra e trigonometria. McGraw Hill.