Divisione sintetica

Spieghiamo cos'è la divisione sintetica, un metodo per farlo, esempi ed esercizi risolti.

Cos'è la divisione sintetica?

IL Divisione sintetica È un modo semplice per dividere un p (x) polinomio per una delle forme d (x) = x - c - c. Ad esempio, polinomiale p (x) = (x⁵+3x⁴-7x³+2x²-8x+1) Può essere rappresentato come la moltiplicazione dei due polinomi più semplici (x+1) e (x⁴ + 2x³).

È uno strumento molto utile, poiché, oltre a permetterci di dividere i polinomi, consente anche di valutare un polinomio P (x) in qualsiasi numero C, che a sua volta ci indica precisamente se quel numero è zero o meno del polinomio.

Grazie all'algoritmo di divisione, sappiamo che se abbiamo due p (x) e d (x) polinomio (x) + r (x), dove r (x) è zero o è inferiore a q (x). Questi polinomi sono noti rispettivamente come quoziente e residui o riposo.

Nelle occasioni in cui il polinomio d (x) è della forma x - c, la divisione sintetica ci dà un breve modo per trovare chi sono Q (x) e r (x).

Metodo della divisione sintetica

Sia p (x) = a_NX^N+A_N-1X^N-1+… +A₁x+a₀ Il polinomio vogliamo dividere e d (x) = x-c il divisore. Per dividere con il metodo della divisione sintetica procediamo come segue:

1- Scriviamo i coefficienti di p (x) nella prima riga. Se non viene visualizzata una potenza X, posizioniamo zero come coefficiente.

2- Nella seconda riga, a sinistra di a_N Posizioniamo C e disegniamo le linee di divisione, come mostrato nella figura seguente:

3- abbassiamo il coefficiente principale alla terza riga.

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In questa espressione b_N-1= a_N

4- Moltiplichiamo C per il coefficiente principale B_N-1 E scriviamo il risultato nella seconda riga, ma una colonna a destra.

5- Aggiungiamo la colonna in cui scriviamo il risultato precedente e il risultato è posto in detta somma. Cioè, nella stessa colonna, terza riga.

Aggiungendo, abbiamo di conseguenza_N-1+c*b_N-1, a cui per comfort chiameremo b_N-2

6- Moltiplichiamo C per il risultato precedente e scriviamo il risultato alla tua destra nella seconda riga.

7- Ripetiamo il passaggio 5 e 6 fino a raggiungere il coefficiente₀.

8- Scriviamo la risposta, cioè il quoziente e il residuo. Mentre stiamo facendo la divisione di un polinomio di grado N tra un polinomio di grado 1, abbiamo che il quoziente sarebbe di grado N-1.

I coefficienti del polinomio del quoziente saranno il numero della terza fila, tranne l'ultimo, che sarà il polinomio residuo o il resto della divisione.

Esercizi risolti

Esempio 1

Crea la seguente divisione con il metodo della divisione sintetica:

(X⁵+3x⁴-7x³+2x²-8x+1): (x+1).

Soluzione

Per prima cosa scriviamo i coefficienti di dividendi come segue:

Quindi scriviamo C sul lato sinistro, nella seconda riga, insieme alle linee di divisione. In questo esempio c = -1.

Abbassiamo il coefficiente principale (in questo caso b_N-1 = 1) e lo moltiplichiamo per -1:

Abbiamo scritto il suo risultato a destra nella seconda riga, come mostrato di seguito:

Aggiungiamo i numeri della seconda colonna:

Moltiplichiamo 2 per -1 e scriviamo il risultato nella terza colonna, seconda riga:

Aggiungiamo nella terza colonna:

Procediamo analogamente fino a raggiungere l'ultima colonna:

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Pertanto, abbiamo che l'ultimo numero ottenuto è il resto della divisione e i numeri rimanenti sono i coefficienti del polinomio del quoziente. Questo è scritto come segue:

Se vogliamo verificare che il risultato sia corretto, è sufficiente verificare che la seguente equazione sia soddisfatta:

P (x) = q (x)*d (x) + r (x)

Quindi possiamo verificare che il risultato ottenuto sia corretto.

Esempio 2

Eseguire la seguente divisione polinomiale con il metodo della divisione sintetica:

(7x³-x+2): (x+2)

Soluzione

In questo caso abbiamo quel termine x² Non appare, quindi scriveremo su 0 come coefficiente. Pertanto, il polinomio rimarrebbe come 7x³+0x²-x+2.

Scriviamo i tuoi coefficienti di fila, cioè:

Scriviamo il valore di C = -2 sul lato sinistro nella seconda riga e disegniamo le linee di divisione.

Abbassiamo il coefficiente principale B_N-1 = 7 e lo moltiplichiamo per -2, scrivendo il suo risultato nella seconda riga a destra.

Aggiungiamo e procediamo, come precedentemente spiegato, fino a raggiungere l'ultimo termine:

In questo caso, il resto è r (x) = -52 e il quoziente ottenuto è q (x) = 7x²-14x+27.

Esempio 3

Un altro modo per usare la divisione sintetica è il seguente.

Per l'algoritmo di divisione, possiamo scrivere il polinomio P (x) come segue:

In questa espressione, Q (x) e R (x) sono rispettivamente il quoziente e il resto. Ora, se D (x) = X-C, quando si valuta in C nel polinomio troviamo quanto segue:

Questo è il motivo per cui resta solo trovare r (x) e possiamo farlo grazie alla divisione sintetica.

Ad esempio, abbiamo P (x) = x) = x⁷-9x⁶+19x⁵+12x⁴-3x³+19x²-37x-37 e vogliamo sapere qual è il suo valore quando lo valuta a x = 5. Per questo eseguiamo la divisione tra p (x) e d (x) = x -5 con il metodo della divisione sintetica:

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Una volta che le operazioni sono state eseguite, sappiamo che possiamo scrivere p (x) come segue:

P (x) = (x⁶-4x⁵ -X⁴+ 7x³ +32x² +179x + 858)*(X-5) + 4253

Pertanto, quando lo valuta dobbiamo:

P (5) = (5-4 (5) -5 +7 (5) +32 (5) +179 (5) +858)*(5-5) +4253

P (5) = (5-4 (5) -5 +7 (5) +32 (5) +179 (5) +858)*(0) +4253

P (5) = 0 + 4253 = 4253

Come possiamo vedere, è possibile utilizzare la divisione sintetica per trovare il valore di un polinomio quando lo valuta in c anziché semplicemente sostituire c con x. 

Se proviamo a valutare P (5) in modo tradizionale, avremmo bisogno di alcuni calcoli che di solito diventano noiosi.

Esempio 4

L'algoritmo di divisione per i polinomi è anche soddisfatto per i polinomi con coefficienti complessi e, di conseguenza, abbiamo che il metodo della divisione sintetica funziona anche per questi polinomi. Successivamente, vedremo un esempio.

Useremo il metodo della divisione sintetica per mostrare che z = 1+ 2i è uno zero del polinomiale p (x) = x³+ (1+i) x² -(1+2i) x+(15+5i). Cioè, il residuo della divisione p (x) tra d (x) = x - z è uguale a zero.

Procediamo come prima: nella prima riga scriviamo i coefficienti di p (x), quindi nel secondo scriviamo Z e disegniamo le linee di divisione.

Facciamo la divisione come prima, cioè:

Possiamo vedere che il residuo è zero; Pertanto, concludiamo che z = 1+ 2i è uno zero di p (x).

Riferimenti

1. Baldor, Aurelio. Algebra. Gruppo editoriale di Patria.
2. DeMana, Waits, Foley e Kennedy. Precáculo: grafico, numerico, algebrico. Pearson Education.