Distribuzioni discrete

Tabella di una distribuzione discreta di probabilità. Fonte: f. Zapata

Cos'è una distribuzione discreta?

UN distribuzione discreta di probabilità è una funzione f (x_Yo) che assegna a ciascun valore di una variabile discreta: x₁, X₂, X₃,... X_Yo, una certa occorrenza di occorrenza p (x = x_Yo). Questa funzione è anche nota come "funzione di massa di probabilità".

La distribuzione di probabilità discreta può essere fornita sotto forma di una tabella o grafica. Una tabella ha questa forma generale, in cui la variabile appare in una colonna e nella sua rispettiva probabilità nell'altra:

Le funzioni di massa di probabilità condividono le seguenti caratteristiche generali:

• La probabilità p_Yo di qualsiasi evento x_Yo È tra 0 e 1, essendo anche alcuni di questi valori limite: 0 ≤ x ≤ 1.
• P (x = x_Yo) = p_Yo Basta prendere valori positivi, quindi: p (x = x_Yo) ≥ 0.
• È vero che ∑ p (x_Yo) = 1 per tutti i possibili valori di x.

Una distribuzione di probabilità descrive il comportamento di una popolazione, descritta dai suoi parametri: la media μ, la varianza σ² e la deviazione standard s = σ σ².

Successivamente, le distribuzioni discrete più notevoli vengono brevemente descritte:

Distribuzione uniforme

È la distribuzione discreta più semplice di tutti. In esso la variabile può prendere valori "n" discreti: x₁, X₂, X₃,... X_Yo, Tutto con la stessa probablaity. In questo caso, la distribuzione è data da:

Distribuzione binomiale

Si applica alle esperienze con solo due risultati possibili e reciprocamente esclusivi, che di solito sono chiamati "successo" e "fallimento", indicato rispettivamente come E e F. Il fatto che un evento sia chiamato "successo" non significa necessariamente che sia una buona cosa, è piuttosto una designazione arbitraria.

La probabilità di successo p (e) nelle prove “n”, è indicata come p e quella del fallimento p (f) come q = 1 - p.

Se "x" rappresenta un certo numero di successi nelle prove "N" indipendenti, è vero che: 0 ≤ x ≤ n. E la probabilità di occorrenza p (x) dell'evento viene calcolata attraverso la seguente formula:

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Dove x = 0, 1, 2, 3 ..., n e il simbolo (!) significa "fattoriale":

X! = x ∙ (x - 1) ∙ (x - 2) ∙ (x - 3)… 1

0! = 1

Distribuzione di Poisson

In questa distribuzione, la variabile casuale X indica quante volte si verifica un evento in un intervallo, che può essere di tempo, distanza o altro. Le occorrenze dell'evento sono casuali, indipendenti e sono distribuite uniformemente durante l'intervallo in questione.

Una volta che queste condizioni, la probabilità, che dipende dalla media delle occorrenze μ e dal numero di eulero o numero "E", sono calcolate da:

Le possibilità di eventi con questa distribuzione sono piccole, quindi è chiamata "Legge dei rari casi".

Approccio di distribuzione binomiale

La distribuzione di Poisson funge da approccio alla distribuzione binomiale quando n è grande (n≥ 100) e p è piccolo (NP ≤ 10). In questo caso, il μ medio viene calcolato come:

μ = n ∙ P

Distribuzione ipergeometrica

Viene utilizzato quando le probabilità non sono indipendenti, cioè dopo aver eseguito l'esperimento, le condizioni non sono di nuovo le stesse. Questo è ciò che accade quando si estraggono campioni senza sostituzione da una popolazione, quindi la distribuzione binomiale non può più essere utilizzata.

Se la popolazione è costituita da due tipi di oggetti diversi da e B, e su oggetti casuali e senza sostituzione, la probabilità di ottenere oggetti X di tipo A sono:

Dove a e b sono le rispettive quantità di oggetti di ciascun tipo, presenti nella popolazione.

Tuttavia, se la popolazione è molto grande, anche se non vi è alcuna sostituzione, è difficile selezionare lo stesso elemento più di una volta, quindi entrambe le distribuzioni: binomiale e ipergeometrica, producono risultati simili.

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Esempi

Monete lancia

I co -launches sono esempi molto illustrativi:

-Il lancio di una valuta onesta e prendi una faccia. È noto che 1 faccia ha una probabilità e ½ di andarsene e la croce (0 faccia), lo stesso. La distribuzione è mostrata in questa tabella:

Tabella di distribuzione di probabilità discreta che segue il lancio di 1 valuta onesta. Fonte: f. Zapata

-Il colpo simultaneo di due monete oneste e possibili numeri di volti che possono essere ottenuti.

Tabella di distribuzione di probabilità discreta che segue il lancio di due valute oneste, al fine di ottenere qualsiasi volto o no. Fonte: f. Zapata

Variabili con distribuzione uniforme

-La selezione di un numero intero che è uniforme o dispari: ognuno è probabilità pari a ½ di essere scelto all'interno dell'insieme di numeri interi.

-Il lancio di un dado onesto. In questo caso ci sono 6 facce numerate e ognuna ha la stessa probabilità di lasciare: 1/6.

-La selezione di un argomento da sostenere un esame, scelto tra n problemi, se tutti sono ugualmente probabili.

Variabili con distribuzione binomiale

-Numero di volti che escono lanciando una moneta onesta.

-Di una popolazione di 250 famiglie, il numero di questi che hanno 2 figli.

-La quantità di palissandro che sopravvivono, dopo un giardiniere 20 Rosales in un giardino.

-Di uno studio con 50 pazienti, il numero di essi che presentava una reazione negativa a un farmaco.

-Il numero di studenti approvati in un esame di probabilità, di un gruppo composto da 100 studenti.

Variabili con distribuzione di Poisson

-Numero di chiamate al minuto a Call center Di un'azienda.

-Numero di grandi terremoti all'anno per una specifica area geografica.

-Il numero di tornado che hanno colpito una determinata regione durante l'ultimo anno.

-Numero di alberi infetti da un fungo, per ettaro quadrato della foresta.

Variabili con distribuzione ipergeometrica

-Successi di numeri o combinazioni vincenti nel gioco d'azzardo.

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-Selezione di un certo numero di femmine o maschi in un campione di n pesce di un fishbowl.

Esercizi risolti

Esercizio 1

Uno studio ha determinato che da adulti selezionati casualmente che hanno smartphone, il 54% di loro li usa in classe o riunioni. Vuoi trovare la probabilità che, selezionando casualmente 8 persone con smartphone, esattamente 6 di loro usano in classe o riunioni.

Soluzione

Questo esperimento è d'accordo con un esperimento binomiale, poiché il risultato è binario: una persona prende il telefono in classe o non lo toglie. Il fatto che la persona usi il telefono in classe può essere chiamato successo e un fallimento in caso contrario (prima che fosse spiegato che questa scelta è completamente arbitraria).

In quel caso: p = 0.54 e Q = 1- 0.54 = 0.46.

Poiché 8 persone sono selezionate in modo casuale, quindi n = 8 e il valore di X è 6, pertanto, i valori necessari sono disponibili per sostituirle nella formula di distribuzione binomiale:

Esercizio 2

Per un anno recente, una clinica ha registrato 4221 nascite. Con questi dati unici, determina la probabilità che ci siano 15 nascite in 1 giorno. Questo evento è raro?

Soluzione

Viene utilizzato la distribuzione di Poisson, in quanto è richiesto per determinare la probabilità di verificarsi di un evento che si verifica in un intervallo di tempo. In questo caso, la variabile è la quantità di nascite e l'intervallo è di 1 giorno.

La formula di distribuzione di Poisson ha bisogno della nascita media al giorno, che è facilmente calcolata:

Pertanto, la probabilità di x = 15 nascite/giorno è:

Il risultato può essere espresso in termini di percentuale per chiarezza: 6.42% probabile che, in ogni giorno, si verificano esattamente 15 nascite. L'evento è improbabile, sebbene in nessun caso impossibile.