Cultura generale e società

Distribuzione esponenziale

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Ruth Cattaneo

Spieghiamo cosa è la distribuzione esponenziale, le sue caratteristiche, le formule, gli esempi e mettono esercizi risolti

Grafico della funzione di densità della distribuzione esponenziale, per tre valori del parametro Lambda. Fonte: Wikimedia Commons.

Cos'è la distribuzione esponenziale?

IL distribuzione esponenziale È un modello probabilistico per le variabili casuali continue. Ciò significa che, attraverso di esso, puoi conoscere la probabilità di verificarsi di un certo valore della variabile, quindi è una distribuzione di probabilità.

Per ottenere la distribuzione, inizia da a funzione di densità, che ha una forma esponenziale del parametro λ> 0:

$f(x)=\begincases \lambda e^-\lambda x& \text si x>0 \\ 0 & \ testo Sì X \ leq 0 \ End Cases$

La funzione di densità in quanto tale non consente di calcolare la probabilità, ma una volta stabilita F (x), la funzione di distribuzione f (x), mediante la quale si ottengono le probabilità, è ottenuta mediante integrazione di f (x). Ad esempio, la probabilità P che la variabile casuale prenda valori tra 0 e x è:

$F(x)=P[x\leq x]=\int_0^xf(x)dx$

L'esecuzione dell'integrazione, che è molto semplice, poiché l'integrale di un esponenziale è lo stesso esponenziale, ad eccezione delle costanti che accompagnano l'argomento, si ottiene:

$F(x)=\int_0^x\lambda e^-\lambda xdx=\lambda \left (-\frac1\lambda \right )\left [ e^-\lambda x \right ]_0^x=-\left (e^-\lambda x-e^0 \right )=1-e^-\lambda x$

La distribuzione esponenziale è ampiamente utilizzata per determinare la probabilità di un evento dopo un determinato tempo di attesa, come il tempo che si svolge nell'emergere di un ospedale prima che arrivi un paziente.

Spesso, gli eventi si riferiscono al fallimento o alla rottura di tipi elettrici, elettronici e di altro tipo. In questo caso, la distribuzione esponenziale aiuta a stimare il tempo impiegato per fallire un componente, e anche il tempo tra le riparazioni. Questo è noto come teoria dell'affidabilità.

Caratteristiche della distribuzione esponenziale

Alcune delle caratteristiche più eccezionali della funzione di densità f (x) della distribuzione esponenziale sono le seguenti:

f (x) è positivo.
L'area sotto la curva y = f (x) = λe^−λ^X È sempre uguale a 1, perché la somma delle probabilità di occorrenza di tutti i valori della variabile deve essere 1. Questa è una condizione che le funzioni di densità soddisfano. Quest'area è calcolata attraverso l'integrale:

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$\int_-\infty ^\infty f(x)dx=\int_-\infty ^\infty \lambda e^-\lambda xdx=1$

Mancanza di memoria di distribuzione esponenziale

La caratteristica più eccezionale della distribuzione esponenziale è la sua mancanza di memoria. Ad esempio, supponiamo che il tempo trascorso stia modellando con questa distribuzione fino a quando non si verifica un elemento.

Bene, la mancanza di memoria si riferisce a sapere che l'elemento ha funzionato per un tempo di sopravvivenza "S", non modifica la probabilità che l'elemento continui a correre fino a un certo periodo di tempo aggiuntivo "T".

Cioè, la probabilità che l'elemento fallisca da qui a un determinato tempo (1 minuto, 1 ora, ad esempio) non dipende dall'impulso di aver funzionato bene finora.

Matematicamente viene calcolato per definizione di probabilità di eventi indipendenti:

$P[x\geq s+t/x\geq s]=\fracP[x\geq s+t]P[x\geq s]=\frac1-F(s+t)1-F(s)=\frac1- [1-e^-\lambda (s+t) ]1- [1-e^-\lambda s ]= \beginmatrix \\ \endmatrix$

$=e^-\lambda t$

Pertanto, la probabilità non dipende dal tempo di sopravvivenza.

Formule

1.- La funzione di densità della distribuzione esponenziale è:

$f(x)=\begincases \lambda e^-\lambda x& \text si x>0 \\ 0 & \ testo Sì X \ leq 0 \ End Cases$

Dove λ è il parametro di distribuzione.

2.- Come descritto sopra, la distribuzione delle probabilità stessa è indicata come f (x) e le diverse probabilità sono ottenute dall'integrazione della funzione di densità:

$F(x)=\begincases 0 & \text si x\leq 0 \\ 1-e^-\lambda x& \text si x>0 \ End Cases$

3.- Da quanto sopra segue che la probabilità che la variabile prenda valori inferiori o uguali a "x" è p [x≤x] = 1 −e^−λ^X.

4.- L'area sotto la curva y = f (x), inclusa tra A e B, consente di calcolare la probabilità che la variabile sia nell'intervallo [A, B]. Questa zona è:

P [a ≤ x ≤ b] = f (b) - f (a)

5.- Il valore di p [x ≥ a] è 1 - f (a) = 1 - (1 - e^−λ^X) = e^−λ^X

Valore previsto della distribuzione esponenziale

La speranza o il valore atteso E (x) della distribuzione esponenziale è il valore che dovrebbe avvenire più frequentemente. È calcolato dall'integrale:

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$E(x)=\int_0^\infty xf(x)dx$ Che è facilmente risolto dal metodo di integrazione per parti. Il risultato è:

E (x) = 1/λ

Varianza della distribuzione esponenziale

Per il calcolo della varianza, l'integrale deve essere determinato:

$Var(x)=\int_0^\infty x^2f(x)dx$

Che è anche risolto con il metodo di integrazione per parti, per ottenere:

Var (x) = 1/λ²

Una particolarità della distribuzione esponenziale è che la deviazione standard S (x), definita come la radice quadrata della varianza è:

S (x) = √Var (x) = √ (1/λ²) = 1/λ

Cioè, la deviazione standard è uguale alla speranza della distribuzione.

Esempi di distribuzione esponenziale

Datation di campioni di carbonio 14

La distribuzione esponenziale viene utilizzata per determinare il tempo necessario per disintegrare una particella radioattiva. Questi tempi sono usati per uscire con campioni fossili per radiocarbonio.

Tempo necessario per controllare la posta

Puoi modellare il tempo che gli utenti impiegano per rivedere la loro e -mail, una volta che la notifica è stata ricevuta, attraverso una distribuzione esponenziale. Supponiamo che il parametro di distribuzione sia λ = 0.2, quindi, la probabilità che una persona impieghi meno di 1 minuto per rivedere la sua e -mail è:

$P[x\leq 1]=\int_0^1f(x)dx=\int_0^10.2e^-0.2xdx$

Questo integrale è stato risolto all'inizio, rimane solo per sostituire i valori numerici nella soluzione e calcolare il risultato finale:

P [x ≤ 1] = 1 --E^-^0.2^×¹ = 1− e^-^0.2 = 1− 0.819 = 0.181

Può anche essere sostituito direttamente sulla funzione f (x) sopra indicata, per ottenere f (1).

Esercizi

Esercizio 1

Trova la probabilità che una persona successivamente un'ora riveda la propria e -mail, se la distribuzione della probabilità è esponenziale, con il parametro λ = 0.2.

Soluzione

P [x ≥ 60] deve essere calcolato, poiché 1 ora è equivalente a 60 minuti e la probabilità che la persona in ritardo di 60 minuti o più per verificare la posta sia richiesta. La probabilità viene calcolata con lo stesso integrale presentato all'inizio, modificando solo i limiti di integrazione:

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$P[x\geq 60]=\int_60^\infty 0.2e^-0.2xdx=-\left ( -e^-0.2\times 60 \right )=0.000006144$

Il valore ottenuto è piccolo, quindi è molto improbabile che una persona impieghi più di un'ora per rivedere la propria e -mail.

Esercizio 2

Le lampadine elettriche di solito hanno una durata finita, tranne la famosa lampadina della stazione dei pompieri a Livermore, in California, che non è mai fallita da quando era accesa per la prima volta, nel 1901.

Supponiamo che la durata di un bulbo corrente segua una distribuzione esponenziale, con un valore atteso di 8 mesi. Calcolare:

a) Qual è la probabilità che la lampadina duri tra 5 e 14 mesi?

b) la probabilità che la lampadina duri più di 25 mesi, sapendo che ha più di 11 mesi in funzione.

Soluzione a

La prima cosa è trovare il valore di λ, attraverso il valore atteso della distribuzione E (x) = 8 mesi. Secondo ciò che è stato detto nella sezione precedente, il valore atteso è l'inverso del parametro λ, quindi:

E (x) = 1 /λ → λ = 1 /e (x) = 1/8 = 0.125

Quindi la probabilità richiesta viene calcolata, mediante l'integrale dato all'inizio, ma modificando comodamente i limiti di integrazione:

Quindi viene sostituito nella funzione F (x) indicata nella sezione precedente, come segue:

P [5 ≤ x ≤ 14] = f (14) - f (5) = [1 - E^{-(0.125 × 14)}] - [1 - e^{-(0.125 × 5)}] = 0.36

Soluzione b

Per rispondere a questo problema, verrà utilizzata la proprietà della mancanza di memoria, enunciata sopra. Come è noto che è già durato più di 11 mesi, quindi:

S = 11 mesi

Il tempo aggiuntivo per durare 25 mesi o più è:

T = 14 mesi

P [x ≥ s + t│t ≥ s] = p [x ≥ 11 + 14│t ≥ 11] = E^{−0.125 × 14}= 0.174