Concetto di distanza euclida, formula, calcolo, esempio

IL Distanza euclida È un numero positivo che indica la separazione che due punti hanno in uno spazio in cui sono soddisfatti gli assiomi e i teoremi della geometria dell'euclide.

La distanza tra due punti A e B di uno spazio euclido è la lunghezza del vettore Ab Appartenente all'unica linea che attraversa questi punti.

Figura 1 . Spazio euclideo unidimensionale formato dalla linea (OX). Vengono mostrati diversi punti su questo spazio, le loro coordinate e le loro distanze. (Preparato da Ricardo Pérez).

Lo spazio che percepiamo e dove spostiamo gli esseri umani è uno spazio tridimensionale (3-D), in cui gli assiomi e i teoremi della geometria dell'euclide sono soddisfatti. In questo spazio ci sono sottospazi a due dimensioni (piani) e sottospazi (dritti) (dritti) (dritti).

Gli spazi euclidea possono essere di una dimensione (1-D), due dimensioni (2-D), tre dimensioni (3-D) o N Dimensioni (N-D).

Questi sono punti nello spazio monodimensionale x che appartengono alla linea orientata (OX), la direzione da o a x è l'indirizzo positivo. Per individuare i punti su questa linea, viene utilizzato il sistema cartesiano che consiste nell'assegnare ciascun punto della linea.

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Formula

La distanza euclida d (a, b) è definita tra i punti A e B, situati su una linea, come la radice quadrata del quadrato delle differenze delle sue coordinate X:

D (a, b) = √ ((xb - xa)^2)

Questa definizione garantisce che: la distanza tra due punti è sempre un importo positivo. E che la distanza tra A e B è uguale alla distanza tra B e A.

La Figura 1 mostra lo spazio euclido unidimensionale formato dalla linea (bue) e diversi punti su quella linea. Ogni punto ha una coordinata:

Il punto A ha coordinate xa = 2.5, la coordinata B xb = 4 e la coordinata del punto C xc = -2.5

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D (a, b) = √ ((4 - 2.5) 2) = 1.5

D (b, a) = √ ((2.5 - 4) 2) = 1.5

D (a, c) = √ ((-2.5 - 2.5) 2) = 5.0

Distanza euclida in due dimensioni

Lo spazio dell'euclide bidimensionale è un piano. I punti di un piano euclido incontrano gli assiomi della geometria euclide, ad esempio:

- Su due punti passa una singola riga. 

- Tre punti sul piano formano un triangolo i cui angoli interni aggiungono sempre 180º.

- In un triangolo rettangolo il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati delle gambe.

In due dimensioni un punto ha coordinate X e Y. 

Ad esempio un punto P ha coordinate (XP, YP) ​​e un punto coordinato (XQ, YQ).

La distanza euclidea tra il punto P e Q è definita con la seguente formula:

D (p, q) = √ ((xq - xp)^2 + (yq - yp)^2)

Va notato che questa formula è equivalente al teorema di Pitagora, come mostrato nella Figura 2.

figura 2. La distanza tra due punti P e Q dell'aereo incontra il teorema di Pitagora. (Preparato da Ricardo Pérez).

Superfici nonuclidi

Non tutti gli spazi a due due dimensioni incontrano la geometria euclidea. La superficie di una sfera è uno spazio bidimensionale.

Gli angoli di un triangolo su una superficie sferica non aggiungono 180º e con questo il teorema di Pitagora non è soddisfatto, quindi una superficie sferica non soddisfa gli assiomi di euclide.

Distanza euclida in n dimensioni

Il concetto di coordinate può essere esteso a dimensioni maggiori:

- In 2-D Point P ha coordinate (XP, YP)

- In 3-D un punto che ha coordinate (XQ, YQ, ZQ)

- In 4-D Point R avrà coordinate (XR, YR, ZR, WR)

- In N-D un punto P avrà coordinate (P1, P2, P3, ..., PN)

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La distanza tra due punti P e Q di uno spazio euclido n-dimensionale viene calcolata con la seguente formula:

D (p, q) = √ ((q1 - p1)^2 +(q2 - p2)^2 +… +(qn - pn)^2)

Il luogo geometrico di tutti i punti che in uno spazio euclideo n-dimensionale che gli equidisti di un altro punto P fisso (il centro) formano un'ipersfera n-dimensionale.

Come calcolare la distanza euclida

Sotto è calcolata la distanza tra due punti situati nello spazio tridimensionale euclido.

Supponi il punto A delle coordinate cartesiane x, y, z dato da a :( 2, 3, 1) e il punto B delle coordinate b :( -3, 2, 2).

Si desidera determinare la distanza tra questi punti, per i quali viene utilizzata la relazione generale:

D (a, b) = √ ((-3 - 2) 2 + (2 - 3) 2 + (2 - 1) 2) = √ ((-5) 2 + (-1) 2 + (1) 2 )

D (a, b) = √ (25 + 1 + 1) = √ (27) = √ (9 *3) = 3 √ (3) = 5.196

Esempio

Ci sono due punti P e Q.  Il punto P per le coordinate cartesiane x, y, z fornito da p :( 2, 3, 1) e il punto Q di coordinate Q :( -3, 2, 1).

È richiesto di trovare le coordinate del punto medio M del segmento [PQ] che collega i due punti. 

Soluzione:

Si presume che il punto sconosciuto M abbia coordinate (x, y, z).

Poiché m è il punto medio di [pq] deve essere soddisfatto che d (p, m) = d (q, m), quindi deve anche essere soddisfatto d (p, m)^2 = d (q, m)^ 2:

(X - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z - 1)^2 = (x - (-3))^2 + (y - 2)^2 + (z - 1)^2

Come in questo caso, il terzo termine è lo stesso nei due membri, l'espressione precedente è semplificata:

Può servirti: costante assoluto

(X - 2)^2 + (y - 3)^2 = (x + 3)^2 + (y - 2)^2 

C'è quindi un'equazione con due incognite xey. Un'altra equazione è necessaria per risolvere il problema.

Il punto M appartiene alla linea che passa attraverso i punti P e Q, che possiamo calcolare come segue:

Il primo è il vettore del regista PQ della linea: PQ = = .

Poi P.m = Operazione + A PQ, Dove Operazione È la posizione vettoriale del punto P e A È un parametro che appartiene a numeri reali. 

L'equazione precedente è nota come l'equazione vettoriale della linea, che nelle coordinate cartesiane adotta come segue:

= + a =

Uguali i componenti corrispondenti sono:

X - 2 = 2 - 5 a; E - 3 = 3 -a; Z - 1 = 0

Vale a dire che x = 4 - 5a, y = 6 - a, infine z = 1.

Viene sostituito nell'espressione quadratica che racconta da x a y:

(4 - 5a - 2)^2 + (6 - a - 3)^2 = (4 - 5a + 3)^2 + (6 - a - 2)^2

È semplificato:

(2 - 5a)^2 + (3 -a)^2 = (7 - 5a)^2 + (4 - a)^2

Ora si sviluppa:

4 + 25 a^2 - 20a + 9 + a^2 - 6a = 49 + 25 a^2 - 70a + 16 + a^2 - 8a

È semplificato, annullando termini simili in entrambi i membri:

4 - 20a + 9 - 6a = 49 - 70a + 16 - 8a

Parametro a:

52 a = 49 + 16 - 4 - 9 = 52 risultante che a = 1.

Vale a dire che x = 4 - 5, y = 6 - 1, infine z = 1.

Infine otteniamo le coordinate cartesiane del punto medio M del segmento [PQ]:

M: (-1, 5, 1).

Riferimenti

1. Lehmann c. (1972) geometria analitica. Uteha.
2. Superprof. Distanza tra due punti. Recuperato da: SuperProf.È
3. UNAM. Distanza tra varietà sublineari correlate. Recuperato da: Prometeo.Matem.UNAM.mx/
4. Wikipedia. Distanza euclida. Recuperato da: è.Wikipedia.com
5. Wikipedia. Spazio euclideo. Recuperato da: è.Wikipedia.com