Derivati ​​impliciti come vengono risolti e risolti

IL derivati ​​impliciti Sono strumenti utilizzati in una tecnica di differenziazione applicata alle funzioni. Si applicano quando non è possibile, secondo i metodi regolari, eseguire la clearance della variabile dipendente che è derivare. Questo gioco è fatto in base alla variabile indipendente.

Ad esempio, nell'espressione 3xy³ - 2y + xy² = xy, non puoi ottenere l'espressione che definisce "y" a seconda di "x". In modo che quando si può ottenere l'espressione differenziale DY/DX.

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Come vengono risolti i derivati ​​impliciti?

Per risolvere un'implicazione, si basa su un'espressione implicita. Ad esempio: 3xy³ - 2y + xy² - XY = 0. Questo è già stato chiaramente cancellato, tuttavia per farlo non è una condizione necessaria per ottenere il derivato di y riguardo a x. Quindi, ciascuno degli elementi è derivato rispetto alla regola della catena per le funzioni miste:

3xy³ È composto da 2 variabili, quindi d (3xy³) Sarà trattato come il derivato di un prodotto di funzioni.

D (3xy³)/dx = 3y³ + 3y².(3x) e '= 3y³ + 9xy² E'

Dove l'elemento e 'sono conosciuti come "e cugino"E dy/dx rappresenta

-2y deriva secondo la legge k.U = k.O'

D (-2y) = -2 e '

XY² suppone un altro differenziale composto da un prodotto di funzioni

D (XY²) = y² + 2xy e '

-XY è un modo omologa

d (-xy) = -y -x e '

Sono sostituiti nell'uguaglianza, sapendo che il derivato zero è zero.

3y³ + 9xy² e ' - 2 e' + e² + 2xy e ' - y - x e' = 0

Gli elementi che hanno il termine e 'sono raggruppati su un lato dell'uguaglianza

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3y³ + E² - y = -9xy² e ' + 2 e' + x e '

Il fattore comune e 'nel giusto membro dell'uguaglianza viene estratto

3y³ + E² - y = y '(-9xy² + x + 2)

Infine, il termine che si moltiplica e ". Ottenendo così l'espressione corrispondente alla derivata implicita di y per quanto riguarda x.

e '= dy/dx = (3y³ + E² - y)/(-9xy² + x + 2)

Regola di derivazione

Nella derivazione implicita la regola della catena è sempre rispettata. Tutte le espressioni differenziali verranno fornite a seconda della variabile indipendente x. In modo che qualsiasi variabile θ diversa da x deve includere il termine dθ/dx dopo essere stato derivato.

Questo termine apparirà solo al primo grado o con esponente uguale a 1. Questa qualità lo rende completamente chiaro con i metodi di fattorizzazione tradizionali. In modo che diventi possibile ottenere l'espressione che definisce il differenziale dθ/dx.

Nella regola della catena, viene mostrata la natura progressiva della differenziazione o del processo derivato. Dove per qualsiasi funzione composita f [g (x)], l'espressione differenziale di F dovrà essere

Ordine operativo

In ogni formula o legge di derivazione applicata, l'ordine delle variabili deve essere preso in considerazione. I criteri associati alla variabile indipendente sono rispettati, senza alterare la sua correlazione con la variabile dipendente.

Il rapporto tra la variabile dipendente al momento della derivata viene preso direttamente.; Con l'eccezione che questo sarà considerato come una seconda funzione, motivo per cui vengono applicati i criteri di regola della catena per le funzioni miste.

Questo può essere sviluppato in espressioni con più di 2 variabili. Con gli stessi principi, tutti i differenziali che si riferiscono a variabili dipendenti saranno indicati.

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Graficamente gli stessi criteri vengono gestiti che definiscono il derivato. Mentre il derivato è la pendenza della linea tangente alla curva nel piano, il resto dei differenziali appartenenti alle variabili dipendenti (dy/dx, dz/dx) rappresentano piani tangenti ai corpi vettoriali descritti dalle funzioni di variabili multiple.

Implicito di una funzione

Si dice che una funzione sia implicitamente definita, se l'espressione y = f (x) può essere rappresentata come una funzione variabile multipla f (x, y) = 0 mentre F è definita nel piano r².

3xy³ - 2y + xy² = x e può essere scritto in forma 3xy³ - 2y + xy² - XY = 0

In considerazione dell'impossibilità di spiegare la funzione y = f (x).

Storia

Il calcolo differenziale iniziò a essere nominato da vari ricercatori matematici, intorno al diciassettesimo secolo. La prima volta che è stato menzionato è stato attraverso i contributi di Newton e Leibniz. Entrambi hanno trattato il calcolo differenziale da diversi punti di vista, ma convergendo nei loro risultati.

Mentre Newton si concentrava sulla differenziazione come velocità o velocità di variazione, l'approccio Leibniz era più geometrico. Si può dire che Newton ha attaccato le congetture lasciate da Apollonio di Perge e Leibniz le idee geometriche di Fermat.

La derivazione implicita appare immediatamente quando le equazioni differenziali e complete considerano. Hanno esteso il concetto geometrico di Leibniz a R³ e anche spazi multidimensionali.

Applicazioni

I derivati ​​impliciti sono usati in varie situazioni. Sono comuni nei problemi di cambio tra variabili correlate, dove, a seconda del senso di studio, le variabili saranno considerate dipendenti o indipendenti.

Hanno anche interessanti applicazioni geometriche, come in problemi di riflessi o ombre, su figure la cui forma può essere modellata matematicamente.

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Sono di uso frequente nei settori dell'economia e dell'ingegneria, nonché in varie indagini sui fenomeni naturali e sugli edifici sperimentali.

Esercizi risolti

Esercizio 1

Definisci l'espressione implicita che definisce Dy/DX

Ogni elemento è diverso dall'espressione

Stabilire la regola della catena in ogni caso competente

Raggruppamento su un lato dell'uguaglianza gli elementi che hanno dy/dx

È il factoring usando il fattore comune

Viene cancellato ottenendo l'espressione ricercata

Esercizio 2

Definisci l'espressione implicita che definisce Dy/DX

Esprimere i derivati ​​da realizzare

Derivando implicitamente secondo la regola della catena

Factoring elementi comuni

Raggruppare il termine dy/dx su un lato dell'uguaglianza

Fattore comune all'elemento differenziale

Canciamo e otteniamo l'espressione ricercata

Riferimenti

1. Calcolo di una singola variabile. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10 novembre. 2008
2. Il teorema della funzione implicita: storia, teoria e applicazioni. Steven G. Krantz, Harold R. Parchi. Springer Science & Business Media, 9 novembre. 2012
3. Analisi multivariabile. Sable Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13 dicembre. 2010
4. Dinamica del sistema: modellazione, simulazione e controllo dei sistemi mechatronici. Dean c. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7 mar. 2012
5. Calcolo: matematica e modellazione. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R.Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1 gennaio. 1999