Coefficiente di coefficiente di Poisson, formule, valori, esempi

Lui Coefficiente di Poisson È una quantità senza dimensioni, caratteristica di ciascun materiale. È un indicativo della deformazione di un pezzo di materiale prima dell'applicazione di determinati sforzi.

Quando un pezzo materiale che subisce tensione o compressione, subisce una deformazione, il quoziente tra deformazione trasversale e deformazione longitudinale è proprio il coefficiente di Poisson.

Figura 1. Il coefficiente di Poisson misura la relazione tra allungamento longitudinale e restringimento trasversale. (Preparato da Ricardo Pérez)

Ad esempio, un cilindro di gomma che subisce una tensione alle sue estremità è allungato nella direzione longitudinale, ma è trasversalmente stretto. La Figura 1 mostra una barra le cui dimensioni originali sono: Long L e diametro D.

La barra è soggetta a una tensione a T dalle estremità e, come conseguenza di questa tensione, subisce un tratto, in modo che la nuova lunghezza sia l '> l. Ma quando si allungano, si verifica anche un restringimento del suo diametro al nuovo valore: D ' < D.

Il quoziente tra lo stretching (positivo) e il restringimento (negativo) moltiplicato per (-1) è un numero positivo tra 0 e 0,5. Questo numero è il coefficiente Poisson ν così chiamato Poisson (lettera greca).

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Formula del coefficiente di Poisson

Per calcolare il coefficiente di Poisson è necessario determinare la deformazione unitaria longitudinale e trasversale.

Deformazione unitaria longitudinale ε_L È il tratto diviso tra la lunghezza originale:

ε_L = (L ' - l) / l

Allo stesso modo, deformazione unitaria trasversale ε_T È il restringimento radiale diviso tra il diametro originale:

ε_T = (D ' - d) / d

Pertanto, il coefficiente di Poisson è calcolato dalla seguente formula:

ν = - ε_T / ε_L 

Relazione con il modulo di elasticità e il modulo di rigidità

Il coefficiente di Poisson ν è correlato al modulo E di elasticità (o giovane modulo) e con il modulo di rigidità G, dalla seguente formula:

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ν = E /(2G) - 1

Valore del coefficiente di Poisson per i materiali

figura 2. L'acciaio inossidabile ha un coefficiente di Poisson tra 0,30 e 0,31. Fonte: Pixabay.

Esempi di calcolo

Esempio 1

Una barra di un certo materiale plastico ha una lunghezza di 150 mm e una sezione circolare di 20 mm di diametro. Quando una forza di compressione di 612,25 kg-F è sottoposta a una forza di compressione, si osserva un accorciamento di 14 mm e contemporaneamente un aumento di 0,85 mm nel diametro della barra.

Calcolare:

a) Deformazione unitaria longitudinale.

b) deformazione unitaria trasversale.

c) Il coefficiente di Poisson di quel materiale.

d) il modulo di elasticità dei giovani corrispondente al materiale.

e) Il modulo di rigidità per quella plastica.

Soluzione a

Ricordiamo che la deformazione dell'unità longitudinale εl è l'allungamento diviso per la lunghezza originale:

εl = (l ' - l) / l

εl = (-14 mm) / 150 mm = -0.0933

Si noti che la deformazione unitaria longitudinale è senza dimensioni e in questo caso ha dato negativo perché c'era una diminuzione della sua dimensione longitudinale.

Soluzione b

Allo stesso modo, la deformazione trasversale unitaria εt è un restringimento radiale, diviso per il diametro originale:

εt = (d ' - d) / d

εt = (+0,85 mm) / 20 mm = 0,0425

La deformazione unitaria trasversale è stata positiva perché c'è stato un aumento del diametro della barra.

Soluzione c

Per il calcolo del coefficiente di Poisson dobbiamo ricordare che è definito come il negativo del quoziente tra deformazione trasversale e deformazione longitudinale:

ν = - εt / εl 

ν = - 0,0425 / (-0,0933) = 0,4554

Va ricordato che il coefficiente di Poisson è un numero positivo senza dimensioni e per la maggior parte dei materiali è compreso tra 0 e 0,5.

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Soluzione d

Il modulo di elasticità di Young, indicato dalla lettera E, è la costante di proporzionalità nella legge di Hooke. Attraverso E, lo sforzo normale σl è correlato alla deformazione unitaria εl, come segue:

σl = e εl 

Lo sforzo normale è definito come il quoziente tra la forza normale (in questo caso parallelo all'asse della barra) e la sezione trasversale:

σl = f / a = f / (π / 4 * d^2)

In questo esercizio, la forza F è 612,25 kg-F, che verrà fatta a newton che è l'unità di forza:

F = 612.25 kg-f = 612.25 * 9,8 n = 6000 n = 6 kN

Da parte sua, la sezione trasversale A è:

A = (π/4 * d^2) = (3,1416/4) * (20 * 10^-3 m)^2 = 3,1416 * 10^-4 m^2

Finalmente lo sforzo normale applicato al bar è:

σl = f / a = 6000 N / 3,1416 * 10^-4 m^2 = 19.098.593 PA = 19.098 MPa

Per calcolare il modulo di elasticità dei giovani chiamiamo e della legge di Hooke σl = E εl:

E = σl / εl = 19.098.593 PA / 0,0933 = 204,7 MPa

Soluzione E

Il modulo di rigidità R è correlato al modulo EG di Young e al coefficiente di Poisson ν da questa formula:

E / (2 g) = 1 + ν 

Da lì puoi cancellare G:

G = e / (2 (1 + ν)) = 204,7 mPa / (2 (1 + 0.4554)) = 70,33 MPa

Esempio 2

Hai un cavo di diametro di 4 mm e 1 m. Sapendo che il giovane modulo di rame è 110000 MPa e che il suo coefficiente di Poisson è 0,34, stima che si allunghi e si restringa in diametro che il filo soffre quando un peso di 100 kg-F.

Soluzione

In primo luogo è necessario calcolare il normale sforzo di trazione che il peso esercita sul filo, seguendo questa formula:

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σl = f / a = f / (π / 4 * d^2)

La forza F è 980 N e la sezione trasversale è:

A = (π/4 * d^2) = (3,1416/4) * (4 * 10^-3 m)^2 = 1.2566 * 10^-5 m^2

Quindi lo sforzo di trazione è:

σl = 980 N / 1.2566 * 10^-5 m^2 = 77.986.000 pa

Calcolo della deformazione del filo unitario

Il modulo di elasticità di Young, indicato dalla lettera E, è la costante di proporzionalità nella legge di Hooke che mette in relazione il normale sforzo σl con la deformazione unitaria εl:

σl = e εl 

Da lì la deformazione unitaria longitudinale del filo di rame può essere cancellata:

εl = σl / e = 77.986 MPA / 110000 MPa = 7.09 * 10^-4

Calcolo della deformazione unitaria trasversale

D'altra parte, per conoscere la deformazione unitaria trasversale, viene applicato il coefficiente di Poisson:

ν = - εt / εl 

Infine, devi trascorrere la deformazione unitaria è: 

εt = -ν εl = -0.34 * 7.09 * 10 ^-4 = -2,41 * 10 ^-4

Calcolo dell'allungamento assoluto del cavo

Infine, per conoscere lo stretching assoluto del cavo, è necessario applicare la seguente relazione:

Δl = εl * l = 7,09 * 10^-4 * 1 m = 7,09 * 10^-4 m = 0,709 mm

Cioè, con quel peso il cavo si è appena allungato 0,709 millimetri.

Calcolo della diminuzione del diametro

Per ottenere il diametro di restringimento assoluto utilizziamo la seguente formula:

Δd = εt * d = -2,41 * 10 ^-4 * 4 mm = -9,64 * 10 ^-4 mm = -0.000964 millimetri.

Questo restringimento di diametro è così piccolo che è difficile da apprezzare ad occhio nudo, anche la sua misurazione richiede uno strumento ad alta precisione.

Riferimenti

1. Birra f ... meccanica materiale. 5 °. Edizione. 2010. Mc Graw Hill. 1-130.
2. Hibbeler R. Meccanica dei materiali. Ottava edizione. Prentice Hall. 2011. 3-60.
3. Gere J. Meccanica dei materiali. Ottava edizione. Apprendimento del Cengage. 4-220.
4. Giancoli, d. 2006. Fisica: principi con applicazioni. 6 ° ed. Prentice Hall. 238-242.
5. Valera Negrete, J. 2005. Note di fisica generale. UNAM. 87-98.