Binomiale coniugato come viene risolto, esempi, esercizi

UN Binomiale coniugato Da un altro binomiale è quello in cui differiscono solo per un segno dell'operazione. Il binomiale, come suggerisce il nome, è una struttura algebrica che consiste in due termini.

Alcuni esempi di binomiali sono: (A + B), (3m - n) E (5x - y). E i loro rispettivi binomiali coniugati sono: (a - b), (-3m - n) e (5x + y). Come si può vedere immediatamente, la differenza è nel segno.

Figura 1. Un binomiale e il suo binomiale coniugato. Hanno gli stessi termini, ma differiscono nel segno. Fonte: f. Zapata.

Un binomiale moltiplicato per il suo coniugato provoca un prodotto notevole che viene utilizzato molto in algebra e scienza. Il risultato della moltiplicazione è la sottrazione dei quadrati dei termini del binomio originale.

Per esempio, (X - y) È un binomiale e il suo coniugato è (x + y). Quindi, il prodotto dei due binomiali è la differenza dei quadrati dei termini:

(X - y).(x + y) = x² - E²

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Come viene risolto un binomiale coniugato?

La regola enunciata con i binomiali coniugati è la seguente: 

Il prodotto di due binomiali coniugati è uguale al quadrato del primo mandato meno il quadrato del secondo termine. Questo risultato si chiama differenza quadrata.

Come esempio di applicazione, inizieremo dimostrando il risultato precedente, che può essere fatto utilizzando la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma algebrica.

(x - y) (x + y) = x.x + x.e e.X - Y.E

La moltiplicazione precedente è stata ottenuta seguendo questi passaggi:

- Il primo termine del primo binomiale viene moltiplicato per il primo mandato del secondo

- Poi il primo del primo, per il secondo del secondo

- Poi il secondo del primo per il primo del secondo 

- Finalmente il secondo del primo per il secondo del secondo.

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Ora facciamo una piccola modifica usando la proprietà commutativa: E.x = x.E. Rimane così:

(x - y) (x + y) = x.x + x.y - x.e e.E

Poiché ci sono due termini uguali ma per il resto (evidenziati a colori e sottolineati), vengono annullati e semplificati:

(x - y) (x + y) = x.X - Y.E

Infine, viene applicato che moltiplicare un numero da solo è equivalente a sollevarlo quadrato, quindi X.x = x² e anche E.y = y².

In questo modo, ciò che era stato sottolineato nella sezione precedente, che il prodotto di una somma per la sua differenza è la differenza dei quadrati:

(X - y).(x + y) = x² - E²

figura 2. Una somma per la sua differenza è una differenza di quadrati. Fonte: f. Zapata.

Esempi

- Binomiali coniugati di varie espressioni

Esempio 1

Trova il coniugato di (e² - 3y).

Risposta: (E² + 3y)

Esempio 2

Ottieni il prodotto di (e² - 3y) per il suo coniugato.

Risposta: (E² - 3y) (e² + 3y) = (e²)² - (3y)² = y⁴ - 3² E² = y⁴ - 9y²

Esempio 3

Sviluppa il prodotto (1 + 2A).(2A -1).

Risposta: L'espressione precedente è equivalente a (2A + 1).(2a -1), cioè corrisponde al prodotto di un binomiale per il suo coniugato.

È noto che il prodotto di un binomiale per il suo binomiale coniugato è uguale alla differenza dei quadrati dei termini binomiali:

(2a + 1) (2a -1) = (2a)² - 1² = 4 a² - 1

Esempio 4

Scrivi il prodotto (x + y + z) (x - y - z) come differenza di quadrati.

Risposta: Possiamo assimilare i trinomiali prima della forma di binomiali coniugati, facendo un uso attento di parentesi e parentesi quadrate:

(x + y + z) (x - y - z) = [x + (y + z)] [x - (y + z)]

In questo modo può essere applicata la differenza di quadrati:

(x + y + z) (x - y - z) = [x + (y + z)].[x - (y+z)] = x² - (Y+z)²

Esempio 5

Esprimere il prodotto (M² - M -1).(M² + m -1) come differenza nei quadrati.

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Risposta: L'espressione precedente è il prodotto di due trinomiali. Innanzitutto, deve essere riscritto come prodotto di due binomiali coniugati:

(M² - m -1) (m² + m -1) = (m² - 1 - m) (m² -1 + m) = [(m² -1) - M].[(M² -1) +m)]

Applichiamo il fatto che il prodotto di un binomiale con il suo coniugato è la differenza quadratica dei suoi termini, come spiegato:

[(M² -1) - M].[(M² -1) +m)] = (m² -1)² - M²

Esercizi

Come sempre, inizia con gli esercizi più semplici e quindi il livello di complessità sta aumentando.

- Esercizio 1

Escrida (9 - a²) come prodotto.

Soluzione

Innanzitutto, riscriviamo l'espressione come differenza di quadrati, al fine di applicare ciò che ha spiegato in precedenza. Perciò:

(9 - a²) = (3² - A²)

Facciamo immediatamente un fattore, il che equivale a scrivere questa differenza di quadrati come prodotto, come richiesto nella dichiarazione:

(9 - a²) = (3² - A²) = (3 + a) (3 -a)

- Esercizio 2

Fattore 16x² - 9y⁴.

Soluzione

Fattori un'espressione significa scriverlo come prodotto. In questo caso, è necessario riscrivere in precedenza l'espressione, per ottenere una differenza di quadrati.

Non è difficile farlo, dal momento che osserva con attenzione, tutti i fattori sono quadrati perfetti. Per esempio 16 è il quadrato di 4, 9 è il quadrato di 3, E⁴ è il quadrato di E² E X² è il quadrato di X:

16x² - 9y⁴  = 4²X² - 3²E⁴ = 4²X²  - 3²(E²)²

Allora ciò che già sappiamo è applicato: che una differenza nei quadrati è il prodotto dei binomiali coniugati:

(4x)² - (3 e²)² = (4x - 3 e²) . (4x + 3 e²)

- Esercizio 3

Scrivi (a - b) come prodotto binomiale

Soluzione

La differenza precedente dovrebbe essere scritta come differenze quadrate

(√a)² -(√b)²

Quindi viene applicato che la differenza nei quadrati sia il prodotto dei binomiali coniugati

Può servirti: riduzione di termini simili

(√a - √b) (√a + √b)

- Esercizio 4

Uno degli usi del binomiale coniugato è la razionalizzazione delle espressioni algebriche. Questa procedura consiste nell'eliminazione delle radici del denominatore di un'espressione frazionaria, che in numerose occasioni facilita le operazioni. È richiesto di utilizzare il binomiale coniugato per razionalizzare la seguente espressione:

√ (2 -x) / [√3 - √ (2+x)]

Soluzione

Il primo è identificare il binomiale coniugato del denominatore: [√3 + √ (2 + x)]].

Ora moltiplichiamo il numeratore e il denominatore dell'espressione originale da parte del binomiale coniugato:

√ (2 -x) [√3+√ (2+x)] /[√3 - √ (2+x)].[√3 + √ (2 + x)]

Nel denominatore dell'espressione precedente riconosciamo il prodotto di una differenza di una somma, che già sappiamo che corrisponde alla differenza dei quadrati dei binomiali:

√ (2-x) .[√3 + √ (2 + x)] /(√3)² - [√ (2+x)]² 

Semplificare il denominatore è:

√ (2-x).[√3+√ (2+x)] / [3 - (2+x)] = √ (2 -x). [√3 + √ (2 + x)] / (1 - x)

Ora ci occupiamo del numeratore, per il quale applicheremo la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma:

√ (2-x) .[√3 + √ (2 + x)] / (1 - x) = √ (6-3x) + √ [(2 -x) (2 + x)] / (1 - x)

Nell'espressione precedente riconosciamo il prodotto del binomiale (2-x) per il suo coniugato, che è il prodotto notevole pari alla differenza di quadrati. In questo modo si ottiene finalmente un'espressione razionalizzata e semplificata:

[√ (6-3x) + √ (4-x²)] / (1 - x)

- Esercizio 5

Sviluppa il seguente prodotto, utilizzando le proprietà del binomiale coniugata:

[2 °^{(x + 3y)} - 3 °^{(x - 3y)}".[2 °^{(x + 3y)} + 3 °^{(x - 3y)}"

Soluzione

4 °^{(2x + 6y)} - 9 °^{(2x - 6y)} = 4a^(2x) .A^(6y) - 9 °^(2x) .A^(-6y)= [4a^(6y) - 9 °^(-6y)" .A^(2x)

Il lettore attento avrà notato il fattore comune che è stato evidenziato a colori.

Riferimenti

1. Baldor, a. 1991. Algebra. Editoriale culturale venezuelano S.A.
2. González J. Esercizi binomiali coniugati. Recuperato da: Accademia.Edu.
3. Matematica Alex. Prodotti notevoli. Recuperato da YouTube.com.
4. Math2me. Binomiali coniugati/ prodotti notevoli. Recuperato da YouTube.com.
5. Prodotti binomiali coniugati. Recuperato da: LMS.Colbachenlinea.MX.
6. Vitimo. Binomiali coniugati. Recuperato da: YouTube.com.