Analisi dimensionale

Cos'è l'analisi dimensionale?

Lui analisi dimensionale È uno strumento ampiamente usato in diversi rami della scienza e dell'ingegneria per comprendere meglio i fenomeni che implicano la presenza di diverse magnitudini fisiche. Le magnitudini hanno dimensioni e da queste sono derivate le diverse unità di misura.

L'origine del concetto di dimensione si trova nel matematico francese Joseph Fourier, che è stato colui. Fourier ha anche capito che, affinché due equazioni siano comparabili, devono essere omogenei in relazione alle loro dimensioni. Cioè, non puoi aggiungere metri con chilogrammi.

Pertanto, l'analisi dimensionale è responsabile dello studio delle magnitudini, delle dimensioni e dell'omogeneità delle equazioni fisiche. Pertanto, viene spesso usato per verificare le relazioni e i calcoli o per creare ipotesi su problemi complicati che, in seguito, possono essere sperimentati sperimentalmente.

In questo modo, l'analisi dimensionale è uno strumento perfetto per rilevare errori nei calcoli quando si verificano la congruenza o l'incongruenza delle unità utilizzate in esse, in particolare concentrandosi sulle unità dei risultati finali.

Inoltre, l'analisi dimensionale viene utilizzata per proiettare esperimenti sistematici. Permette di ridurre il numero di esperimenti necessari e facilitare l'interpretazione dei risultati ottenuti.

Una delle basi fondamentali dell'analisi dimensionale è che è possibile.

Magnitudini fondamentali e formula dimensionale

In fisica, le magnitudini fondamentali sono considerate espresse ad altri in base a questi. Per convenzione, sono stati scelti quanto segue: la lunghezza (l), il tempo (t), la massa (m), l'intensità della corrente elettrica (i), la temperatura (θ), l'intensità della luce (j) e la quantità di sostanza (n).

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Al contrario, il resto è considerato magnitudini derivate. Alcuni di questi sono: l'area, il volume, la densità, la velocità, l'accelerazione, tra gli altri.

È definito come una formula dimensionale per l'uguaglianza matematica che presenta la relazione tra una grandezza derivata e il fondamentale.

Tecniche di analisi dimensionale

Esistono diverse tecniche o metodi di analisi dimensionale. Due dei più importanti sono i seguenti:

Metodo Rayleight

Rayleight, che era con Fourier uno dei precursori dell'analisi dimensionale, ha sviluppato un metodo diretto e molto semplice che consente di ottenere elementi senza dimensioni. In questo metodo sono seguiti i seguenti passaggi:

1. La potenziale funzione della variabile dipendente è definita.
2. Ogni variabile viene modificata nelle dimensioni corrispondenti.
3. Sono stabilite le equazioni delle condizioni di omogeneità.
4. I N-P di incognito sono fissi.
5. Gli esponenti che sono stati calcolati e fissati nell'equazione potenziale vengono sostituiti.
6. I gruppi variabili si spostano per definire i numeri senza dimensioni.

Metodo Buckingham

Questo metodo si basa sul teorema di Buckingham o sul teorema PI, che indica quanto segue:

Se esiste una relazione a livello dimensionale omogeneo tra un numero "N" di magnitudini fisiche o variabili in cui sono incluse diverse dimensioni fondamentali diverse.

Principio di omogeneità dimensionale

Il principio di Fourier, noto anche come principio di omogeneità dimensionale, influisce sulla corretta strutturazione delle espressioni che collegano algebricamente le magnitudini fisiche.

Questo è un principio che ha una coerenza matematica e afferma che l'unica opzione è sottrarre o aggiungere reciproche magnitudini fisiche che sono della stessa natura. Pertanto, non è possibile aggiungere una massa con una lunghezza o un tempo con una superficie, ecc.

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Allo stesso modo, il principio afferma che, affinché le equazioni fisiche siano corrette a livello dimensionale, i termini totali dei membri dei due lati dell'uguaglianza devono avere la stessa dimensione. Questo principio consente di garantire la coerenza delle equazioni fisiche.

Principio di somiglianza

Il principio di somiglianza è un'estensione del carattere di omogeneità a livello dimensionale delle equazioni fisiche. È indicato come segue:

Le leggi fisiche rimangono senza variazione di fronte al cambiamento delle dimensioni (dimensioni) di un fatto fisico nello stesso sistema di unità, che si tratti di cambiamenti reali o immaginari.

La più chiara applicazione del principio di somiglianza si verifica nell'analisi delle proprietà fisiche di un modello realizzato su scala minore, per usare successivamente i risultati nell'oggetto a dimensioni reali.

Questa pratica è fondamentale in campi come la progettazione e la produzione di aeroplani e navi e in grandi opere idrauliche.

Applicazioni di analisi dimensionale

Tra le molte applicazioni di analisi dimensionale, quelle elencate di seguito possono essere evidenziate di seguito.

• Individua possibili errori nelle operazioni eseguite
• Risolvi problemi la cui risoluzione presenta una difficoltà matematica insormontabile.
• Progettare e analizzare modelli in scala ridotta.
• Fare osservazioni su come le possibili modifiche influenzano un modello.

Inoltre, l'analisi dimensionale viene utilizzata abbastanza frequentemente nello studio della meccanica dei fluidi.

La rilevanza dell'analisi dimensionale nella meccanica fluida è dovuta a quanto sia difficile stabilire equazioni in determinati flussi e della difficoltà a risolverli, quindi è impossibile raggiungere le relazioni empiriche. Questo è il motivo per cui è necessario andare al metodo sperimentale.

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Esercizi risolti

Primo esercizio

Trova l'equazione dimensionale di velocità e accelerazione.

Soluzione

Poiché v = s / t, è vero che: [v] = l / t = l ∙ t^-1

Allo stesso modo:

A = v / t

[a] = l / t² = L ∙ t^-2

Secondo esercizio

Determina l'equazione dimensionale della quantità di movimento.

Soluzione

Poiché la quantità di movimento è il prodotto tra massa e velocità, è soddisfatto che p = m ∙ v

Perciò:

[p] = m ∙ l / t = m ∙ l ∙ t^-2