Vettori di unità caratteristica, come tirarlo fuori, esempi

IL vettori di unità sono quelli il cui modulo, magnitudo o dimensione è uguale al valore numerico uno. I vettori dell'unità sono utili per indicare la direzione di altri vettori non unità.

Ricordiamo che i vettori sono entità matematiche che rappresentano matematicamente le magnitudini fisiche che dipendono dalla direzione, come forza, velocità, accelerazione e altri.

I vettori dell'unità più noti sono i tre vettori che vanno nelle direzioni degli assi cartesiani. Fonte: f. Zapata.

Indipendentemente dalla grandezza fisica associata, i vettori dell'unità sono entità prive di unità di misura e le loro dimensioni sono sempre 1, un numero puro.

Ad esempio, è indicata la velocità di una particella che si muove a 3 m/s e va nella direzione positiva dell'asse X cartesiano: v = (3 m/s) Yo, dove viene utilizzata la lettera audace per indicare gli importi vettoriali. In questo esempio il modulo di v È 3 m/s e il modulo vettoriale unitario Yo è 1 (senza unità).

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Modulo, direzione e significato

Dato l'importante. Al momento della rappresentazione di un importo vettoriale, è necessario indicare chiaramente questi aspetti.

Ora, un vettore dell'unità può avere qualsiasi direzione e il significato che è preferito, ma la grandezza deve essere sempre uguale a 1.

I vettori dell'unità vengono utilizzati per indicare un indirizzo privato nello spazio o nel piano. Se, ad esempio, dobbiamo lavorare con tutte le forze che agiscono lungo l'asse orizzontale, poiché un vettore unitario in quella direzione ci aiuta a distinguere queste forze dagli altri diretti in una direzione diversa.

E per distinguerli dai vettori non unità, l'audace viene solitamente usato nella stampa e posizionare un accento circonflesso in cima, ad esempio:

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Per i testi scritti a mano, è sufficiente posizionare la circonflejo per capire che si tratta di un vettore dell'unità.

Caratteristiche di un vettore unitario

Matematicamente il vettore dell'unità:

È un elemento che appartiene a uno spazio vettoriale ℛ di dimensione n, tale che |v| = 1, dove le barre significano "modulo".

Quindi possiamo stabilirlo:

-Il modulo vettoriale unitario è sempre 1, non importa se è una forza, una velocità o un altro vettore.

-I vettori dell'unità hanno una certa direzione, nonché una direzione, come il vettore dell'unità nella direzione verticale, che può avere senso su o giù.

-I vettori dell'unità hanno un punto di origine. Se rappresentato da un sistema di coordinate cartesiane, detto punto coincide con l'origine del sistema: (0,0) se è il piano o (0,0,0) se il vettore si trova nello spazio tridimensionale.

Le caratteristiche del vettore dell'unità. Fonte: Wikimedia Commons.

-Anche con i vettori unitari, è possibile eseguire tutte le operazioni di somma, sottrazione e moltiplicazione vettoriale realizzate da vettori regolari. Pertanto è valido moltiplicare il vettore dell'unità per uno scalare, oltre a eseguire il prodotto punto e il prodotto incrociato.

-Con un vettore unitario in una certa direzione, possono anche essere espressi altri vettori che sono anche orientati in quella direzione.

I vettori dell'unità nello spazio

Per esprimere qualsiasi vettore nello spazio o nel piano, è possibile utilizzare una serie di vettori unitari perpendicolari l'uno all'altro, che formano una base ortonormale. Ciascuna delle tre direzioni preferenziali dello spazio ha il suo vettore unitario.

Torniamo all'esempio delle forze dirette lungo l'asse orizzontale. Questo è l'asse x, che ha due possibilità: direzione a destra e direzione a sinistra. Supponiamo che ci sia un vettore dell'unità sull'asse X e diretto a destra, che possiamo indicare attraverso una di queste forme:

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Ognuno di essi è valido. Ora supponiamo una forza F₁ di magnitudo 5 N lungo questo asse e diretta a destra, tale forza potrebbe essere espressa come:

Se la forza fosse diretta lungo l'asse X ma nella direzione opposta, cioè a sinistra, allora potrebbe essere usato un segno negativo per stabilire questa differenza.

Ad esempio, una forza di 8 N di grandezza, situata sull'asse X e diretta a sinistra sarebbe così:

O almeno così:

E per i vettori che non sono diretti lungo gli assi cartesiani, c'è anche un modo per rappresentarli in termini di vettori dell'unità ortogonale, attraverso i loro componenti cartesiani.

Come rimuovere/calcolare il vettore dell'unità?

Per calcolare il vettore dell'unità nella direzione di qualsiasi vettore arbitrario v, Viene applicata la seguente formula:

Dove:

È il modulo o l'entità del vettore v, il cui quadrato è calcolato in questo modo:

|v|² = (v_X)² +  (v_E)²+  (v_z)²

Un vettore arbitrario in termini di vettore dell'unità

In alternativa il vettore v Può essere espresso come segue:

Cioè, il prodotto del suo modulo da parte del vettore dell'unità corrispondente. Questo è esattamente ciò che è stato fatto prima, quando si parla della forza di 5 n di grandezza diretta lungo l'asse X positivo.

Rappresentazione grafica

Graficamente, ciò che viene detto è visto in questa immagine, dove il vettore v È in blu e il vettore dell'unità corrispondente nella sua direzione è in rosso.

In questo esempio, il vettore v Ha una grandezza maggiore di quella del vettore dell'unità, ma la spiegazione è persino valida se ciò non accade. In altre parole, possiamo avere vettori che sono ad esempio 0.25 volte il vettore dell'unità.

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Esempi di vettori di unità

I vettori dell'unità perpendicolare I, J e K

Come abbiamo visto prima, vettori dell'unità perpendicolare Yo, J E K Sono molto utili per rappresentare qualsiasi altro vettore nel piano o nello spazio e eseguire operazioni vettoriali. In termini di detto vettore, un vettore arbitrario V è rappresentato come:

v = v_X Yo + v_E J + v_z K

Dove v_X, v_E e v_z sono i componenti rettangolari del vettore v, che sono salite, Bold non sono usate per rappresentarle nel testo stampato-.

La legge di Coulomb

I vettori unitari appaiono frequentemente in fisica. Lì abbiamo la legge di Coulomb, ad esempio, che descrive quantitativamente l'interazione tra due cariche elettriche specifiche.

Indica che la forza F di attrazione o repulsione tra questi carichi è proporzionale al loro prodotto, inversamente proporzionale al quadrato della distanza che li separa ed è diretto nella direzione del vettore dell'unità che unisce i carichi.

Questo vettore è generalmente rappresentato da:

E la legge di Coulomb è così, in una forma vettoriale:

Dove K È la costante elettrostatica, Q₁ E Q₂ Sono i carichi e R È la distanza che li separa.

Esercizio risolto

Trova il vettore dell'unità nella direzione del vettore v = 5Yo + 4J -8K, Dato in unità arbitrarie.

Soluzione

La definizione di vettore unitario sopra è applicata sopra:

Ma prima devi calcolare il modulo vettoriale, che come ha tre componenti, è determinato da:

|v|² = (v_X)² +  (v_E)² +  (v_z)²

Restare:

|v|² = (5)² +  (4)² +  (-8)²= 25 + 16 + 64 = 105

Pertanto il modulo di v È:

|v| = √105

Il vettore unitario cercato è semplicemente:

Questo finalmente ci porta a:

v = 0.488 Yo + 0.390 J - 0.781 K

Riferimenti

1. Bauer, w. 2011. Fisica per ingegneria e scienze. Volume 1. Mc Graw Hill.
2. Bedford, 2000. A. Meccanica per l'ingegneria: statico. Addison Wesley.
3. Figueroa, d. (2005). Serie: Physics for Science and Engineering. Volume 1. Cinematica. A cura di Douglas Figueroa (USB).
4. Giambattista, a. 2010. Fisica. 2 °. Ed. McGraw Hill.
5. Resnick, r. (1999). Fisico. Vol. 1. 3a ed. in spagnolo. Azienda editoriale continentale S.A. di c.V.