Caratteristiche variabili continue, esempi ed esercizi

IL Variabile continua È uno che può prendere un numero infinito di valori numerici tra due valori dati, anche se questi due valori sono arbitrariamente vicini. Sono usati per descrivere gli attributi misurabili; Ad esempio altezza e peso. I valori presi da una variabile continua possono essere numeri razionali, numeri reali o numeri complessi, sebbene quest'ultimo caso sia meno frequente nelle statistiche. 

La caratteristica principale delle variabili continue è che tra due valori razionali o reali possono sempre essere trovati, e tra l'altro e il primo può trovare un altro valore, e quindi indefinitamente.

Figura 1. La curva rappresenta una distribuzione continua e le barre un discreto. Fonte: Pixabay

Ad esempio, supponiamo che la variabile di peso in un gruppo in cui il peso maggiore abbia 95 kg e il peso più basso di 48 kg; Questo sarebbe l'intervallo della variabile e il numero di possibili valori è infinito.

Ad esempio tra 50,00 kg e 50,10 kg può essere 50,01. Ma tra 50,00 e 50,01 la misura può essere 50.005. Questa è una variabile continua. D'altra parte, se nel possibile peso misura una singola precisione decimale è stata stabilita, la variabile utilizzata sarebbe discreta.

Le variabili continue appartengono alla categoria delle variabili quantitative, perché hanno un valore numerico associato. Con questo valore numerico è possibile eseguire operazioni matematiche che vanno dall'aritmetica ai metodi di calcolo infinitesimale. 

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Esempi

La maggior parte delle variabili della fisica sono variabili continue, tra cui possiamo nominare: lunghezza, tempo, velocità, accelerazione, energia, temperatura e altri.

Variabili continue e variabili discrete

Nelle statistiche, possono essere definiti vari tipi di variabili, sia qualitativa e quantitativa. Le variabili continue appartengono a quest'ultima categoria. Con loro è possibile eseguire operazioni aritmetiche e di calcolo.

Ad esempio la variabile H, corrispondente alle persone con altezza compresa tra 1,50 m e 1,95 m, è una variabile continua. 

Confrontiamo questa variabile con questo altro: il numero di volte costoso nel lancio di una valuta, che chiameremo N.

La variabile N Tuttavia, puoi prendere valori tra 0 e Infinity N Non è una variabile continua poiché non può prendere il valore 1.3 o 1.5, perché tra i valori 1 e 2 non ce ne sono altri. Questo è un esempio di Variabile discreta.

Esercizio di variabili continue

Considera il seguente esempio: una macchina produce corrispondenze di fosforo e mettile nella sua scatola. Sono definite due variabili statistiche:

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Variabile 1: l = lunghezza della posa.

Variabile 2: n = numero di maiali per scatola.

La lunghezza delle corrispondenze nominali è di 5,0 cm con una tolleranza di 0,1 cm. Il numero di suini per scatola è 50 con una tolleranza di 3.

a) indicare l'intervallo di valori che possono prendere L E N.

b) quanti valori puoi prendere L?

c) quanti valori puoi prendere N?

Dire in ogni caso se è una variabile discreta o continua.

Soluzione

I valori di L Sono compresi nell'intervallo [5,0-0.1; 5,0+0,1]; Vale a dire che il valore di L è a intervallo [4,9 cm; 5.1 cm] e la variabile L Puoi prendere valori infiniti tra queste due misure. È quindi una variabile continua.

Il valore della variabile N è nell'intervallo [47; 53]. La variabile N Può richiedere solo 6 possibili valori nell'intervallo di tolleranza, è quindi una variabile discreta.

Esercizio di distribuzione di probabilità

Se oltre ad essere continui, i valori presi dalla variabile hanno associato una certa probabilità di occorrenza, allora è un Variabile casuale continua. È molto importante distinguere se la variabile è discreta o continua, poiché i modelli probabilistici applicabili tra loro sono diversi.

Una variabile casuale continua è completamente definita quando sono noti i valori che possono assumere e la probabilità che ciascuno di essi debba accadere.

-Esercizio 1 di probabilità

La fabbrica corrisponde li rende in modo tale che la lunghezza dei bastoncini sia sempre tra i valori di 4,9 cm e 5,1 cm e zero da questi valori. Vi è la probabilità di ottenere un bastone che misura tra 5,00 e 5,05 cm, sebbene potremmo anche estrarre uno di 5.0003 cm. Questi valori sono ugualmente probabili?.

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Soluzione

Supponiamo che la densità di probabilità sia uniforme. Successivamente, sono elencate le possibilità di trovare un fosforo con una certa lunghezza:

-Che un fosforo è nell'intervallo [4,9; 5,1] ha probabilità = 1 (o 100%), poiché la macchina non prende le corrispondenze da tali valori.

-Trovare un fosforo compreso tra 4,9 e 5,0 ha probabilità = ½ = 0,5 (50%), poiché è la metà dell'intervallo di lunghezze.

-E la probabilità che la corrispondenza abbia una lunghezza compresa tra 5,0 e 5,1 è anche 0,5 (50%)

-È noto che non ci sono bastoncini di fosforo che hanno una lunghezza tra 5,0 e 5,2. Probabilità: zero (0%).

Probabilità di trovare un bastone in un certo intervallo

Ora osserviamo le seguenti probabilità p per ottenere bastoncini la cui lunghezza è tra L₁ e io₂:

 P = (l₂ -l₁) /(L_Max - L_min)

-P che una corrispondenza ha una lunghezza compresa tra 5,00 e 5,05 è indicato come P ([5.00; 5.05]):

P ([5,00; 5,05]) = (5,05 - 5,00)/(5,1 - 4,9) = 0,05/0,2 = ¼ = 0,25 (25%)

-P che il cerrillo ha una lunghezza compresa tra 5,00 e 5,01 è:

P ([5,00; 5,01]) = (5,00 - 5,01)/(5.1 - 4,9) = 0,01/0,2 = 1/20 = 0,05 (5 %)

-P che il cerrillo ha una lunghezza compresa tra 5.000 e 5.001 è ancora inferiore:

P (5.000; 5.001) = 0,001/0,2 = 1/200 = 0,005 (0,5%)

Se continuiamo a ridurre l'intervallo per avvicinarci sempre di più a 5,00, la probabilità che un bastone abbia esattamente 5,00 cm è zero (0%). Quello che abbiamo è la probabilità di trovare una corrispondenza all'interno di un certo intervallo.

Probabilità di trovare diversi bastoncini in un certo intervallo

Se gli eventi sono indipendenti, la probabilità che due bastoncini siano in un determinato intervallo è il prodotto delle loro probabilità.

-La probabilità che due bastoncini siano compresi tra 5,0 e 5,1 è 0,5*0,5 = 0,25 (0,25%)

-La probabilità che 50 bastoncini siano compresi tra 5,0 e 5,1 è (0,5)^50 = 9 × 10^-16, che è quasi zero.

-La probabilità che 50 bastoncini siano compresi tra 4,9 e 5,1 è (1)^50 = 1 (100%)

-Esercizio 2 di probabilità

Nell'esempio precedente, è stato fatto l'ipotesi che la probabilità è uniforme nell'intervallo dato, tuttavia non è sempre il caso.

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Nel caso della vera macchina che produce i bastoncini, la possibilità che il bastone sia nel valore centrale è maggiore rispetto a uno dei valori estremi. Dal punto di vista matematico questo è modellato con una funzione f (x) nota come densità di probabilità.

La probabilità che la misura sia tra A e B è calcolata dall'integrale definito della funzione f (x) tra A e B. 

Ad esempio, supponiamo di voler trovare la funzione f (x), che rappresenta una distribuzione uniforme tra i valori 4.9 e 5.1 dell'esercizio 1. 

Se la distribuzione di probabilità è uniforme, allora f (x) è uguale alla costante C, che viene determinato prendendo l'integrale tra 4,9 e 5.1 di C. Poiché questo integrale è la probabilità, quindi il risultato deve essere 1.

figura 2. Densità di probabilità uniforme. (Elaborazione proprie)

Il che significa che C vale 1/0,2 = 5. In altre parole, la funzione di densità di probabilità uniforme è f (x) = 5 se 4.9≤x≤5.1 e 0 da questo intervallo. La Figura 2 mostra una funzione di densità di probabilità uniforme.

Nota come in intervalli della stessa larghezza (ad esempio 0,02) la probabilità è la stessa al centro come nella fine dell'intervallo variabile continuo L (Lunghezza del sottaceto).

Un modello più realistico sarebbe una funzione di densità di probabilità come segue:

-f (x) = -750 ((x-5.0)^2-0.01) se 4,9≤x≤5,1

-0 al di fuori di questa gamma 

Figura 3. Funzione di densità di probabilità non uniforme. (Elaborazione proprie)

Nella Figura 3 può essere osservato come la probabilità di trovare bastoncini tra 4,99 e 5,01 (larghezza 0,02) è maggiore di trovare bastoncini tra 4,90 e 4,92 (larghezza 0,02)

Riferimenti

1. Dinov, Ivo. Variabili casuali discrete e distribuzioni di probabilità. Recuperato da: stat.Ucla.Edu
2. Variabili casuali discrete e continue. Recuperato da: OCW.MIT.Edu
3. Variabili casuali discrete e distribuzioni di probabilità. Recuperato da: homepage.Ddms.Uiowa.Edu
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5. Mendenhall, w. 1978. Statistiche per l'amministrazione ed economia. Gruppo editoriale ibero -merican. 103-106.
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