IL Notazione fattoriale Viene utilizzato per calcolare il prodotto del primo N Numeri naturali, cioè interi positivi, a partire da 1 al valore di n. È indicato da un segno di ammirazione e si chiama N fattoriale:

N! = 1⋅2⋅3 .. . (N-1) ⋅n

Il calcolo del fattoriale di un numero è semplice, ad esempio, il prodotto dei primi sei numeri naturali è espresso da:

6! = 1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6 = 720

Figura 1. La notazione fattoriale può essere scritta compatta dal simbolo del prodotto da k = 1 a n. Fonte: f. Zapata.

I fattori compaiono su questioni come la teoria binomiale e combinatoria di Newton che viene spesso utilizzata nel calcolo delle probabilità. In questi, le chiamate compaiono spesso Numeri combinatori che può essere espresso come fattoriale.

La notazione N! È la creazione del medico francese e matematico. Indipendentemente, i fattoriali furono anche scoperti da un altro matematico francese: Louis Arbogast (1759-1803), Kramp Contemporary.

Come per le sommazioni, esiste un modo per esprimere il prodotto del primo numero naturale in modo sommario:

 Il simbolo simile a una lettera maiuscola "Pi" che appare nell'espressione, è chiamato "produzione" o "moltiplicatorio".

Proprietà di notazione fattoriale

Lascia che m e n due numeri interi positivi, è soddisfatto che:

1. Per comodità è stato concordato di definire 0! Come uguale a 1, cioè: 0! = 1.
2. Il valore di 1! = 1
3. SÌ! = b!, Significa che a = b, a condizione che a⋅b ≠ 0. L'eccezione è i valori 0 e 1, poiché 1! = 1 = 0!, Come notato, ma è chiaro che 1 ≠ 0.
4. Si m < n, entonces M! < N! e quindi M! È contenuto in N!:
   N! = 1⋅2⋅ 3⋅ 4… (M -1) ⋅m… n
5. Per n maggiore o uguale a 2 devi:
   N! = N⋅ (N-1)!
   Dal momento che secondo la definizione:
   N! = [1⋅2⋅3⋅ 4⋅5 .. . (N-1)] ⋅n
   L'espressione contenuta tra parentesi quadrate è precisamente (N-1)!
6. N⋅n! = (n+1)! - N!
   In effetti, allevando le operazioni del lato destro dell'uguaglianza:
   (N+1)! - N! = [1 ⋅ 2⋅ 3⋅ 4⋅ 5 ... N ⋅ (n+1)] - [1 ⋅2⋅ 3⋅ 4 ⋅ 5 .. . n] =
   = [1⋅2⋅3⋅ 4 ⋅ 5 .. . N] ⋅ [(n+1) - 1] = [1 ⋅2⋅3 4 ⋅5… . n] ⋅ n = n! ⋅ n

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Co-fattoriale, semi-dati o quasi-facutorial di un numero

Il semi -attirale di un numero naturale dipende dal fatto che sia uniforme o dispari. Nella notazione, il doppio segno di ammirazione o doppio fattoriale viene utilizzato e definito dalla seguente regola:

-Se n è pari:

N!! = 2⋅4⋅6⋅8… n

-Se n è strano:

N!! = 1⋅3⋅5⋅7… n

Formule per semi-fattori

Le seguenti formule aiutano a calcolare più facilmente i semi-fattori, specialmente quando si tratta di grandi numeri.

Si osserva quanto segue per il caso che n sia pari:

N!! = (2⋅1) ⋅ (2⋅2) ⋅ (2⋅3) ⋅ (2⋅4)… 2⋅ (n/2) = (2⋅ 2⋅2⋅2.…) ⋅ [1⋅2⋅3⋅4… (n/2)] =

= 2^(N/2) . (N/2)!

E se n è strano, allora:

N!! = 1⋅3⋅5⋅7… n

Moltiplicando e dividendo allo stesso tempo [2 . 4 . 6… (n - 1)], l'espressione rimane:

N!! = [1mero

Ma l'importo tra le chiavi è:

1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7… . (N -1) ⋅n

E questo è n!, Come visto sopra, quindi, quando si sostituisce:

N!! = n! ÷ [2 ⋅ 4 ⋅ 6… (n -1)]

Ciò che è in piazza viene riscritto in questo modo:

[2 ⋅ 4 ⋅ 6… (n -1)] = 2^[(N-1)/2] ⋅ [(N-1)/2)]!

Perciò:

N!! = n! ÷ [2 ⋅ 4 ⋅ 6… (n -1)] = n! ÷ 2^[(N-1)/2] ⋅ [(N-1)/2)]!

Esempi

Le proprietà di cui sopra vengono applicate per semplificare le espressioni che contengono fattoriali, tenendo conto del fatto che, in generale, le seguenti espressioni non sono equivalenti:

1. (m ± n)! ≠ m! ± n!
2. (m x n)! ≠ m! x n!
3. (M ÷ n)! ≠ m! ÷ n!
4. (M^N)! ≠ (m!)^N
5. (M!)! ≠ m!!

Esempio 1

Quando si calcola direttamente questi fattoriali:

a 5!

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b) 8!

c) 4!!

d) 11!!

e) 14!!

f) (2n+1)!!

I valori si ottengono:

a 5! = 5 . 4. 3. 2. 1 = 120

b) 8! = 8 . 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 40320

c) 4!! = 2⋅4 = 8

d) 11!! = 11⋅ 9 ⋅7⋅5⋅ 3⋅1 = 10395

e) 14!! = 14⋅12⋅10 81120 = 645120

f) (2n+1)!! = 1⋅3⋅5⋅7… (2n-3) ⋅ (2n-1) ⋅ (2n+1)

I risultati di a) fino a e) possono anche essere corroborati con una calcolatrice. I calcolatori scientifici hanno una funzione per calcolare direttamente il valore di x!.

Come si può vedere, i risultati dei fattoriali, tranne con piccoli numeri, sono valori che crescono molto rapidamente.

Esempio 2

Le seguenti espressioni frazionarie possono essere semplificate quando si utilizzano le proprietà:

Esercizi risolti

Esercizio risolto 1

Controllare, usando la formula di co-factory, questi risultati precedentemente ottenuti:

a) 11!! = 10395

b) 14!! = 645120

Soluzione a

Poiché 11 è dispari, i valori vengono accuratamente sostituiti nella formula appropriata:

N!! = n! ÷ 2^[(N-1)/2] . [(N-1)/2)]!

E quindi il risultato è semplificato dalle proprietà dei fattoriali:

undici!! = 11! ÷ 2^[(11-1)/2] . [(11-1)/2)]! = 11! ÷ 2^[(10)/2] . [(10)/2)]! = 11! ÷ 2⁵ . 5! = (11 . 10. 9. 8. 7. 6. 5!) ÷ [(32). 5!] = (11⋅10⋅9 ⋅ 8⋅7⋅6) ÷ 32 = 10395

Come previsto, lo stesso risultato è stato ottenuto come calcolando 11!! direttamente, tuttavia, l'uso della formula è vantaggioso per un valore N di grandi dimensioni, poiché consente di esprimere il doppio fattoriale come prodotto di due fattori.

Soluzione b

Applicando la formula semi-factory per n catrame e sostituendo i valori, si ottiene quanto segue:

14!!= 2^(14/2) ⋅ (14/2)! = 2⁷ ⋅ 7! = 128 × 5040 = 645120

Esercizio risolto 2

Scrivi le seguenti operazioni come quozienti fattoriali:

a) 7⋅6⋅5⋅4⋅3

b) n⋅ (n-1) ⋅ (n-2) ⋅ (n-3)

c) (n-1) ⋅ (n-2) .. .(N-9)

Soluzione a

7⋅6⋅5⋅4⋅3 = 7! / 2!

Soluzione b

N⋅ (n-1) ⋅ (n-2) ⋅ (n-3) = n! / (N - 4)!

Soluzione c

(N-1) ⋅ (n-2) .. .(N-9) = (n-1)! / (N-10)!

Esercizio risolto 3

Ci sono 4 quadrati di colori: blu, arancione, viola e verde e vuoi localizzarsi dopo l'altro su un tavolo. Quanti modi possono essere posizionati i quadrati?

Può servirti: funzione costante: caratteristiche, esempi, esercizi figura 2. Quante combinazioni possono essere fatte allineando quattro quadrati di colori?. Il risultato può essere espresso come numero di numeri fattoriali: f. Zapata.

Soluzione

Esistono diversi modi per smaltire i quadrati, ad esempio fissando prima il colore. Ecco alcune opzioni:

-Blu, arancione, viola e verde

-Blu, verde, arancione e viola

-Blu, viola, verde e arancione

E così via. Il lettore può verificare che ci siano 6 combinazioni di quadrati che iniziano con il blu.

Nota che quando si imposta un colore come prima opzione, è possibile fissare gli altri 3 colori. Una volta fisso il secondo, ce ne sono 2 da scegliere e una volta selezionato questo colore, rimane solo 1 colore.

Questo può essere espresso per prodotto: 4⋅3⋅2⋅1, che è il fattoriale di 4!:

4! = 4⋅3⋅2⋅1 = 24

Si è concluso che in totale ci sono 24 possibili combinazioni.

In questo modo di organizzarlo si chiama permutazione, in cui l'ordine in cui vengono effettuati gli elementi.

Esercizio risolto 4

Risolvi le seguenti equazioni:

ascia² + X)! = 720

Soluzione a

All'inizio si vedeva che 6! = 720, quindi:

(X² + X)! = 6!

Quindi, l'importo tra le parentesi deve essere 6:

X² + x = 6

Questa è un'equazione di secondo grado in X:

X² + x - 6 = 0

Questa equazione può essere risolta usando la formula generale o mediante fattorizzazione trinomiale.

Usando questo ultimo metodo, il trinomiale è fattorizzato come segue:

X² + x - 6 = (x+3) ⋅ (x -2) = 0

Le soluzioni di equazione sono x₁ = -3 e x₂ = 2

Soluzione b

Sia il numeratore che il denominatore sono fattori, al fine di semplificare il massimo che l'espressione può essere. Per iniziare, nel denominatore puoi essere fattore (x+7)!

Con questo è possibile annullare il termine (x+7)!, restare:

AS (x+9)! = (x+9) ⋅ (x+8)! Il denominatore può essere annullato e rimane:

(x+8)! = 14!

La proprietà 3 è un'equazione semplice:

x+8 = 14

x = 6

Riferimenti

1. Hoffman, J.G. Selezione di problemi di matematica. Ed. Sphinx.
2. Lipschutz, s. 2007. Matematica discreta. Serie Schaum. 3 °. Edizione. McGraw Hill.
3. La matematica è divertente. Funzione fattoriale. Recuperato da: Mathisfun.com.
4. Smartick. Factorrial per cosa li usiamo?. Recuperato da: smartick.È.
5. Stewart, J. 2006. Prececculment: matematica per il calcolo. 5 °. Edizione. Apprendimento del Cengage.