Funzione in crescita come identificarlo, esempi, esercizi

Ne hai uno funzione in crescita Quando il valore di Y aumenta se anche la X aumenta, al contrario delle funzioni decrescenti, in cui il valore di e diminuisce quando la x aumenta.

La figura seguente mostra una funzione in crescita e si osserva chiaramente che quando si sposta da sinistra a destra sull'asse x, il valore delle rispettive coordinate e, equivalente a F (x), sta gradualmente aumentando. Si dice che se per tutto x₂ > x₁, Quindi esiste e₂ > e₁.

Figura 1. Una funzione in crescita. Fonte: f. Zapata.

I punti p₁ E p₂ Sono mostrati, rispettivamente, coordinate (x₁, E₁) e (x₂,E₂). Sono definiti:

Δy = y₂ -E₁

Δx = x₂ -X₁

In questa funzione, sia Δy che Δx hanno un segno positivo, il che significa che e₂ > e₁ e x₂ > x₁, rispettivamente. Questo è un segno chiaro che la funzione cresce efficacemente.

Un buon esempio di funzione sempre in crescita (in aumento monotono) è il logaritmo neperiano di un numero reale. Maggiore è il numero, maggiore è il suo logaritmo.

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Come identificare una funzione in crescita?

In una funzione semplice e continua come mostrato nella Figura 1, è facile determinare se la funzione è in aumento o diminuendo, a condizione che il grafico sia disponibile.

Tuttavia, funzioni più complesse possono crescere in alcuni intervalli e diminuire in altri. Ecco perché parliamo Intervalli di crescita e diminuire di una funzione.

Nella rete ci sono grafiche online gratuite, come la geogebra, che consentono di grafici a tutti i tipi di funzioni. Avere il grafico, è facile determinare se la funzione è sempre in aumento, come f (x) = log x o se ha intervalli in cui cresce e altri in cui diminuisce e cosa sono.

Criterio del primo derivato

Considerando un certo intervallo numerico i, se il quoziente tra le quantità Δy e Δx è positivo, la funzione sta aumentando. E al contrario, se è negativo, la funzione sta diminuendo.

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Si deve:

ΔY / ΔX> 0 → Funzione di crescita

Il fatto che ΔY / ΔX> 0 e la funzione siano in aumento in un certo intervallo, suggerisce che la prima derivata dalla funzione, o piuttosto il suo segno, può essere usato come criterio per determinare se in effetti, la funzione cresce in un particolare intervallo o anche ad un certo punto del tuo dominio.

In effetti, il primo derivato è definito come la pendenza della curva ogni punto:

Il che significa che Δx può essere fatto più piccolo come vuoi. Se f '(x)> 0 per un certo valore di x, ad esempio x = a, la pendenza della curva a quel punto f' (a) è positiva e la funzione aumenterà lì.

Il seguente teorema offre un criterio da sapere quando una funzione sta crescendo nell'intervallo (a, b):

Teorema

Sia f (x) una funzione derivabile in (a, b). Se f '(x)> 0, per qualsiasi valore di X appartenente a detto intervallo, si dice che f (x) stia crescendo in (a, b).

Il teorema viene applicato per scoprire in quale intervalli cresce la funzione, seguendo questi passaggi:

Passo 1

Trova i punti in cui f '(x) = 0, così come quelli in cui f' (x) non esistono. Questi, chiamati punti critici, Questi sono punti in cui f '(x) può cambiare il segno e quindi f (x) ha l'opportunità di passare dalla crescita a una riduzione o viceversa.

Passo 2

Trova il segno di f '(x) per valore arbitrario in ciascuno degli intervalli determinati dai punti trovati nel passaggio 1.

Passaggio 3

Usa il teorema per sapere se la funzione è in crescita o meno in ogni intervallo.

Esempi di funzioni in crescita

Ci sono funzioni che hanno alcuni intervalli di crescita e altri di diminuzione, ma quelli mostrati di seguito sono sempre in crescita.

Peso basato sull'età

Il peso della persona da quando è nato, fino a quando non termina approssimativamente l'adolescenza, è quasi sempre una crescente funzione dell'età. Bambini e bambini crescono e si sviluppano nel corso degli anni, e poi, quando raggiungono l'età adulta, il resto della loro vita dovrebbe mantenere un peso stabile, sebbene gli alti e bassi siano molto frequenti.

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La funzione del logaritmo

Le funzioni del logaritmo variabile reale neperian f (x) = ln x e il logaritmo decimale f (x) = log x crescono sempre.

La funzione di radice quadrata di un numero reale

Un'altra funzione che cresce sempre è la funzione radice quadrata di un numero reale positivo:

y = √x

La funzione correlata e la funzione lineare

La funzione correlata:

f (x) = mx + b

Sta crescendo ogni volta che la linea è un pendio positivo. Allo stesso modo, identità e funzioni lineari:

f (x) = x e f (x) = ax, con a> 0

Stanno crescendo in tutto il loro dominio.

La funzione esponenziale

Una funzione esponenziale come f (x) = e^X  E in generale, la funzione della forma:

f (x) = a^X, Con un> 1

Stanno crescendo in tutto il loro dominio.

La potenziale funzione indice Impar

Le potenziali funzioni di esponenti dispari, come queste:

• f (x) = x³
• g (x) = x⁵

Stanno sempre crescendo.

Esercizi

Esercizio 1

Determinare in quali intervalli la funzione rappresentata nel grafico seguente è in aumento:

figura 2. Funzione con crescita e riduzione degli intervalli. Fonte: f. Zapata.

Soluzione

Poiché il grafico è disponibile, dalla sua attenta osservazione si determina che la funzione ha il seguente comportamento:

-Da x → -∞ a x = 0 la funzione è in aumento, poiché i valori di y diventano sempre meno negativi. Piccoli segmenti di pendenza sono stati disegnati in viola per indicare la pendenza della linea tangente alla curva in vari punti (la pendenza della tangente alla curva è proprio il suo primo derivato).

Questi segmenti hanno una pendenza positiva, quindi il teorema assicura che la funzione stia crescendo in questo intervallo.

-Ma a x = 0 la pendenza della curva viene annullata, che è indicato con un piccolo segmento rosso orizzontale. Questo è un punto critico della funzione.

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Da lì la funzione inizia a diminuire, diventando più negativi i valori di e. Questa situazione continua fino a x = 2, che è un altro punto critico.

Quindi, nell'intervallo da x = 0 a x = 2 la funzione diminuisce.

-Da x = 2 la funzione diventa sempre meno negativa, fino a quando a x = 3 attraversa l'asse x e continua a diventare più positivo ogni volta. Pertanto questo è un intervallo di crescita.

Conclusione: gli intervalli di crescita sono (-∞, 0) e (2, ∞+), mentre l'intervallo di riduzione è (0,2).

Esercizio 2

Determina gli intervalli di crescita della seguente funzione, attraverso i criteri della prima derivata:

f (x) = x² - 2x

Soluzione

Seguendo i passaggi sopra indicati, il primo derivato viene calcolato ed è uguale a 0 per trovare i punti critici:

f '(x) = 2x -2

2x - 2 = 0

x = 1

Questo valore determina l'esistenza degli intervalli (-∞, 1) e (1, ∞+). Sono scelti due valori arbitrari che appartengono a ciascuno:

-Per x = 0, che appartiene a (-∞, 1), devi f '(0) = 2.0 - 2 = -2. Poiché il risultato è negativo, la funzione sta diminuendo in questo intervallo.

-Per x = 3, appartenente a (1, ∞+), il primo derivato vale f '(3) = 2.3 - 2 = 4. Poiché il risultato è positivo, si è concluso che la funzione cresce in questo intervallo.

Il lettore può graficamente graficamente la funzione originale f (x) = x² - 2x su un grafico online per confermare questo risultato.

Riferimenti

1. Ayres, f. 2000. Calcolo. 5ed. Mc Graw Hill.
2. Leithold, l. 1992. Calcolo con geometria analitica. Harla, s.A.
3. Purcell, e. J., Varberg, d., & Rigdon, s. E. (2007). Calcolo. Messico: Pearson Education.
4. Matemobile. Funzioni, crescere, diminuire e costante. Recuperato da: Matemovil.com
5. Requena, b. Funzioni in crescita. Recuperato da: Universoformulas.com.
6. Stewart, J. 2006. Prececculment: matematica per il calcolo. 5 °. Edizione. Apprendimento del Cengage.