Trinomiale quadrato perfetto

Figura 1.- Uno dei modi per ottenere un trinomiale quadrato perfetto è attraverso il quadrato della somma

Qual è il trinomiale quadrato perfetto?

Il trinomiale quadrato perfetto è che il polinomio di tre termini, due dei quali sono quadrati perfetti delle quantità A e B e sono precedute dallo stesso segno, mentre il terzo termine è esattamente il doppio prodotto di A e B, che è in grado di essere un segno diverso.

Un trinomiale quadrato perfetto è ottenuto per quadrati la somma o la differenza di un binomiale e algebrico, la sua forma è la seguente:

A² ± 2 ∙ AB + B²

Come si può vedere, il trinomiale quadrato perfetto contiene:

• Due termini quadratici non simili precedenti dallo stesso segno: a² e B²
• Un terzo termine 2 ∙ AB, che è il doppio prodotto delle radici quadrate dei termini quadratici e che può essere preceduto da un segno positivo o negativo.

I trinomiali quadrati perfetti possono essere una o più variabili. Ad esempio, il seguente trinomiale è un quadrato perfetto di una variabile:

• X² + 6x + 9

Si noti che i primi termini (x²) e il terzo (9) sono quadrati, rispettivamente, degli importi chiamati A e B. In effetti, x² È il quadrato di x e 9 è il quadrato di 3. In questo modo puoi scrivere quanto segue:

a = x

B = 3

E il termine rimanente è il doppio prodotto di X e 3:

6x = 2 ∙ 3 ​​∙ x

Una volta effettuata la verifica, è certo che questo trinomiale sia perfetto.

Esempi

figura 2.- Esempi di trinomiali quadrati perfetti. Fonte: f. Zapata.

I trinomiali quadrati perfetti appaiono anche in due o più variabili, ad esempio:

4x² + 4xy + e²

È un trinomiale in due variabili: "x" e "y". Si può certo che è un trinomiale quadrato perfetto, poiché presenta due termini quadratici:

4x² = (2x)²

E² = (y)²

E il termine rimanente è il doppio prodotto delle rispettive radici quadrate: "2x" e "y":

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4xy = 2 ∙ 2x ∙ e

I trinomiali presentati finora sono di grado 2 nella variabile "X", ma non devono necessariamente essere così. Il seguente trinomiale è di grado 4 in "X":

9x⁴ - 30x²YZ + 25Y²z²

È facilmente verificato che questo è un trinomiale quadrato perfetto. Il primo termine è il quadrato 3x perfetto², Da (3x²)² = 9x⁴.

Il termine 25y²z² è uguale a (5yz)². Infine, il termine rimanente è 2 ∙ 3x²∙ 5yz = 30 x²e z.

D'altra parte, i trinomiali mostrati di seguito non sono trinomiali quadrati perfetti:

• X²  + 8x - 16

Non è un trinomiale quadrato perfetto perché 16, sebbene sia 4², È preceduto da un segno negativo, mentre l'altro termine quadratico (x²) è positivo.

• X²  - 15x + 25

Né è un trinomiale quadrato perfetto, perché sebbene abbia due termini quadratici: x² e 5², Il termine 15x non è uguale a 2 ∙ 5 ∙ x.

• 4x²  + 10x + 32

Questo trinomiale non è perfetto, poiché contiene solo un termine quadratico: 4x² = (2x)².

Quadrato di una somma e quadrato di differenza

I trinomiali quadrati perfetti si ottengono sviluppando due tipi di prodotti notevoli:

• Il quadrato della somma.
• Il quadrato della differenza.

Innanzitutto lo sviluppo è ottenuto dalla proprietà distributiva, poiché sollevare la binomiale quadrata significa moltiplicarlo con se stesso:

(A ± b)² = (a ± b) × (a ± b) = a² ± A ∙ B ± B ∙ A + B² = a² ± 2A ∙ B + B²

Il trinomio ottenuto è un risultato che viene memorizzato con solo un po 'di pratica ed è una specie di scorciatoia che facilita lo sviluppo, motivo per cui è chiamato un prodotto notevole.

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I seguenti trinomiali sono facilmente ottenuti da un prodotto notevole, senza applicare la proprietà distributiva.

• (x + 6)² = x² + 2 ∙ 6 ∙ x + 6² = x² + 12x + 36
• (2x - 10)² = (2x)² - 2 ∙ 10 ∙ 2x + 10² = 4x² - 40x + 100
• (5y + 2x)² = (5y)² + 2 ∙ 5y ∙ 2x + (2x)² = 25 e² +20xy + 4x²

Fattorizzazione di un trinomiale quadrato perfetto

Un'operazione frequente e necessaria in algebra è la fattorizzazione del trinomiale quadrato perfetto, attraverso il quale il trinomio è espresso come il quadrato di una somma o una sottrazione di due termini (un binomiale).

È l'operazione inversa per sviluppare il prodotto notevole, poiché avere il trinomiale risultante, l'idea è di ottenere il binomiale che ne dà origine quando sale al 2.

Ad esempio, nel trinomiale quadrato 4x perfetto precedentemente analizzato² + 4xy + e², Qual è il binomiale che quando è quadrato ti dà origine?

Le rispettive radici quadrate dei termini quadratici sono:

√ (4x²) = 2x

Che è equivalente a: 4x² = (2x)²

√ (e²) = y

Equivalente a dirlo: e² = (y)²

Perciò:

4x² + 4xy + e² = (2x + y)²

E qual è il binomiale che ha origine il trinomiale quadrata perfetto 9x⁴ - 30x²YZ + 25Y²z²? Ancora una volta vengono estratte le radici quadrate dei termini quadratici:

√ (9x⁴) = 3x²

√ (25 e²z²) = 5yz

COSÌ:

(3x² - 5yz)² = 9x⁴ - 30x²YZ + 25Y²z²

Esercizi risolti

Esercizio 1

In ciascuno dei seguenti trinomiali, completa il vuoto con il termine che manca per essere un trinomiale quadrato perfetto:

Sono² + 18m + _____

b) 4x² - _____ + 64

c) _____ + 30n + 25

• Soluzione a

Secondo la formula del prodotto notevole:

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(A ± b)² = A² ± 2A ∙ B + B²

Del trinomiale:

M² + 18m + _____

Ne consegue che:

a = m (così² = m²)

Inoltre, il termine centrale è: 2 ∙ a ∙ b = 2m ∙ b = 18m, quindi b = 9 e il suo quadrato è 9² = 81. Guy by the Formula of the Notoble Product, il trinomiale è così:

(M + 9)² = M² + 18 m + 81

• Soluzione b

In questo trinomiale:

4x² - _____ + 64

Puoi sapere e b:

A = √ (4x²) = 2x

B = √64 = 8

Pertanto, il termine mancante è il doppio prodotto di A e B:

2 ∙ AB = 2 ∙ 8 ∙ 2x = 32x

E il trinomiale richiesto è:

4x² - 32x + 64

• Soluzione c

Nel trinomiale:

_____ + 30n + 25

Manca il primo termine, ma è noto che:

B = √25 = 5

E

2 ∙ AB = 2 ∙ A ∙ 5 = 10A = 30N

Pertanto a = 3n e il trinomiale richiesto è:

9n² + 30n + 25

Esercizio 2

Controlla che il prossimo sia un trinomiale quadrato perfetto e fatto il fatto di fare:

16y² - 24yz + 9z²

• Soluzione

Innanzitutto è dimostrato che i termini quadratici sono preceduti dallo stesso segno e quindi si trovano le rispettive radici quadrate:

A = √ (16y²) = 4y

B = √ (9Z²) = 3Z

Quindi devi verificare se il termine rimanente è il doppio prodotto di A e B:

2 ∙ ab = 2 ∙ 4y ∙ 3Z = 24yz

Se lo è, allora il trinomiale può essere fattore come il quadrato di una differenza, poiché il termine centrale è preceduto da un segno negativo:

16y² - 24yz + 9z² = (4y - 3Z)²

Riferimenti

1. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
2. Lezioni di matematica di Kate. Trinomiali quadrati perfetti. Recuperato da: Katesmathlessons.com.
3. Stewart, J. 2006. Prececculment: matematica per il calcolo. 5 °. Edizione. Apprendimento del Cengage.
4. Zill, d. 2008. Prececculment con i progressi di calcolo. 4 °. Edizione. McGraw Hill.