Triangolo isoscele

Il triangolo isoscele ha due lati uguali e uno diverso

Cos'è un triangolo isoscele?

UN triangolo isoscele È un poligono a tre lettere, in cui due di loro hanno la stessa misura e il terzo lato una misura diversa. Quest'ultimo lato si chiama base. A causa di questa caratteristica è stato dato questo nome, che in greco significa "gambe uguali".

I triangoli sono poligoni considerati i più semplici in geometria, perché sono formati da tre lati, tre angoli e tre vertici. Sono quelli che hanno il minor numero di lati e angoli rispetto agli altri poligoni, tuttavia il loro uso è molto esteso.

Caratteristiche dei triangoli isosceli

Il triangolo isoscele è stato classificato usando la misura dei suoi lati come parametro, poiché due dei suoi lati sono congruenti, cioè hanno la stessa lunghezza.

Secondo l'ampiezza degli angoli interni, i triangoli isosceli sono classificati come:

• Triangolo rettangolare isoscele: Due dei suoi lati sono gli stessi. Uno dei suoi angoli è dritto (90^O) E gli altri sono gli stessi (45^O ogni)
• Triangolo ottuso isoscele: Due dei suoi lati sono gli stessi. Uno dei suoi angoli è ottuso (> 90^O).
• Triangolo di Acutangoli isoscele: Due dei suoi lati sono gli stessi. Tutti i suoi angoli sono acuti (< 90^O), Dove due hanno la stessa misura.

Componenti

• La mediana: È una linea che lascia dal punto medio da un lato e raggiunge il vertice opposto. I tre mezzi partecipano in un punto chiamato baricentro o centroide.
• Il bisettore: È un semi -giusto che divide l'angolo di ogni vertice in due angoli di uguale misura. Ecco perché è noto come asse di simmetria e questo tipo di triangoli ne ha solo uno.
• Il mediatrix: È un segmento perpendicolare al lato del triangolo, che ha origine nel mezzo di questo. Ci sono tre mediatici in un triangolo e frequentano un punto chiamato circoncentro.
• L'altezza: È la linea che va dal vertice al lato che è opposto e anche questa linea è perpendicolare a quel lato. Tutti i triangoli hanno tre altezze, che coincidono in un punto chiamato ortocentro.

Proprietà di triangoli isosceli

I triangoli isosceli sono definiti o identificati perché hanno diverse proprietà che li rappresentano, originati dai teoremi proposti da grandi matematici:

Angoli interni

La somma degli angoli interni è sempre uguale a 180^O.

Somma dei lati

La somma delle misure di due lati dovrebbe essere sempre maggiore della misura del terzo lato, a + b> c.

Lati congruenti

I triangoli isosceli hanno due lati con la stessa misura o lunghezza; cioè sono congruenti e la terza parte è diversa da questi.

Angoli congruenti

I triangoli di isoscele sono anche conosciuti come triangoli isoangolosi, perché hanno due angoli che hanno la stessa misura (congruente). Questi si trovano alla base del triangolo, contrari ai lati che hanno la stessa lunghezza.

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Per questo motivo, il teorema che lo stabilisce:

"Se un triangolo ha due lati congruenti, anche gli angoli contrari a quelle parti saranno congruenti". Pertanto, se un triangolo è isoscele, gli angoli delle sue basi sono congruenti.

Esempio:

Nella figura seguente si osserva un triangolo ABC. Quando si disegna il suo bisettore dal vertice dell'angolo B alla base, il triangolo è diviso in due triangoli BDA e BDC:

Bisettore che si divide in due triangoli pari al triangolo isoscele

In questo modo, l'angolo del vertice B era anche diviso in due angoli uguali. Il bisettore è ora il lato comune (BD) tra quei due nuovi triangoli, mentre i lati AB e BC sono i lati congruenti. Questo è il caso di lato, angolo, lato (lal).

Ciò dimostra che gli angoli dei vertici A e C hanno la stessa misura, così come si può dimostrare che, poiché i triangoli BDA e BDC sono congruenti, anche i lati AD e DC sono.

Altezza, mediana, mediatrix e bisettore sono casuali

La linea trattata dal vertice opposto alla base al punto medio della base del triangolo isoscele, è allo stesso tempo l'altezza, la mediana e il mediatrix, nonché il bisettore rispetto all'angolo opposto della base.

Tutti questi segmenti coincidono in uno che li rappresenta.

Esempio:

Nella figura seguente si osserva il triangolo ABC con un punto M medio che divide la base in due segmenti BM e CM.

Altezza, mediana, mediatrix e bisettore sono casuali

Quando si disegna un segmento dal punto M al vertice opposto, per definizione si ottiene l'AM mediana, che è relativo al vertice A e al lato BC.

Mentre il segmento AM divide il triangolo ABC in due triangoli uguali AMB e AMC, significa che il caso di lato, angolo, lato e quindi AM sarà anche il bisettore di Bâc.

Ecco perché il bisettore sarà sempre uguale alla mediana e viceversa.

Il segmento AM forma angoli che hanno la stessa misura per i triangoli AMB e AMC; Cioè, sono supplementari, quindi la misura di ciascuno sarà:

Med. (Amb) + Med. (AMC) = 180^O

2 _* Med. (AMC) = 180^O

Med. (AMC) = 180^O ÷ 2

Med. (AMC) = 90^O

Si può sapere che gli angoli formati dal segmento AM per quanto riguarda la base del triangolo sono dritti, indicando che questo segmento è totalmente perpendicolare alla base.

Quindi rappresenta l'altezza e il mediatrix, sapendo che M è il punto medio.

Pertanto, la linea AM:

• Rappresenta l'altezza di BC.
• È di medie dimensioni.
• È contenuto all'interno del BC Mediatrix.
• È il bisettore dell'angolo di vertice â

Altezze relative

Le altezze che sono relative ai lati uguali hanno anche la stessa misura.

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Poiché il triangolo isoscele ha due lati uguali, anche le sue due altezze saranno le stesse.

Orocentro, Baricentro, Incentro e Colecentro Coinides

Poiché l'altezza, la mediana, il bisettore e il mediatrix relativi alla base sono rappresentati contemporaneamente dallo stesso segmento, l'ortocentro, il baricentro, l'incent e la circoncentro saranno punti colineali, cioè si troveranno nella stessa linea:

Ortocenter, baricentro, incentro e circoncentro sono anche casuali

Calcolo dei triangoli isosceli

Come calcolare il perimetro?

Il perimetro di un poligono è calcolato dalla somma dei lati.

Come in questo caso il triangolo isoscele ha due lati con la stessa misura, il suo perimetro viene calcolato con la seguente formula:

P = 2_*(lato A) + (lato B).

Come calcolare l'altezza?

L'altezza è la linea perpendicolare alla base, divide il triangolo in due parti uguali estendendo al vertice opposto.

L'altezza rappresenta la cateto opposta (a), metà della base (b/2) alla cateto adiacente e il lato "a" rappresenta l'ipotenusa.

Calcolo dell'altezza di un triangolo isoscele

Usando il teorema di Pitagora, è possibile determinare il valore dell'altezza:

A² + B² = C²

Dove:

A² = altezza (h).

B² = B / 2.

C² = lato a.

Sostituire quei valori nel teorema di Pitagora e cancellare l'altezza che hai:

H² + (B / 2)² = A²

H² + B² / 4 = A²

H² = A² - B² / 4

H = √ (A² - B² / 4).

Se è noto l'angolo formato dai lati congruenti, l'altezza può essere calcolata con la seguente formula:

Come calcolare l'area?

I triangoli sono sempre calcolati con la stessa formula, moltiplicando la base per altezza e dividendo per 2:

Ci sono casi in cui sono note solo le misure di due lati del triangolo e l'angolo che si forma tra loro. In questo caso, per determinare l'area è necessario applicare i motivi trigonometrici:

Come calcolare la base del triangolo?

Poiché il triangolo isoscele ha due lati uguali, per determinare il valore della sua base è necessario conoscere almeno la misura dell'altezza o uno dei suoi angoli.

Conoscendo l'altezza, viene utilizzato il teorema di Pitagora:

A² + B² = c²

Dove:

A² = altezza (h).

C² = lato a.

B² = B / 2, è sconosciuto.

Cancella b² della formula e dobbiamo:

B² = a² - C²

B = √ a² - C²

Poiché questo valore corrisponde alla metà della base, deve essere moltiplicato per 2 per ottenere la misura completa della base del triangolo isoscele:

B = 2 _* (√ a² - C²)

Nel caso in cui sia noto solo il valore dei suoi lati uguali e l'angolo tra loro, viene applicata la trigonometria, disegnando una linea dal vertice alla base che divide il triangolo isoscele in due rettangoli triangoli.

In questo modo, la metà della base viene calcolata con:

È noto anche il valore dell'altezza e dell'angolo del vertice che si oppone alla base. In tal caso, per trigonometria può essere determinata:

Esercizi

Primo esercizio

Trova l'area del triangolo ABC isoscele, sapendo che due dei suoi lati misurano 10 cm e il terzo lato misura 12 cm.

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Soluzione

Per trovare l'area del triangolo, è necessario.

Sono disponibili i seguenti dati del triangolo isoscele:

• Lati uguali (a) = 10 cm.
• Base (b) = 12 cm.

I valori vengono sostituiti nella formula:

Secondo esercizio

La lunghezza dei due lati uguali di un triangolo isoscele misura 42 cm, l'unione di questi lati forma un angolo di 130^O. Determina il valore del terzo lato, l'area di quel triangolo e il perimetro.

Soluzione

In questo caso, le misure dei lati e l'angolo sono note tra questi.

Per conoscere il valore del lato mancante, cioè la base di quel triangolo, viene disegnata una linea perpendicolare ad esso, dividendo l'angolo in due parti uguali, una per ogni triangolo rettangolo che si forma.

• Lati uguali (a) = 42 cm.
• Angolo (ɵ) = 130^O

Ora, per trigonometria, viene calcolato il valore della metà della base, che corrisponde alla metà dell'ipotenusa:

Per calcolare l'area è necessario conoscere l'altezza di quel triangolo, che può essere calcolato per trigonometria o dal teorema di Pitagora, ora che il valore della base era già determinato.

Per trigonometria sarà:

Viene calcolato il perimetro:

P = 2_*(lato A) + (lato B).

P = 2_* (42 cm) + (76 cm)

P = 84 cm + 76 cm

P = 160 cm.

Terzo esercizio

Calcola gli angoli interni del triangolo isoscele, sapendo che l'angolo di base è â = 55^O

Soluzione

Per trovare i due angoli mancanti (ê e ô) è necessario ricordare due proprietà dei triangoli:

• La somma degli angoli interni di ogni triangolo sarà sempre = 180^O:

 + ê + ô = 180 ^O

• In un triangolo isoscele gli angoli della base sono sempre congruenti, cioè hanno la stessa misura, quindi:

 = ô

Ê = 55^O

Per determinare il valore dell'angolo ê, i valori degli altri angoli nella prima regola vengono sostituiti e ê viene cancellato:

55^O + 55^O + Ô = 180 ^O

110 ^O + Ô = 180 ^O

Ô = 180 ^O - 110 ^O

Ô = 70 ^O.

Riferimenti

1. Álvarez, e. (2003). Elementi di geometria: con numerosi esercizi e geometria della bussola. Università di Medellin.
2. Álvaro Rendón, a. R. (2004). Disegno tecnico: taccuino da attività.
3. Angela. R. (2007). Algebra elementare. Pearson Education.
4. Arthur Goodman, L. H. ( millenovecentonovantasei). Algebra e trigonometria con geometria analitica. Pearson Education.
5. Baldor, a. (1941). Algebra. L'Avana: cultura.
6. José Jiménez, L. J. (2006). Matematica 2.
7. Tuma, j. (1998). Manuale di matematica ingegneristica. Wolfram Mathworld.