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Proprietà del trapezio rettangolo, relazioni e formule, esempi

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Proprietà del trapezio rettangolo, relazioni e formule, esempi

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Kayla Serr

UN Trapezio rettangolare È una figura piatta di quattro lati, in modo tale che due di loro siano paralleli tra loro, chiamati basi E anche uno degli altri lati è perpendicolare alle basi.

Per questo motivo, due degli angoli interni sono dritti, cioè misurano 90º. Quindi il nome di "rettangolo" che viene dato alla figura. La seguente immagine di un trapezio rettangolo chiarisce queste caratteristiche:

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Elementi del trapezio

Gli elementi del trapezio sono:

-Basi

-Vertici

-Altezza

-Angoli interni

-Base media

-Diagonali

Descriveremo in dettaglio questi elementi con l'aiuto delle figure 1 e 2:

Figura 1. Un trapezio rettangolo, caratterizzato da due angoli interni di 90º: A e B. Fonte: f. Zapata.

I lati del trapezoide rettangolo sono indicati dalle lettere minuscole A, B, C e D. Gli angoli della figura o Vertici Sono indicati nelle lettere maiuscole. Finalmente Angoli interni Sono espressi con lettere greche.

Secondo la definizione, il basi Di questo trapezoide sono i lati A e B, che come osservati sono paralleli e hanno anche una lunghezza diversa.

Il lato perpendicolare di entrambe le basi è il lato C a sinistra, che è il altezza H del trapezio. E infine c'è il lato d, che forma l'angolo acuto α con il lato a.

La somma di Angoli interni di un quadrilatero è 360º. È facilmente apprezzato che l'angolo mancante C nella figura è 180 - α.

IL base media È il segmento che si unisce ai lati medi dei lati non paralleli (segmento EF nella Figura 2).

figura 2. Gli elementi del trapezio del rettangolo. Fonte: f. Zapata.

E infine ci sono le diagonali D₁ e d₂, I segmenti che uniscono i vertici opposti e che si intersecano nel punto O (vedi Figura 2).

Relazioni e formule

Altezza H del trapezio

H = c

Perimetro p

È la misura del contorno e viene calcolato aggiungendo i lati:

Perimetro = a + b + c + d

Il lato D È espresso in termini di altezza o lato C Attraverso il teorema di Pitagora:

D = √ (A-B)² + C²

Sostituire nel perimetro:

P = A + B + C + √ (A-B)² + C²

Base media

Sono i semi -corpi delle basi:

Base media = (a+b)/2

A volte viene trovata la base media espressa in questo modo:

Base media = (base maggiore + base minore) /2

La zona

L'area A del trapezio è il prodotto della base media per altezza:

A = (Base maggiore + base minore) x altezza /2

A = (a+b) c/2

Diagonali, lati e angoli

Numerosi triangoli appaiono nella Figura 2, sia rettangoli che non rettangoli. A coloro che hanno i triangoli giusti, possono essere applicati dal teorema di Pitagora e da coloro che non lo fanno, i teoremi del coseno e del seno.

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In questo modo ci sono relazioni tra i lati e tra i lati e gli angoli interni del trapezio.

Triangolo CPA

È rettangolo, le sue gambe sono uguali e valgono B, mentre l'ipotenusa è la diagonale D₁, Perciò:

D₁² = b² + B² = 2b²

Triangolo tampone

È anche rettangolo, le gambe sono A E C (o anche A E H) E l'ipotenusa è d₂, affinché:

D₂² = a² + C²= a² + H²

Triangolo CDA

Poiché questo triangolo non è rettangolo, viene applicato il teorema del coseno o anche il seno.

Secondo il Teorema di Coseno:

D₁² = a² + D² - 2AD cos α

Triangolo CDP

Questo triangolo è rettangolo e con i suoi lati sono costruite le ragioni trigonometriche dell'angolo α:

sin α = h/d

cos α = pd/d

Ma il lato pd = a - b, quindi:

cos α = (a -b) / d → a - b = d cos α

a = b + d cos α

Hai anche:

Tg α = sin α / cos α = H / (A-B) → H = Tg α (A-B)

Triangolo CDB

In questo triangolo abbiamo l'angolo il cui vertice è in c. Non è contrassegnato nella figura, ma all'inizio si è distinto che vale 180 - α. Questo triangolo non è rettangolo, quindi il teorema del coseno o il teorema del seno possono essere applicati.

Ora, si può facilmente dimostrare che:

Sen (180 - α) = sin α

cos (180 - α) = - cos α

Applicazione del teorema di Coseno:

D₂² = d² + B²- 2db cos (180 - α) = d² + B²+ 2db cos α

Esempi di rettangoli

I trapezios e in particolare i rettangoli si trovano su molti lati e talvolta non sempre tangibili. Qui abbiamo diversi esempi:

Trapecio come elemento di design

Le figure geometriche abbondano nell'architettura di numerosi edifici, come questa chiesa a New York, che mostra una struttura sotto forma di trapezoide rettangolo.

Anche la forma trapezoidale è frequente nella progettazione di contenitori, contenitori, lame (Cutter o esatto), fogli e nella progettazione grafica.

Figura 3. Angelo all'interno di un trapezio rettangolo in una chiesa a New York. Fonte: David Goehring tramite Flickr.

Generatore di onde trapezoidali

I segnali elettrici non possono solo essere quadrati, sinusoidali o triangolari. Ci sono anche segnali trapezoidali che sono utili in numerosi circuiti. Nella Figura 4 c'è un segnale trapezoidale composto da due rettangoli. Tra loro formano un singolo trapezio isoscele.

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Figura 4. Un segnale trapezoidale. Fonte: Wikimedia Commons.

Nel calcolo numerico

Per calcolare numericamente l'integrale definito della funzione f (x) tra A e B, la regola del trapezio viene utilizzata per approssimare l'area sotto il grafico di F (x). Nella figura seguente, a sinistra gli approcci integrali con un singolo trapezio rettangolo.

Un approccio migliore è quello della figura giusta, con rettangoli multipli.

Figura 5. Un integrale definito tra A e B non è altro che l'area sotto la curva f (x) tra questi valori. Un trapezoide rettangolare può fungere da primo approccio a quell'area, ma più trapezoidi vengono utilizzati, migliore è l'approccio. Fonte: Wikimedia Commons.

Raggio di carico trapezoidale

Le forze non sono sempre concentrate su un singolo punto, poiché i corpi su cui agiscono hanno dimensioni apprezzabili. Tale è il caso di un ponte attraverso il quale circolano continuamente i veicoli, l'acqua di una piscina sulle pareti verticali dello stesso o un tetto su cui si accumulano acqua o neve.

Ecco perché le forze sono distribuite per unità di lunghezza, superficie o volume, a seconda del corpo su cui agiscono.

Nel caso di un raggio, una forza distribuita per unità di lunghezza può avere varie distribuzioni, ad esempio quella del trapezio del rettangolo mostrato di seguito:

Figura 6. Carichi su un raggio. Fonte: Bedford, a. millenovecentonovantasei. Statico. Addison Wesley Inter -American.

In realtà, le distribuzioni non sempre corrispondono a normali forme geometriche come questa, ma in molti casi possono essere un buon approccio.

Come strumento educativo e di apprendimento

Blocchi e fogli con forme geometriche, compresi i trapezi, sono molto utili per i bambini di familiarizzare fin da piccoli con l'affascinante mondo della geometria.

Figura 7. Blocchi con semplici forme geometriche. Quanti rettangoli sono nascosti nei blocchi? Fonte: Wikimedia Commons.

Esercizi risolti

- Esercizio 1

Nel trapezio rettangolare della Figura 1, la base più grande vale 50 cm e la base più piccola è pari a 30 cm, è anche noto che il lato obliquo misura 35 cm. Trovare:

a) Angolo α

b) altezza

c) Perimetro

d) base media

e) Area

f) diagonale

Soluzione a

I dati dell'istruzione sono riassunti in questo modo:

A = base superiore = 50 cm

B = base minore = 30 cm

D = lato incline = 35 cm

Può servirti: operazioni di base

Per trovare l'angolo α visitiamo la sezione formule e equazioni, per vedere quale meglio si adatta ai dati offerti. L'angolo richiesto si trova in molti triangoli analizzati, ad esempio il CDP.

Lì abbiamo questa formula, che contiene l'ignoto e anche i dati che conosciamo:

cos α = (a-b) / d

Perciò:

α = archi [(A-B) / D] = archi [(50-30) / 35] = archi 20/35 = 55.15 º

Soluzione b

Dall'equazione:

sin α = h/d

H = d.peccato α = 35 Sen 55.15 º cm = 28.72 cm

Soluzione c

Il perimetro è la somma dei lati e poiché l'altezza è uguale al lato C, dobbiamo:

C = h = 28.72 cm

Perciò:

P = (50 + 30 + 35 + 28.72) cm = 143.72 cm

Soluzione d

La base media sono i semi -corpi delle basi:

Base media = (50 + 30 cm)/2 = 40 cm

Soluzione E

L'area del trapezoide è:

A = base media x altezza = 40 cm x 28.72 = 1148.8 cm².

Soluzione f

Per la diagonale d₁ Questa formula può essere usata:

D₁² = b² + B² = 2b²

D₁²= 2 x (30 cm)² = 1800 cm²

D₁ = √1800 cm² = 42.42 cm

E per la diagonale d₂:

D₂² = d² + B²+ 2db cos α = (35 cm)² + (30 cm)² + 2 x 35 x 30 cm² Cos 55.15 º = 3325 cm²

D₂ = √ 3325 cm² = 57.66 cm

Questo non è l'unico modo per trovare D₂, Dal momento che c'è anche il tampone.

- Esercizio 2

Il seguente grafico di velocità a seconda di un cellulare che ha un movimento rettilineo uniformemente accelerato. Calcola la distanza percorsa dal cellulare durante l'intervallo di tempo tra 0.5 e 1.2 secondi.

Figura 8. Grafico contro il tempo di un cellulare con movimento di reknet accelerato uniforme. Fonte: Wikimedia Commons.

Soluzione

La distanza percorsa dal cellulare è equivalente all'area sotto il grafico, delimitata dall'intervallo di tempo indicato.

Figura 9. La distanza percorsa dal cellulare è equivalente all'area sotto la grafica. Fonte: modificata da F. Zapata.

L'area ombreggiata è l'area di un trapezoide rettangolo, dato da: