Escaleno Trapezio Proprietà, formule ed equazioni, esempi

UN trapezio scaleno È un poligono a quattro laterali, due dei quali sono paralleli tra loro e con i suoi quattro angoli interni di diverse misure.

Viene mostrato il quadrilatero ABCD, dove i lati AB e DC sono paralleli tra loro. Con questo, è sufficiente renderlo un trapezio, ma inoltre gli angoli interni α, β, γ e Δ sono tutti diversi, quindi il trapezoide è Escalano.

Figura 1. Il quadrilatero ABCD è un trapezio per la condizione 1 e scalene per la condizione 2. Fonte: f. Zapata.

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Elementi dello Scaleno trapict

Sotto gli elementi più caratteristici:

-Base e lato: I lati paralleli del trapezio sono le sue basi e i due lati non paralleli sono i lati.

In un trapezio scalene le basi sono di diverse lunghezze e anche i lati. Tuttavia, un trapezoide scalene può avere un lato di uguale lunghezza come base.

-Mediano: È il segmento che si unisce ai punti medi dei lati.

-Diagonale: La diagonale di un trapezio è il segmento che unisce due vertici opposti. Un trapezio, come ogni quadrilaterale, ha due diagonali. Nel trapezio scalene sono di diversa lunghezza.

Altri trapezoidi

Oltre al trapezio Escaleno, ci sono altri trapezi particolari: il trapezoide rettangolare e il trapezoide isoscele.

Un trapezio è rettangolo quando uno dei suoi angoli è dritto, mentre il trapezio isoscele ha i suoi lati di uguale lunghezza.

La forma trapezoidale ha numerose applicazioni a livello di progettazione e industria, come nella configurazione delle ali di aeroplani, la forma di oggetti quotidiani come tabelle, backup di sedie, contenitori, portafogli, stampe tessili e altro ancora.

figura 2. La forma trapezoidale è comune nella configurazione dell'aeromobile ALAR. Fonte: Wikimedia Commons.

Proprietà

Successivamente, le proprietà del trapezoide di arrampicata sono elencate, molte delle quali sono estese agli altri tipi di trapezoide. In quello che segue, quando parli di "Trapezio", la proprietà sarà applicabile a qualsiasi tipo, incluso lo scalene.

1. La mediana del trapezoide, vale a dire il segmento che unisce i punti medi dei suoi lati non paralleli, è parallelo a una delle basi.

2.- La mediana di un trapezoide ha una lunghezza che è il semi -soum delle sue basi e taglia le sue diagonali nel punto medio.

3.- Le diagonali di un trapezio si intersecano in un punto che le dividono in due sezioni proporzionali al rapporto tra le basi.

4.- La somma dei quadrati delle diagonali di un trapezio è uguale alla somma dei quadrati dei suoi lati più il doppio prodotto delle sue basi.

5.- Il segmento che si unisce ai punti medio -diagonali ha una lunghezza pari alla semiferenza delle basi.

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6.- Gli angoli adiacenti ai lati sono supplementari.

7.- In un trapezio scalene la lunghezza delle sue diagonali è diversa.

8.- Un trapezio ha una circonferenza registrata solo se la somma delle sue basi è uguale alla somma dei suoi lati.

9.- Se un trapezio ha una circonferenza registrata, allora l'angolo con il vertice al centro di detta circonferenza e lati che passano attraverso le estremità del laterale del trapezio è dritto.

10.- Un trapezio escaleno non ha una circonferenza circoscritta, l'unico tipo di trapezio che se lo ha.

Formule ed equazioni

Le seguenti relazioni del trapezio di arrampicata sono indirizzate alla figura seguente.

1.- Se ae = ed e bf = fc → ef || AB ed EF || DC.

2.- EF = (AB + DC)/2 che è: M = (A + C)/2.

3.- Di = ib = d₁ /2 e ag = Gc = D₂ /2.

4.- Dj / jb = (c / a) Allo stesso modo cj / ja = (c / a).

Figura 3. Mediana e diagonali di un trapezoide scalene. Fonte: f. Zapata.

5.- Db² + AC² = Ad² + AVANTI CRISTO² + 2 AB ∙ DC 

Equivalentemente:

D₁² + D₂² = d² + B² + 2 a ∙ c

6.- GI = (AB - DC)/2

Vale a dire:

n = (a - c)/2

7.- α + Δ = 180⁰ e β + γ = 180⁰

8.- Se α ≠ β ≠ γ ≠ Δ quindi d1 ≠ d2.

9.- La Figura 4 mostra un trapezoide scalene che ha una circonferenza registrata, in quel caso è soddisfatto che:

A + c = d + b

10.- In un trapezoide Escalene ABCD con un centro registrato del centro o anche quanto segue è soddisfatto:

∡aod = ∡boc = 90⁰

Figura 4. Se in un trapezio viene verificato che la somma delle sue basi è uguale alla somma dei lati, allora c'è la circonferenza inscritta nello stesso. Fonte: f. Zapata.

Altezza

L'altezza di un trapezio è definita come il segmento che passa da un punto della base perpendicolarmente alla base opposta (o alla sua estensione).

Tutte le altezze del trapezio hanno la stessa misura H, quindi il più delle volte l'altezza della parola si riferisce alla sua misurazione. In breve, l'altezza è la distanza o la separazione tra le basi.

L'altezza H può essere determinata se è nota la lunghezza di un lato e uno degli angoli adiacenti al lato:

H = d sin (α) = d sin (γ) = b sin (β) = b sin (Δ)

Mediano

La misura mediana del trapezoide è i semi -corpi delle basi:

M = (A + B)/2

Diagonali

D₁ = √ [a² + D² - 2 ∙ a ∙ d ∙ cos (α)]

D₂= √ [a² + B² - 2 ∙ a ∙ b ∙ cos (β)]

Può anche essere calcolato se è nota solo la lunghezza del trapezio:

D₁ = √ [b² + A ∙ C - A (B² - D²)/(AC)]

D₂ = √ [d² + A ∙ c - a (d² - B²)/(AC)]

Perimetro

Il perimetro è la lunghezza totale del contorno, cioè la somma di tutti i suoi lati:

Può servirti: variabile casuale discreta

P = a + b + c + d

La zona

L'area di un trapezoide è i semi -corpi delle sue basi moltiplicate per la sua altezza:

A = H ∙ (A + B)/2

Può anche essere calcolato se sono note m e altezza:

A = m ∙ h

Nel caso in cui sia nota solo la lunghezza dei lati del trapezoide, l'area può essere determinata dalla formula di Herón per il trapezoide:

A = [(A+C)/| A-C |] ∙ √ [(S-A) (S-C) (S-A-D) (S-A-B)]]

Dove s è il semi -perimetro: s = (a+b+c+d)/2.

Altre relazioni per l'arrampicata

Il taglio della mediana con le diagonali e il parallelo che attraversa l'intersezione delle diagonali, dà origine ad altre relazioni.

Figura 5. Altre relazioni per l'arrampicata. Fonte: f. Zapata.

-Relazioni per EF mediano

Ef = (a+c)/2; Eg = if = c/2; Ei = gf = a/2

-Relazioni per il segmento parallelo con le basi KL e che passa attraverso il punto di Incrocio J delle diagonali

Sì KL || AB || Dc con j ∈ Kl, quindi kj = jl = (a ∙ c)/(a+c)

Costruzione del trapezio scalene con regola e bussola

Date le basi delle lunghezze A E C, essere a> c e con un lato delle lunghezze b e D, essendo B> d, Procediamo seguendo questi passaggi (vedi Figura 6):

1.- Con la regola viene disegnato il segmento del più grande AB.

2.- Da un SE e su AB, il punto P è contrassegnato in modo che AP = C.

3.- Con la bussola con C e Radio D Center, viene disegnato un arco.

4.- È fatto centrale in B con la radio B che disegna un arco che interpreta l'arco disegnato nel passaggio precedente. Lo chiamiamo punto di incrocio.

Figura 6. Costruzione di Escaleno Treece, dato i suoi lati. Fonte: f. Zapata.

5.- Con il centro nel disegnare un arco di raggio d.

6.- Con il centro in cui disegnare un arco del raggio che intercettava nell'arco disegnato nel passaggio precedente. Si chiamerà r nel punto di taglio.

7.- I segmenti BQ, QR e RA sono disegnati con la regola.

8.- Il quadrilatero ABQR è un trapezoide scalene, poiché APQR è un parallelogramma, che garantisce che AB || Qr.

Esempio

Le seguenti lunghezze sono riportate in CM: 7, 3, 4 e 6.

a) Determina se con loro puoi costruire un trapezio scalene che può circoscrivere con una circonferenza.

b) Trova il perimetro, l'area, la lunghezza delle diagonali e l'altezza di detto trapezio, nonché il raggio della circonferenza registrata.

- Soluzione a

Usando i segmenti di lunghezza 7 e 3 come basi e quelli di lunghezza 4 e 6 come lati, un trapezoide scalene può essere costruito usando la procedura descritta nella sezione precedente.

Dobbiamo verificare se ha una circonferenza registrata, ma ricordare la proprietà (9):

Può servirti: prisma esagonale

Un trapezio ha una circonferenza registrata solo se la somma delle sue basi è uguale alla somma dei suoi lati.

Lo vediamo davvero:

7 + 3 = 4 + 6 = 10

Quindi viene soddisfatta la condizione della circonferenza inscritta.

- Soluzione b

Perimetro

Il perimetro P si ottiene aggiungendo i lati. Poiché le basi totali 10 e anche i lati, il perimetro è:

P = 20 cm

La zona

Per determinare l'area, noto solo i suoi lati viene applicata la relazione:

A = [(A+C)/| A-C |] ∙ √ [(S-A) (S-C) (S-A-D) (S-A-B)]]

Dove s è il semi -perimetro:

S = (A+B+C+D)/2.

Nel nostro caso, il semi -perimetro vale S = 10 cm. Dopo aver sostituito i rispettivi valori:

A = 7 cm; b = 6 cm; C = 3 cm; D = 4 cm

È rimasto:

A = [10/4] √ [(3) (7) (-1) (-3)] = (5/2) √63 = 19,84 cm².

Altezza

Altezza H è correlata all'area A attraverso la seguente espressione:

A = (a+c) ∙ h/2, dove l'altezza può essere ottenuta mediante spazio:

H = 2a / (a+c) = 2 * 19,84 / 10 = 3.968 cm.

Radio di circonferenza registrata

Il raggio della circonferenza registrata vale la metà dell'altezza:

R = h/2 = 1.984 cm

Diagonali

Finalmente c'è la lunghezza delle diagonali:

D₁ = √ [b² + A ∙ C - A (B² - D²)/(AC)]

D₂ = √ [d² + A ∙ c - a (d² - B²)/(AC)]

Sostituire correttamente i valori sono:

D₁ = √ [6² + 7 ∙ 3 - 7 (6² - 4²)/(7 - 3)] = √ (36+21-7 (20)/4) = √ (22)

D₂ = √ [4² + 7 ∙ 3 - 7 (4² - 6²)/(7-3)] = √ (16+21-7 (-20)/4) = √ (72)

Cioè: D₁ = 4.69 cm e d₂ = 8.49 cm

Figura 7. Scalene Trapezio che soddisfa le condizioni di esistenza della circonferenza registrata. Fonte: f. Zapata.

Esercizio risolto

Determina gli angoli interni del trapezoide di base AB = A = 7, Cd = C = 3 e laterale BC = B = 6, DA = D = 4.

Soluzione

Il teorema del coseno può essere applicato per determinare gli angoli. Ad esempio, l'angolo ∠A = α è determinato dal triangolo ABD con AB = A = 7, Bd = D2 = 8.49 e DA = D = 4.

Il teorema del coseno applicato a questo triangolo rimane così:

D₂² = a² + D² - 2 ∙ a ∙ d ∙ cos (α), cioè:

72 = 49+16-56 ∙ cos (α).

Durante la cancellazione, si ottiene il coseno dell'angolo α:

Cos (α) = -1/8

Vale a dire che α = arccos (-1/8) = 97.18⁰.

Allo stesso modo si ottengono gli altri angoli, essendo i loro valori:

β = 41.41⁰; γ = 138.59⁰ e infine Δ = 82.82⁰.

Riferimenti

1. C. E. A. (2003). Elementi di geometria: con esercizi e geometria della bussola. Università di Medellin.
2. Campos, f., Cerecedo, f. J. (2014). Matematica 2. Gruppo editoriale di Patria.
3. Liberato, k. (2007). Scopri i poligoni. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, v. (2013). Poligoni generalizzati. Birkhäuser.
5. Iger. (S.F.). Matematica Primo semestre Tacaná. Iger.
6. Jr. Geometria. (2014). Poligoni. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren e Hornsby. (2006). Matematica: ragionamento e applicazioni (decima edizione). Pearson Education.
8. Patiño, m. (2006). Matematica 5. PROGRESO EDITORIALE.
9. Wikipedia. Trapezio. Recuperato da: è.Wikipedia.com